4.1: Основи

Визначення: Група перетворень

$G$Колекція перетворень$A$ множини називається групою перетворень, якщо$G$ має наступні три властивості:

1. Ідентичність:$G$ містить трансформацію ідентичності,$T:A→A$ визначену$T(a)=a$ для всіх$a∈A$.
2. Закриття: Якщо$T$ і$S$ є двома перетвореннями$G$, то композиція$T∘S$ знаходиться в$G$.
3. Інверси: Якщо$T$ знаходиться в$G$, то$T^{−1}$ зворотне знаходиться в$G$.

Читач, який бачив теорію груп, буде знати, що крім трьох властивостей, перелічених у нашому визначенні, групова операція повинна задовольняти властивість, яка називається асоціативністю. У контексті перетворень групова операція є складом перетворень, і ця операція завжди асоціативна: якщо$R,S\text{,}$ і$T$ є перетвореннями множини,$A\text{,}$ то перетворення$(R \circ S) \circ T$ дорівнює перетворенню$R \circ (S \circ T)\text{.}$ Отже, в нинішньому контексті перетворення, ми опускаємо асоціативність як властивість, яка потребує перевірки.

Приклад$\PageIndex{1}$: Group of Translations

Нехай$\cal T$ позначають колекцію всіх перекладів площини$\mathbb{C}\text{.}$ Зокрема, для кожного$b \in \mathbb{C}\text{,}$ нехай$T_b: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$T_b(z) = z + b\text{.}$ позначають переклад Набір$\cal T$ складається з усіх$T_b\text{,}$ для всіх$b \in \mathbb{C}\text{.}$ Тобто,

$${\cal T} = \{ T_b ~|~ b \in \mathbb{C}\}\text{.}$$

Показати, що$\cal T$ це група перетворень.

Рішення

Щоб перевірити$\cal T$ форми групи, ми повинні перевірити три властивості.

1. $\cal T$містить ідентичність: Оскільки$0 \in \mathbb{C}\text{,}$${\cal T}$ містить$T_0(z) = z + 0 = z\text{,}$, яка є трансформацією ідентичності$\mathbb{C}\text{.}$
2. $\cal T$має закриття: Припустимо$T_c$,$T_b$ і знаходяться в$\cal T\text{.}$ Тоді$T_b \circ T_c(z) = T_b(z + c) = (z+c)+b = z + (b+c)\text{.}$ Але ця карта є саме тим перекладом,$T_{b+c}\text{,}$ який знаходиться в$\cal T$ тому, що$b + c \in \mathbb{C}\text{.}$ Таким чином, композиція двох перекладів знову є перекладом. Умовно, ми показали, що$T_b \circ T_c(z) = T_{b+c}(z)\text{.}$
3. $\cal T$містить зворотні: Припустимо,$T_{-b}\text{,}$ що$T_b$ знаходиться в$\cal T\text{,}$ і розглянути, що знаходиться в$\cal T$ тому, що$-b \in \mathbb{C}\text{.}$ Зауважте$T_b \circ T_{-b}(z) = T_b(z - b) = (z - b)+b = z\text{,}$, що$T_b\text{,}$ і$T_{-b}\circ T_b(z) = T_{-b}(z+b) = (z + b)-b = z\text{.}$ Таким чином,$T_{-b}$ є зворотним і цей зворотний знаходиться в$\cal T\text{.}$$T^{-1}_b = T_{-b}\text{:}$ Умовно, зворотний переклад by$b$ - це переклад назад$-b\text{.}$

Визначення: Геометрія, Фігура, Точка та Конгруентна

$S$Дозволяти бути будь-якою$G$ множиною, а група перетворень$S\text{.}$ на Парі$(S,G)$ називається геометрією. Фігура в геометрії - це будь-яка$A$ підмножина$S\text{.}$ елемента$S$ називається точкою в геометрії. Дві фігури$A$ і$B$ називаються конгруентними, позначаються,$A \cong B\text{,}$ якщо існує перетворення$T$ в$G$ таке, що$T(A) = B\text{.}$

Хоча фігура в геометрії$(S,G)$ визначена як підмножина,$S\text{,}$ ми робимо одне зловживання позначеннями і іноді розглядаємо точки як фігури. Наприклад, ми могли б написати$a \cong b$ для двох точок$a$ і$b$$S$ коли, формально, ми маємо на увазі,$\{a\} \cong \{b\}\text{.}$ до речі,$a \cong b$ в геометрії$(S,G)$ означає, що існує трансформація$T \in G$ така, що$T(a) = b\text{.}$

Давайте розглянемо деякі приклади зараз, щоб допомогти розібратися в цих визначеннях.

Приклад$\PageIndex{2}$: Finite Group of Rotations

Розглянемо безліч,$H = \{R_0, R_{\pi/2}, R_{\pi}, R_{3\pi/2}\}$ що складається з чотирьох обертань$\mathbb{C}$ про початок (на 0,$\pi/2\text{,}$$\pi\text{,}$ і$3\pi/2$ радіани). Спочатку ми спостерігаємо, що$H$ утворює групу. Так як$R_0(z)=e^{i0}z = z\text{,}$$H$ містить перетворення ідентичності на$\mathbb{C}\text{.}$ знімальному майданчику також задовольняє закриття, і читач може перевірити всі можливі композиції. Наприклад,$R_{3\pi/2} \circ R_{\pi} = R_{\pi/2}\text{.}$ Нарешті, обернене кожного перетворення в$H$ знову$H\text{.}$ Перевірити, що$R_0^{-1} = R_0\text{,}$$R_{\pi/2}^{-1} = R_{3\pi/2}\text{,}$$R_\pi^{-1} = R_\pi\text{,}$ і$R_{3\pi/2}^{-1} = R_{\pi/2}\text{.}$ Таким чином,$H$ є групою, і ми можемо вивчити геометрію$(\mathbb{C},H)\text{.}$ Наприклад, це коло,$C$ заданий$|z-i|=.5$ збігається з колом,$D$ заданим$|z| = .5\text{?}$ Ну, чи є трансформація в цих$H$ картах$C$ на$D\text{?}$ Ні! Єдині чотири кола, що збігаються$C$, зображені нижче. Вони знаходять, обертаючи$C$ навколо початку на 0,$\pi/2\text{,}$$\pi\text{,}$ або$3\pi/2$ радіани, єдино допустимі перетворення в цій геометрії.

Зверніть увагу також, що будь-яка точка конгруентна чотирьом точкам:$z\text{,}$$e^{i\pi/2}z\text{,}$$e^{i\pi}z\text{,}$ і$e^{i3\pi/2}z\text{.}$ Скільки точок є конгруентними$z \neq 0$ Чи всі лінії конгруентні в цій геометрії?$z = 0\text{?}$ Ні. Нам дозволено лише ці кілька обертань, тому ми не маємо ніякого способу зіставити лінію,$y=x\text{,}$ скажімо, до лінії$y=x+1\text{.}$

Приклад$\PageIndex{3}$: A Two-Element Group

Розглянемо відображення$\mathbb{C}$ по всій дійсній осі, заданої$r(z) = \overline{z}\text{.}$ Оскільки$r \circ r$ це карта ідентичності, множина$G = \{1,r\}$ є групою перетворень на,$\mathbb{C}\text{,}$ і ми можемо визначити геометрію$(\mathbb{C},G)\text{.}$ Зверніть увагу, що хоча$3+i$ це конгруентно$3-i$ в цій геометрії, це не конгруентний$-3+i\text{.}$ також, коло$|z-2i|=1$ конгруентний до кола,$|z+2i|=1$ але не коло$|z-3i|=1\text{.}$

Приклад$\PageIndex{4}$: Translational Geometry

Давайте$\cal T$ позначимо групу перекладів в прикладі$4.1.1$, і розглянемо геометрію$(\mathbb{C}, {\cal T})\text{.}$ Ми називаємо цю геометрію поступальної геометрії. Які фігури на малюнку$4.1.1$ є конгруентними в цій геометрії?

Пам'ятайте, дві фігури є конгруентними, якщо ми можемо знайти трансформацію, яка «рухає» одну фігуру поверх іншої. Оскільки наші допустимі ходи тут є перекладами, ми не можемо змінити радіус кола (це розширення), і ми не можемо обертати об'єкти. Отже, в поступальній геометрії єдиними фігурами, конгруентними на малюнку$4.1.1$ є$H$ і$L\text{.}$

Малюнок$\PageIndex{1}$: Фігури в площині. (Авторське право; автор через джерело)

Визначення: Інваріантна множина та інваріантна функція

$\cal D$Колекція фігур у геометрії$(S,G)$ називається інваріантною множиною, якщо для будь-якої фігури$A$ в$\cal D$ і будь-яке перетворення$T$ в також$G\text{,}$$T(A)$$\cal D\text{.}$$\cal D$ є функція,$f$ визначена на інваріантна функція, якщо$f(B) = f(T(B))$ для будь-якої фігури$B$ в$\cal D$ і будь-яке перетворення$T$ в$G\text{.}$

Наприклад, припустимо,${\cal D}$ що набір усіх рядків у$\mathbb{C}\text{.}$$f$ Дозволяти бути функцією, яка приймає лінію до її нахилу. У поступальній геометрії$\cal D$ множина всіх рядків є інваріантною множиною, тому що якщо$A$ будь-яка лінія, то так і її зображення,$T(A)\text{,}$ при будь-якому перекладі$T$ в$\cal T\text{.}$ Крім того,$f$ є інваріантною функцією, оскільки будь-який переклад будь-якого рядка зберігає$(\mathbb{C}, {\cal T})\text{,}$ нахил цієї лінії.

Звичайно, дві фігури в інваріантному наборі не повинні бути конгруентними. Наприклад, в поступальній геометрії множина$\cal D$ всіх ліній є інваріантною множиною, хоча якщо лінії$A$ і$B$ в$\cal D$ мають різні нахили, то вони не є конгруентними. Ця особливість набору$\cal D$ робить його здаватися занадто великим, в якомусь сенсі. Чи можуть інваріантні множини бути більш ексклюзивними, містять лише члени, які збігаються один з одним? Ви впевнені, що вони можуть.

Визначення: Мінімально інваріантний

Набір фігур$\cal D$ у геометрії називається мінімально інваріантним, якщо немає належної його підмножини також є інваріантною множиною.

Наприклад, множина всіх рядків не є мінімально інваріантною множиною в поступальній геометрії, оскільки вона має відповідні підмножини, які також є інваріантними множинами. Одна така підмножина складається з усіх ліній з нахилом$8$.

Теорема$\PageIndex{1}$

Інваріантний набір$\cal D$ фігур у геометрії$(S,G)$ є мінімально інваріантним тоді і лише тоді, коли будь-які дві фігури в$\cal D$ конгруентні. Доказ.

Доказ

Спочатку припустимо,$\cal D$ це мінімально інваріантний набір в геометрії$(S,G)\text{,}$ і припустимо,$A$ і$B$ є довільними фігурами в$\cal D\text{.}$ Ми повинні показати, що$A \cong B\text{.}$

Ми починаємо з побудови нового набору фігур, той, що складається з$A$ і всіх перетворень$A\text{.}$ Зокрема, визначаємо

$${\cal A} = \{ T(A) ~|~ T \in G\}\text{.}$$

Зверніть увагу, що для будь-якого$T \in G\text{,}$$T(A)$ є в наборі,$\cal D$ оскільки$\cal D$ є інваріантним. Це означає, що${\cal A}$ є підмножиною$\cal D\text{.}$

Крім того,$\cal A$ сам по собі є інваріантним набором, завдяки груповому характеру$G\text{.}$ Зокрема, якщо$C$ є будь-яким членом$\cal A\text{,}$ тоді$C = T_0(A)$ для деяких конкретних$T_0$ у$G\text{.}$ Таким чином, застосовуючи будь-яке перетворення$T$ до$C\text{,}$

$$T(C) = T(T_0(A)) = T \circ T_0(A)$$

і з$T \circ T_0$ тих пір знову перетворення в$G\text{,}$$T \circ T_0(A)$ життя в$\cal A\text{.}$

Таким чином, ми встановили два факти: (1)$\cal A$ є підмножиною$\cal D\text{,}$ і (2)$\cal A$ є інваріантним множиною. Оскільки$\cal D$ є мінімально інваріантним набором, за визначенням випливає, що${\cal A} = {\cal D}\text{.}$ Це означає, що даний$B\text{,}$ множина, яка$\cal D\text{,}$ знаходиться в, також знаходиться в$\cal A\text{.}$ Тобто,$A \cong B\text{.}$

Доказ іншого напрямку залишають як вправу для читача.

Доказ теореми$4.1.1$ ілюструє зручний спосіб знайти мінімально інваріантні множини: Якщо$A$ фігура в,$(S,G)\text{,}$ то${\cal A} = \{ T(A) ~|~ T \in G\}$ є мінімально інваріантною множиною.

Приклад$\PageIndex{5}$: Euclidean Geometry

Евклідова геометрія - це геометрія,$(\mathbb{C}, \cal{E})\text{,}$ де$\cal{E}$ складається з усіх перетворень форми,$T(z) = e^{i\theta}z + b\text{,}$ де$\theta$ є дійсне число і$b$ знаходиться в$\mathbb{C}\text{.}$ Примітці, яка$\cal E$ складається саме з тих загальних лінійних перетворень форми$T(z) = az+b$ в який$|a| = 1\text{.}$ У вправах ви перевіряєте, що ця збірка дійсно є групою перетворень.

До групи$\cal{E}$ входять ротації та переклади, але не розширення. Давайте розглянемо деякі знайомі властивості об'єктів, які повинні бути інваріантними в евклідовій геометрії.

Евклідова відстань між двома точками$z_1$ і$z_2$ визначається як$|z_1 - z_2|\text{.}$ Щоб показати, що це інваріантна функція$(\mathbb{C}, \cal{E})\text{,}$ нам потрібно показати, що для будь-якої$T$ групи$\cal E\text{,}$ відстань між$z_1$ і$z_2$ дорівнює відстані між $T(z_1)$і$T(z_2)\text{:}$

\ почати {align*} |Т (z_1) - T (z_2) | & = | (e^ {i\ тета} z_1 + b) - (e^ {i\ тета} z_2 + b) |\\ & = |е^ {i\ тета} (z_1 - z_2) |\\ & = |e^ {i\ тета} ||z_1 - z_2|\\ & = |z_1 - z_2| &\ текст {(так як} |e^ {i\ тета} |=1)\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Таким чином, евклідова відстань зберігається в$(\mathbb{C}, \cal{E})\text{.}$

Кути збереглися також. Ми вже довели, що загальні лінійні перетворення зберігають кути (теорему$3.1.3$), а евклідові перетворення є загальними лінійними перетвореннями, тому кути зберігаються в$(\mathbb{C}, \cal{E})\text{.}$

Визначення: Однорідний

Геометрія$(S,G)$ називається однорідною, якщо будь-які дві точки в$S$ конгруентні, і ізотропною, якщо група перетворення містить обертання навколо кожної точки в$S\text{.}$

Приклад$\PageIndex{6}$: Homogenous Geometry

Поступальна геометрія$(\mathbb{C},{\cal T})$ є однорідною, оскільки існує переклад, який відображатиме будь-яку точку$\mathbb{C}$ в будь-яку іншу точку$\mathbb{C}\text{.}$ Тобто будь-які дві точки$\mathbb{C}$ є конгруентними. Звичайно, без обертань поступальна геометрія не є ізотропною. Ось формальний аргумент, який$(\mathbb{C},{\cal T})$ є однорідним:

Припустимо$q$,$p$ і є довільними пунктами$T$ в$\mathbb{C}\text{.}$ Ми повинні знайти переклад$\cal{T}$ таким, що$T(p) = q\text{.}$ Нехай$w = q - p\text{,}$ і розглянути переклад$T_w$ в$\cal{T}\text{.}$ Тоді$T_w(p) = p + w = p + (q - p) = q\text{.}$ Таким чином$T_w(p) = q$ і$p \cong q\text{.}$ З тих пір$p$ і$q$ є довільні точки в$\mathbb{C}$ ньому випливають,$(\mathbb{C},\cal{T})$ що однорідні.

Евклідова геометрія$(\mathbb{C},\cal{E})$ є однорідною, оскільки містить усі переклади, але геометрії Прикладу 4.1.4 та Прикладу 4.1.5 не є.

Визначення: Метрика

Метрика для геометрії$(S,G)$ - це інваріантна функція, яка$d:S \times S \to \mathbb{R}$ відображає кожну$(x,y)$ впорядковану пару елементів з$S$ на дійсне число, таке, що

1. $d(x,y) \geq 0$для всіх$x,y \in S$ і$d(x,y) = 0$ якщо і тільки якщо$x = y\text{.}$
2. $d(x,y) = d(y,x)$для всіх$x,y \in S\text{.}$
3. (Нерівність трикутника)$d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ для всіх$x,y,z \in S\text{.}$

Приклад$\PageIndex{7}$: Euclidean Metric

Евклідова метрика визначається$d(z,w)=|z-w|\text{.}$ Ми вже показали, що$d$ зберігається при евклідових перетвореннях, і перші дві умови бути метрикою випливають безпосередньо з визначення модуля. Встановлено нерівність трикутника прямим обчисленням у наступній лемі.

Лемма$\PageIndex{1}$

Для будь-яких точок$z, w, v$ в$\mathbb{C}\text{,}$

$$|z - w| \leq |z - v| + |v - w|\text{.}$$

Доказ

Якщо$v = w$ тоді результат тримає, тому ми припускаємо, що$v \neq w\text{.}$ оскільки$d$ є інваріантним при евклідових перетвореннях, ми можемо припустити, що$v = 0$ і$w = r > 0$ є точкою на позитивній дійсній осі. (Переведіть площину$0$,$-v$$v$ щоб відправити, а потім повертати приблизно$0$ до тих пір, поки зображення$w$ під перекладом не приземлиться на позитивну дійсну вісь.) Таким чином, досить показати, що для будь-якого комплексного числа$z$ і будь-якого додатного дійсного числа$r\text{,}$

$$|z - r| \leq |z| + r\text{.}$$

Зауважте, що

\ почати {вирівнювати*} |z - r |\ leq |z| + р &\ iff |z-r|^2\ leq (|з| + р) ^2\\ &\ iff (z - r) (\ оверлайн {z} -r)\ leq |z|^2 + 2r|z| + r^2\\ &\ iff |з|^2 z+\ оверлайн {z}) + r^2\ leq |z|^2 + 2r|z| + r^2\\ &\ iff - (z+\ оверлайн {z})\ leq 2|z|\\ &\ iff -2 Re (z)\ leq 2|z|\\ &\ iff -Re (z)\ leq |з|\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Дозволивши,$z = a + bi\text{,}$ ми можемо відновити останню нерівність як

$$-a \leq \sqrt{a^2 + b^2}\text{,}$$

що вірно, оскільки$-a \leq |a| = \sqrt{a^2} \leq \sqrt{a^2 + b^2}\text{.}$

Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайдіть конкретний переклад, щоб довести це на малюнку$4.1.1$$H \cong L$ в поступальній геометрії.

Вправа$\PageIndex{2}$

$\cal A$Дозволяти набір всіх кіл в$\mathbb{C}$ центрі на початку, і нехай$G$ буде набір всіх інверсій про кола в$\cal A\text{.}$ Тобто,

$$G = \{i_C ~|~ C \in {\cal A} \}\text{.}$$

Є$G$ групою перетворень$\mathbb{C}^+\text{?}$ пояснити.

Вправа$\PageIndex{3}$

Довести, що група$\cal{E}$ евклідових перетворень дійсно$\mathbb{C}$ є групою.

Вправа$\PageIndex{4}$

$G$Дозволяти бути сукупністю всіх дилатацій$\mathbb{C}^+\text{.}$ Це

$$G = \{ T(z) = kz ~|~ k \in \mathbb{R}, k > 0 \} \text{.}$$

Є$G$ групою перетворень$\mathbb{C}^+\text{?}$ пояснити.

Вправа$\PageIndex{5}$

Правда чи брехня? Визначте, чи є твердження істинним чи хибним, і підтримайте свою відповідь аргументом.

1. Будь-які дві лінії є конгруентними в евклідовій геометрії$(\mathbb{C},\cal{E})\text{.}$
2. Будь-які два кола є конгруентними в евклідовій геометрії$(\mathbb{C}, \cal{E})\text{.}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Довести, що якщо набір фігур$\cal D$ є інваріантним в геометрії$(S,G)\text{,}$ і будь-які дві фігури в$\cal D$ конгруентні, то$\cal D$ є мінімально інваріантним.

Вправа$\PageIndex{7}$

Опишіть мінімально інваріантний набір поступальної геометрії, що містить фігуру$D$ з рисунка$4.1.1$.

Вправа$\PageIndex{8}$

Обертальна геометрія${\cal R}$ - це геометрія,$(\mathbb{C}, {\cal R})$ де знаходиться група обертань навколо початку. Тобто

$${\cal R} = \{ R_\theta(z) = e^{i\theta}z ~|~ \theta \in \mathbb{R}\}\text{.}$$

1. Доведіть, що$\cal R$ це група перетворень.
2. Чи${\cal D} = \{$ всі лінії в$\mathbb{C}\}$ інваріанті встановлені в обертальної геометрії? Це мінімально інваріантний набір?
3. Знайти мінімально інваріантний набір обертальної геометрії, що містить коло$|z-(2+i)| = 4\text{.}$
4. Чи є$(\mathbb{C}, {\cal R})$ однорідним? Ізотропний?

Вправа$\PageIndex{9}$

Довести, що функція$v(z_1,z_2) = z_1 - z_2$ є інваріантною в поступальній геометрії,$(\mathbb{C},{\cal T})$ але не обертальної геометрії$(\mathbb{C},{\cal R})\text{.}$

Вправа$\PageIndex{10}$

Доведіть, що наступна функція є метрикою для будь-якої геометрії$(S,G)\text{.}$

$$d(x,y) = \begin{cases} 0 & \text{if } x=y; \\ 1 & \text{if } x\neq y \end{cases}\text{.}$$

Вправа$\PageIndex{11}$

Доведіть, що$(\mathbb{C}, \cal{E})$ є ізотропним. Тобто показати, що група$\cal E$ містить всі обертання про всі точки в$\mathbb{C}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{12}$

Які цифри з малюнка$4.1.1$ збігаються в$(\mathbb{C}, \cal{E})\text{?}$

Вправа$\PageIndex{13}$

Давайте створимо абсолютно нову геометрію, використовуючи набір цілих чисел$\mathbb{Z} =$$\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\text{.}$ Для кожного цілого числа$n\text{,}$ ми визначаємо перетворення$T_n: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ по$T_n(z) = z + n i.$ Нехай$G$ позначимо множину всіх перетворень$T_n$ для всіх цілих чисел$n\text{.}$ Тобто$G = \{T_n ~|~ n \in \mathbb{Z}\}.$

1. Доведіть, що$(\mathbb{C}, G)$ це геометрія.
2. Розглянемо набір фігур,${\cal D}$ що складається з усіх ліній в площині з нахилом$4$. Чи є$\cal D$ інваріантним множиною$(\mathbb{C}, G)\text{?}$ Чи є він мінімально інваріантним? Поясніть.
3. Мій улюблений рядок, з зрозумілих і особистих причин,$y = x + 8\text{.}$ будь ласка, опишіть мінімально інваріантний набір цифр, що містять цей рядок.
4. Визначте$\mathbb{C}$ множину точок, що відповідають$i$ цій геометрії. Чи є$\mathbb{C}$ однорідним?