4.7: Речі, які не зовсім тензори

Цей розділ можна пропустити при першому читанні.

Площа, об'єм та щільність тензорів

Ми приступили до програми переосмислення кожної можливої фізичної величини як тензора, але поки що ми не займалися площею та обсягом. Чи існує, наприклад, тензор площі в локально евклідовій площині? Нам рекомендується сподіватися, що така річ є, тому що в прикладі 3 ми побачили, що ми могли б приготувати міру площі без інших інгредієнтів, крім аксіом аффінної геометрії. Що це за тензор? Поняття векторного і скалярного від механіки першокурсника відрізняються один від одного тим, що одне має напрямок в просторі, а інше - ні. Тому ми очікуємо, що область буде скаляром, тобто тензором ранга-0. Але це не може бути правильним, з наступної причини. При масштабуванні декартових координат на множник k площа повинна змінюватися в кратність k ². Але за законами тензорного перетворення тензор ранга-0 повинен бути інваріантним при зміні координат. Тому ми робимо висновок, що такі величини, як площа та об'єм, не є тензорами.

Мовою звичайних векторів та скалярів у евклідовому трипросторі одним із способів вираження площі та об'єму є використання точкових та перехресних добутків. Площа паралелограма, що охоплюється u і v, вимірюється вектором площі u × v, і аналогічно обсяг паралелепіпеда, утвореного u, v і w, можна обчислити як скалярний потрійний добуток u · ( v × ш). Обидві ці величини визначені таким чином, що обмін двома входами заперечує вихід. У диференціальній геометрії ми маємо скалярний добуток, який визначається скороченням індексів двох векторів, як у u ^a v _a. Якби ми також мали тензорний перехресний добуток, ми змогли б визначити тензори площі та об'єму, тому ми робимо висновок, що немає тензорного перехресного добутку, тобто операції, яка б помножила два тензори ранга-1 для отримання тензора ранга-1. Оскільки одним з найважливіших фізичних застосувань перехресного добутку є обчислення кутового моменту L = r × p, ми виявляємо, що кутовий імпульс у відносності є або не тензором, або не тензором рангу-1.

Коли хтось каже вам, що неможливо зробити, здавалося б, просту річ, типовою відповіддю є пошук способу обійти передбачуване обмеження. Що стосується локально евклідової площини, що завадить нам зробити невеликий стандартний квадрат, а потім ковзати квадрат навколо будь-якого бажаного місця? Якщо у нас є якась фігура, площа якої ми хочемо виміряти, ми можемо потім розсікати її на квадрати такого розміру і підрахувати кількість квадратів.

З цим планом є дві проблеми, жодна з яких не є абсолютно непереборною. По-перше, вектор площі u × v - вектор, орієнтація якого задається напрямком нормалі на поверхню. Така орієнтація нам потрібна, наприклад, коли ми обчислюємо електричний потік як\(\int\) Е · д А. Малюнок 4.6.1 показує, що ми не завжди можемо визначити таку орієнтацію послідовно. Коли система координат x − y ковзається навколо смуги Мебіуса, вона закінчується протилежною орієнтацією. Взагалі відносність, немає жодної гарантії орієнтованості в просторі — або навіть у часі! Але переважна більшість космічних часів фізичного інтересу насправді орієнтуються всіма бажаними способами, і навіть для тих, хто не є, орієнтованість все ще тримається в будь-якому досить маленькому районі.

Малюнок\(\PageIndex{1}\) - Смуга Мебіуса не є орієнтованою поверхнею.

Інша проблема полягає в тому, що область має неправильні властивості масштабування, щоб бути тензором ранга-0. Ми можемо обійти цю проблему, бажаючи обговорити величини, які не трансформуються точно так само, як тензори. Часто ми дбаємо лише про трансформації, такі як обертання та переклади, які не передбачають жодного масштабування. У розділі 2.2 ми побачили, що підсилювачі Лоренца також мають особливу властивість зберігати площу в просторово-часовому площині, що містить імпульс. Тому ми визначаємо тензорну щільність як величину, яка перетворюється як тензор під обертаннями, перекладами та посиленнями, але яка змінює масштаб і, можливо, перевертає свій знак під іншими типами координатних перетворень. Загалом, додатковий коефіцієнт походить від детермінанта d матриці, що складається з частинних похідних\(\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\nu}}\) (званої якобійською матрицею). Цей детермінант підвищується до потужності W, відомої як вага тензорної щільності. Нульова вага відповідає випадку реального тензора. Визначення знака W не стандартизовано в літературі. Умовність в цій книзі - це та, яка використовується Керроллом і Вайнбергом, але протилежний знак використовується, наприклад, Міснером, Торном і Вілером, а в статті Вікіпедії «Щільність тензора».

Приклад 22: Площа як тензорна щільність

У евклідовій площині, що робить наші лінійки коротшими на k, призводить до збільшення площі, виміряної в нових координатах, в рази k ². Масштабування представлено матрицею часткових похідних, яка є просто kI, де I - матриця ідентичності. Детермінант - k ². Тому площа - це тензорна щільність ваги +1.

Приклад 23: Масова щільність

Шматок алюмінієвої фольги як певну кількість міліграмів на квадратний сантиметр. Зменшення лінійок\(\frac{1}{k}\) призводить до зменшення цього числа на k ⁻², тому ця масова щільність має W = −1.

У властивій характеристиці Вейля ¹⁷ тензорів представляють інтенсивності, тоді як тензорні щільності вимірюють величину.

Символ Леві-Чівіта

Хоча немає тензорного векторного перехресного добутку, ми можемо визначити аналогічну операцію, вихід якої є тензорною щільністю. Найбільш легко це виражається в терміні символу Леві-Чівіта\(\epsilon\). (Див. Розділ 3.3 для біографічних відомостей про Леві-Чівіта.)

У n розмірах символ Леві-Чівіта має n індексів. Він визначається таким чином, щоб бути повністю асиметричним, в тому сенсі, що якщо будь-які два індекси змінюються, його знак перевертається. Цього достатньо, щоб повністю визначити символ, за винятком загального масштабування, яке фіксується довільно взяттям одного з незникаючих елементів і встановленням його на +1. Щоб побачити, що цього достатньо, щоб\(\epsilon\) повністю визначити, спочатку зауважте, що він повинен зникнути, коли будь-який індекс повторюється. Наприклад, в трьох вимірах маркується\(\kappa, \lambda\), і\(\mu, \epsilon_{\kappa \lambda \lambda}\) є незмінним при зміні другого і третього індексів, але він також повинен перевертати свій знак під цією операцією, що означає, що він повинен бути нулем. Якщо довільно фіксувати\(\epsilon_{\kappa \lambda \mu} = +1\), то обмін другого і третього індексів дає\(\epsilon_{\kappa \mu \lambda} = −1\), і подальший обмін першого і другого прибутковості\(\epsilon_{\mu \kappa \lambda} = +1\). Будь-яка перестановка трьох різних індексів може бути досягнута з будь-якого іншого за допомогою серії таких попарних свопів, а кількість свопів однозначно непарна або парна. ¹⁸ У декартових координатах у трьох вимірах прийнято вибирати,\(\epsilon_{xyz} = +1\) коли x, y та z утворюють правосторонню просторову систему координат. У чотирьох вимірах приймаємо\(\epsilon_{txyz}\) = +1, коли t є майбутнім часом і (x, y, z) правша.

У евклідовому трипросторі, в таких координатах, що g = diag (1, 1, 1), векторний перехресний добуток A = u × v, де ми маємо на увазі інтерпретацію A як області, може бути виражений як\(A_{\mu} = \epsilon_{\mu \kappa \lambda} u^{\kappa} v^{\lambda}\).

Примітка

Для підтвердження див. статтю Вікіпедії «Парність перестановки».

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Самоперевірка: Переконайтеся, що це збігається з більш звичним визначенням векторного перехресного добутку.

Тепер припустимо, що ми хочемо узагальнити до кривих просторів, де g не може бути постійною. Є два способи продовжити.

Тензорський\(\epsilon\)

Один з них полягає в тому, щоб\(\epsilon\) мати значення 0 і ± 1 в деякій довільно обраній точці, в деякій довільно обраній системі координат, але дозволити їй трансформуватися як тензор. Потім\(A_{\mu} = \epsilon_{\mu \kappa \lambda} u^{\kappa} v^{\lambda}\) потрібно змінити, оскільки права сторона є тензором, і це зробить A тензором, але якщо A є областю, ми не хочемо, щоб вона трансформувалася як 1-тензор. Тому нам потрібно переглянути визначення площі бути\(A_{\mu} = g^{−1/2} \epsilon_{\mu \kappa \lambda} u^{\kappa} v^{\lambda}\), де g - детермінант нижчого індексу форми метрики. Наступні два приклади виправдовують цю процедуру в локально евклідовому трипросторі.

Приклад 24: Масштабування координат за допомогою тензоріала\(\epsilon\)

Потім масштабування координат на k масштабує всі елементи метрики на k ⁻², g на k ⁻⁶, g ^−1/2 на k ³,\(\epsilon_{\mu \kappa \lambda}\) на k ⁻³ та\(u^{\kappa} v^{\lambda}\) k ². Результатом є масштабування A _\(\mu\)на k ⁺³⁻³⁺² = k ², що має сенс, якщо A є областю.

Приклад 25: косі координати з тензоріальним\(\epsilon\)

У похилих координатах (приклад 9) два базисних вектори мають одиничну довжину, але знаходяться під кутом один\(\phi \neq \frac{\pi}{2}\) до одного. Визначником метрики є g = sin ²\(\phi\), тобто саме той поправочний коефіцієнт\(\sqrt{g} = \sin \phi\), необхідний для того, щоб отримати потрібну площу, коли u і v є двома базисними векторами.

Ця процедура працює більш загалом, єдиною модифікацією є те, що в такому просторі, як локально Лоренціанський, де g < 0 нам потрібно використовувати\(\sqrt{−g}\) як поправочний коефіцієнт, а не\(\sqrt{g}\).

Тензор-щільність\(\epsilon\)

Інший варіант полягає в тому, щоб\(\epsilon\) мати однакові значення 0 та ± 1 у всіх точках. Тоді явно не тензор, тому що він не масштабується на множник k ⁿ, коли координати масштабуються k;\(\epsilon\) є тензорною щільністю з вагою −1 для версії верхнього індексу та +1 для нижнього індексу. \(A_{\mu} = \epsilon_{\mu \kappa \lambda} u^{\kappa} v^{\lambda}\)Відношення дає площу, яка є тензорною щільністю, а не тензором, тому що A не записується з точки зору чисто тензорних величин. Масштабування координат на k залишає\(\epsilon_{\mu \kappa \lambda}\) незмінним,\(u^{\kappa} v^{\lambda}\) масштабується на k ² та збільшує площу на k ², як очікувалося.

На жаль, в літературі немає узгодженості щодо того, чи\(\epsilon\) повинна бути тензорна чи тензорна щільність. Деякі автори визначають як тензорну, так і нетензорну версію, з позначеннями на кшталт\(\epsilon\) і\(\tilde{\epsilon}\), або ¹⁹\(\epsilon_{0123}\) і [0123]. Інші уникають написання листа\(\epsilon\) повністю. ²⁰ Версія тензорної щільності зручна тим, що ми завжди знаємо, що її значення дорівнює 0 або ± 1. Тензорна версія має ту перевагу, що вона перетворюється як тензор.

Об'єм простору-часу

У розділі 2.2 ми побачили, що площа в 1 + 1-вимірній площині плоского простору-часу зберігається за допомогою імпульсу Лоренца. Це має сенс, оскільки, коли ми виражаємо область, охоплену паралелограмом з ребрами p та q як\(\epsilon^{ab} p_{a} s_{b}\), всі індекси були скорочені, залишаючи тензорну щільність рангу-0. У вимірах 3 + 1 ми маємо об'єм просторового часу V =, що\(\epsilon^{abcd} p_{a} q_{b} r_{c} s_{d}\) охоплюється паралельними трубопроводами з ребрами p, q, r та s. Типовою ситуацією, в якій цей обсяг ненульовий, буде той, в якому один з векторів є тимчасовим, а інші три космічні. Нехай час, як один, буде p. Припустимо, |p| = 1, оскільки приклад з | p | ≠ 1 можна звести до цього масштабуванням. Тоді p можна інтерпретувати як вектор швидкості деякого спостерігача, а V як просторовий об'єм, який, за словами спостерігача, охоплюється 3-паралельним трубопроводом з ребрами q, r та s.

Кутовий момент

Як обговорювалося вище, кутовий імпульс не може бути тензором 1-го рангу. Один з підходів полягає у визначенні тензора кутового моменту рангу 2 L ^ab = r ^a p ^b − r ^b p ^a.

У кадрі, походження якого миттєво рухається разом з центром маси певної системи в певний час, часові компоненти L зникають, а компоненти L ^yz, L ^zx та L ^xy збігаються в нерелятивістській межі з x, y та z складовими Ньютонівський вектор кутового імпульсу. Ми також можемо визначити тривимірний об'єкт\(L^{a} = \epsilon_{abc} L^{bc}\) (з тривимірною тензорною щільністю\(\epsilon\) в просторових розмірах), який не трансформується як тензор.

Посилання

¹⁷ Герман Вейл, «Просторово-час-матерія», 1922, стор. 109, доступний в Інтернеті за адресою archive.org/detail/spacetimematter00weyluoft.

¹⁹ Міснер, Торн і Уілер

²⁰ Хокінг і Елліс