Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.1: Основні геометричні поняття та фігури

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66424

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    1. Визначте і визначте точки, лінії, відрізки ліній, промені і площини.
    2. Класифікуйте кути як гострі, правильні, тупі або прямі.

    Вступ

    Ви вживаєте геометричні терміни в повсякденній мові, часто не замислюючись про це. Наприклад, кожного разу, коли ви говорите «ходити по цій лінії» або «стежити, ця дорога швидко кути вліво», ви використовуєте геометричні терміни, щоб зрозуміти навколишнє вас оточення. Ви використовуєте ці терміни гнучко, і люди, як правило, знають, про що ви говорите.

    У світі математики кожен з цих геометричних термінів має певне визначення. Важливо знати ці визначення, а також те, як будуються різні фігури, щоб ознайомитись з мовою геометрії. Почнемо з базової геометричної фігури: площині.

    Фігури на площині

    Площина - це плоска поверхня, яка триває вічно (або, кажучи математично, нескінченно) у всіх напрямках. Він має два розміри: довжину і ширину.

    Візуалізувати площину можна, помістивши аркуш паперу на стіл. Тепер уявіть, що аркуш паперу залишається ідеально рівним і простягається, наскільки ви можете бачити в двох напрямках, зліва направо і спереду назад. Цей гігантський аркуш паперу дає вам відчуття того, що таке геометрична площина: вона триває нескінченно в двох напрямках. (На відміну від прикладу аркуша паперу, геометрична площина не має висоти.)

    Площина може містити ряд геометричних фігур. Найголовніша геометрична ідея - точка, яка не має розмірів. Точка - це просто розташування на площині. Він представлений крапкою. Три точки, які не лежать у прямій лінії, визначатимуть площину.

    На зображенні нижче показані чотири точки, позначені A, B, C і D.

    clipboard_e0276b41e82ec315993125e5dff6ebcfe.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Набір точок

    Дві точки на площині визначають лінію. Лінія - це одновимірна фігура, яка складається з нескінченної кількості окремих точок, розміщених поруч. У геометрії всі лінії приймаються прямими; якщо вони згинаються, їх називають кривою. Лінія триває нескінченно в двох напрямках.

    Нижче розташована лінія АВ або, в геометричних позначеннях,\(\overleftrightarrow{AB}\). Стрілки вказують на те, що лінія продовжує йти вічно в двох напрямках. Цю лінію також можна було б назвати лінією BA. Хоча порядок точок не має значення для лінії, прийнято називати дві точки в алфавітному порядку.

    На зображенні нижче показані точки A і B і лінія\(\overleftrightarrow{AB}\).

    clipboard_eca63449d918246291bf2440dd8b9543f.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Лінія AB
    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Назвіть рядок, показаний червоним кольором.

    clipboard_e5f9c5a4cc2165c91359e60bb0331f3e0.png

    Рішення

    Червона лінія проходить через точки С і F, тому лінія є\(\overleftrightarrow{CF}\).

    Відповідь:\(\overleftrightarrow{CF}\)

    Є ще дві цифри, які слід розглянути. Перетин між будь-якими двома точками на прямій називається відрізком лінії. Відрізок лінії може бути дуже довгим, дуже коротким або десь посередині. Різниця між лінією та відрізком лінії полягає в тому, що відрізок лінії має дві кінцеві точки, а лінія продовжується назавжди. Відрізок лінії позначається двома її кінцевими точками, як в\(\overline{CD}\).

    clipboard_e1fb5703ac5677ce9b893336990770416.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\): Відрізок лінії CD

    Промінь має одну кінцеву точку і йде вічно в одному напрямку. Математики називають промінь з позначеннями типу\(\overrightarrow{EF}\), де точка E - кінцева точка, а F - точка на промені. При іменуванні променя, ми завжди говоримо кінцеву точку першої. Зверніть увагу, що\(\overrightarrow{FE}\) буде мати кінцеву точку в F, і продовжити через E, який є іншим променем\(\overrightarrow{EF}\), ніж, який мав би кінцеву точку в E, і продовжити через F.

    Термін «промінь» може бути знайомим, оскільки це загальне слово в англійській мові. «Промінь» часто використовується, коли говорять про світло. Хоча промінь світла нагадує геометричний термін «промінь», він не йде вічно, і має деяку ширину. Геометричний промінь не має ширини; тільки довжина.

    Нижче наведено зображення променя EF або\(\overrightarrow{EF}\). Зверніть увагу, що кінцевою точкою є E.

    clipboard_e531379fff3af136ea8e065225ff48858.png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\): Рей EF
    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Визначте кожну лінію і відрізок лінії на малюнку нижче.

    clipboard_eac3539ddf074df7092098b4111d49d0d.png

    Рішення

    Дві точки визначають лінію, а лінію позначають стрілками. На цій картинці два рядки:\(\overleftrightarrow{CE}\) і\(\overleftrightarrow{BG}\).

    Відрізок лінії - це переріз між двома точками. \(\overline{DF}\)це відрізок лінії. Але є і ще два відрізки ліній на самих лініях:\(\overline{CE}\) і\(\overline{BG}\).

    Відповідь: Лінії:\(\overline{CE}\),\(\overline{BG}\)

    Відрізки лінії:\(\overline{DF}\),\(\overline{CE}\),\(\overline{BG}\).

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Визначте кожну точку і промінь на малюнку нижче.

    clipboard_e47655979b2117bb7400350920a20fd1a.png

    Рішення

    Є чотири точки: A, B, C і D. Є також три промені, хоча очевидним може бути лише один.

    Промінь\(\overrightarrow{BC}\) починається в точці B і проходить через C. Ще два промені існують на лінії\(\overleftrightarrow{AD}\): вони\(\overrightarrow{DA}\) і\(\overrightarrow{AD}\).

    Відповідь: Точки: A, B, C, D

    Промені:\(\overrightarrow{BC}\),\(\overrightarrow{AD}\),\(\overrightarrow{DA}\)

    Спробуйте зараз 1

    Що з перерахованого нижче не представлено на зображенні нижче?

    clipboard_e45f4b43374038bb72ea325444c233b31.png

    А) МІШОК

    Б) БАР

    C)\(\overline{DF}\)

    Г) ЗМІННИЙ СТРУМ

    Кути

    Лінії, відрізки ліній, точки та промені є будівельними блоками інших фігур. Наприклад, два променя із загальною кінцевою точкою складають кут. Загальна кінцева точка кута називається вершиною.

    Кут ABC показаний нижче. Цей кут також можна назвати ABC, CBA або просто B Коли ви називаєте кути, будьте обережні, щоб включити вершину (тут, точку B) як середню літеру.

    clipboard_e580738983099a57c23e09d8a360b92ed.png

    На зображенні нижче показано кілька кутів на площині. Зверніть увагу, що мітка кожного кута пишеться «точка-вершина точка», а геометричні позначення мають вигляд ABC.

    clipboard_ee3b521f70c7f70b52290c0a8d54cf669.png

    Іноді кути дуже вузькі; іноді вони дуже широкі. Коли люди говорять про «розмір» кута, вони мають на увазі дугу між двома променями. Довжина променів не має нічого спільного з розміром самого кута. Креслення кутів часто включають дугу (як показано вище), щоб допомогти читачеві визначити правильну «сторону» кута.

    Подумайте про аналоговий циферблат годинника. Хвилинна і годинна стрілки обидва фіксуються в точці посередині годинника. З плином часу руки обертаються навколо нерухомої точки, роблячи все більші та менші кути, коли вони йдуть. Довжина рук не впливає на кут, який зроблений руками.

    Вимірюється кут в градусах, представлений символом º. Коло визначається як має 360º. (У скейтбордингу та баскетболі «робити 360" відноситься до стрибків і виконання одного повного обертання тіла.

    Прямий кут - це будь-який градус, який вимірює рівно 90º. Це являє собою рівно одну чверть шляху навколо кола. Прямокутники містять рівно чотири прямих кута. Кутова позначка часто використовується для позначення прямого кута, як показано в прямому куті DCB нижче.

    Кути, які знаходяться між 0º і 90º (менше прямих кутів) називаються гострими кутами. Кути, які знаходяться між 90º і 180º (більші за прямі кути і менше 180º) називаються тупими кутами. А кут, який вимірює рівно 180º, називається прямим кутом, оскільки він утворює пряму лінію.

    clipboard_eef6972bf3e97690791f02e5b545b6784.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\): Приклади кутів
    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Позначте кожен кут нижче як гострий, правий або тупий.

    clipboard_eb05c6e56720e156948886fa9ee3fa032.png

    Рішення

    Почати можна з визначення будь-яких прямих кутів.

    GFI - прямий кут, на що вказує кутова позначка у вершині F.

    Гострі кути будуть менше, ніж GFI (або менше 90º). Це означає, що DAB і MLN є гострими.

    TQS більше, ніж GFI, тому це тупий кут.

    Відповідь: DAB і MLN - гострі кути. GFI - прямий кут. TQS - тупий кут.

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Визначте кожну точку, промінь та кут на малюнку нижче.

    clipboard_e49635468a060ca4901c4cd389fcd4b5d.png

    Рішення

    Почніть з визначення кожної точки на малюнку. Є 4: E, F, G, і J.

    clipboard_e290bd35e4abbe10832052a06b4bbe34d.png

    Тепер знайдіть промені. Промінь починається в одній точці, а потім триває через іншу точку до нескінченності (позначається стрілкою). Три промені починаються в точці J:\(\overrightarrow{JE}\)\(\overrightarrow{JF}\),, і\(\overrightarrow{JG}\). Але також зверніть увагу, що промінь може починатися в точці F і пройти через J і G, а інший може починатися в точці G і пройти через J і F. Ці промені можуть бути представлені\(\overrightarrow{GF}\) і\(\overrightarrow{FG}\).

    clipboard_e9c92c85d4290dbf07edfeecc0ab02367.png

    Нарешті, шукайте кути. EJG тупий, EJF гострий, а FJG прямий. (Не забувайте ці прямі кути!)

    clipboard_e730ca311d8b285ca92fdcbc5805fe14c.png

    Відповідь: Точки: E, F, G, J

    Промені:\(\overrightarrow{JE}\)\(\overrightarrow{JG}\),\(\overrightarrow{JF}\),\(\overrightarrow{GF}\),\(\overrightarrow{FG}\)

    Кути: EJG, EJF, FJG

    Спробуйте зараз 2

    Визначте гострі кути на даному зображенні:

    clipboard_e99177de8bde8ecadc38d3057146c289d.png

    Вимірювання кутів за допомогою транспортира

    Навчання вимірюванню кутів може допомогти вам стати більш комфортним, виявляючи різницю між вимірюваннями кута. Наприклад, чим кут 135º відрізняється від кута 45º?

    Для вимірювання кутів потрібен транспортир, який представляє собою напівкруглий інструмент, що містить 180 окремих хеш-міток. Кожна хеш-позначка представляє 1º. (Подумайте про це так: коло 360º, тому півколо - 180º.) Щоб скористатися транспортиром, виконайте наступні три кроки:

    Крок 1. Вирівняйте вершину кута точкою посередині плоскої сторони (знизу) транспортира,

    Крок 2. Вирівняйте одну сторону кута з лінією на транспортирі, яка знаходиться на позначці нульового градуса, і

    Крок 3. Подивіться на вигнуту ділянку транспортира, щоб прочитати вимірювання.

    У наведеному нижче прикладі показано, як використовувати транспортир для вимірювання розміру кута.

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    За допомогою транспортира виміряйте кут, показаний нижче.

    clipboard_ee400ac558198d66b6f3fd3cdf3676b4e.png

    Рішення

    За допомогою транспортира виміряйте кут.

    clipboard_ebac0ad37dbe1b54cc7d5b8f442573c5c.png

    Вирівняйте синю точку на транспортирі з вершиною кута, який ви хочете виміряти.

    clipboard_e27ea81704c5e873fe08282d85d792006.png

    Обертайте транспортир навколо вершини кута до тих пір, поки сторона кута не буде вирівняна з позначкою 0 градусів транспортира.

    clipboard_ef7caceb58f7017cbe724afb16f266882.png

    Прочитайте вимірювання, в градусах, кута. Почніть зі сторони кута, яка вирівняна з позначкою 0º транспортира, і відраховуйте від 0º. Цей кут вимірює 38º.

    clipboard_e5af819f221b4d0677a38811a75f507a9.png

    Відповідь: Кут вимірює 38º.

    Спробуйте зараз 3

    Що таке вимірювання кута, показаного нижче?

    clipboard_e890b2098f3908d54991815f2174a2f6d.png

    Резюме

    Геометрія починається з простих понять, таких як точки, лінії, сегменти, промені тощо і розширюється кутами. Як ми бачимо з цього розділу, існує кілька типів кутів та кілька способів їх вимірювання. Найбільш точний спосіб вимірювання кута - використання транспортира. Коли ми складаємо кути разом, ми отримуємо геометричні фігури і тверді тіла, про які ми обговорюємо в майбутніх перерізах. Далі ми обговорюємо лінії, і за допомогою властивостей отримуємо мірки кутів.

    Спробуйте зараз Відповіді
    1. BA; це зображення не показує жодного променя, який починається в точці B і проходить через точку А.
    2. WAX і YAZ x; обидва WAX і YAZ - гострі кути.
    3. 135º; цей транспортир вирівняний правильно, а правильне вимірювання - 135º.

    6.1.1: Властивості кутів

    Цілі навчання
    1. Визначити паралельні і перпендикулярні лінії.
    2. Знайдіть міри кутів.
    3. Визначте додаткові і додаткові кути.

    Вступ

    Уявіть собі дві окремі та чіткі лінії на площині. Є дві можливості для цих ліній: вони або перетинаються в одній точці, або ніколи не перетинаються. При перетині двох ліній утворюється чотири кути. Розуміння того, як ці кути співвідносяться один з одним, може допомогти вам розібратися, як їх виміряти, навіть якщо у вас є лише інформація про розмір одного кута.

    Паралельно і перпендикуляр

    Паралельні лінії - це дві або більше ліній, які ніколи не перетинаються. Так само паралельні відрізки лінії - це два відрізки ліній, які ніколи не перетинаються, навіть якщо відрізки лінії були перетворені на лінії, які тривали назавжди. Приклади паралельних відрізків ліній знаходяться навколо вас, з двох сторін цієї сторінки і на полицях книжкової шафи. Коли ви бачите лінії або структури, які, здається, йдуть в одному напрямку, ніколи не перетинають один одного і завжди знаходяться на однаковій відстані один від одного, є велика ймовірність, що вони паралельні.

    Перпендикулярні лінії - це дві лінії, які перетинаються під кутом 90º (правий). І перпендикулярні відрізки лінії також перетинаються під кутом 90º (правий). Приклади перпендикулярних ліній можна побачити і всюди—на графічному папері, в схемі перетину доріг на перехресті, до кольорових ліній плед-сорочки. У нашому повсякденному житті ви можете бути щасливі назвати дві лінії перпендикулярно, якщо вони просто здаються під прямим кутом один до одного. Однак, вивчаючи геометрію, потрібно переконатися, що дві лінії перетинаються під кутом 90º, перш ніж оголосити їх перпендикулярними.

    На зображенні нижче показані деякі паралельні і перпендикулярні лінії. Геометричним символом паралелі є ||, тому ви можете показати, що AB || CD. Паралельні лінії також часто позначаються маркуванням >> на кожному рядку (або просто єдиною> на кожному рядку). Перпендикулярні лінії позначаються символом, тому можна писати\(\overleftrightarrow{WX} ⊥ \overleftrightarrow{YZ}\).

    clipboard_e71e5714a4003716b9b4d05e556a21581.png

    Якщо дві лінії паралельні, то будь-яка лінія, яка перпендикулярна одній лінії, також буде перпендикулярна іншій. Аналогічно, якщо дві лінії обидві перпендикулярні одній лінії, то ці дві лінії паралельні один одному. Давайте розглянемо один приклад і виділимо деякі з цих типів ліній.

    Приклад\(\PageIndex{7}\)

    Визначте набір паралельних ліній і набір перпендикулярних ліній на зображенні нижче.

    clipboard_e47d8008bc092f0c6fddaeaf62f4a2990.png

    Рішення

    Паралельні лінії ніколи не зустрічаються, а перпендикулярні лінії перетинаються під прямим кутом. \(\overleftrightarrow{AB}\)і\(\overleftrightarrow{CD}\) не перетинаються в цьому зображенні, але якщо ви уявляєте, що подовжують обидві лінії, вони скоро перетинаються. Так, вони не є ні паралельними, ні перпендикулярними.

    clipboard_ed88ac6197347e9451d0449bb6a59d1c4.png

    \(\overleftrightarrow{AB}\)перпендикулярно обом\(\overleftrightarrow{WX}\) і\(\overleftrightarrow{YZ}\), на що вказують прямокутні позначки на перетині цих ліній.

    clipboard_e88b4b5583ebfce0e617276e293c3dbf2.png

    Так як\(\overleftrightarrow{AB}\) перпендикулярно обом лініям, то\(\overleftrightarrow{WX}\) і\(\overleftrightarrow{YZ}\) паралельні.

    clipboard_ea5ba2fe9a1a4ed4344e337b85a6d73bd.png

    Відповідь:\(\overleftrightarrow{WX}\) ||\(\overleftrightarrow{YZ}\)

    \(\overleftrightarrow{AB}\)\(\overleftrightarrow{WX}\)\(\overleftrightarrow{AB}\),\(\overleftrightarrow{YZ}\)

    Спробуйте зараз 1

    Яке твердження найбільш точно представляє зображення нижче?

    clipboard_edbf1f5896a649df6313a49b15db4471e.png

    А) ЕФ || Г

    Б) АБ ЕГ

    C) ФХ || ЕГ

    Г) АБ || ФХ

    Пошук кутових вимірювань

    Розуміння того, як паралельні та перпендикулярні лінії співвідносяться, може допомогти вам з'ясувати вимірювання деяких невідомих кутів. Для початку все, що вам потрібно пам'ятати, це те, що перпендикулярні лінії перетинаються під кутом 90º, а прямий кут вимірює 180º.

    Міра кута, такого як A, записується як Ma. подивіться на приклад нижче. Як можна знайти виміри немаркованих кутів?

    Приклад\(\PageIndex{8}\)

    Знайдіть вимірювання IJF.

    clipboard_e4acea3304af09dbdcd416a16320c4d55.png

    Рішення

    На зображенні позначений лише один кут, HJM. Зверніть увагу, що це прямий кут, тому він вимірює 90º. HJM утворюється перетином ліній\(\overleftrightarrow{IM}\) і\(\overleftrightarrow{HF}\). Оскільки\(\overleftrightarrow{IM}\) це лінія, IJM - це прямий кут вимірювання 180º.

    clipboard_ea015490366843fe790cc4c78fef346bb.png

    Ви можете використовувати цю інформацію, щоб знайти вимірювання HJI:

    Мхмм + Мхджі = ММім

    90º + мм = 180º

    МДжі = 90º

    clipboard_e803b9dca4f01793a7257369e9d029bba.png

    Тепер скористайтеся тією ж логікою, щоб знайти вимірювання IJF. IJF утворюється перетином ліній\(\overleftrightarrow{IM}\) і\(\overleftrightarrow{HF}\). Оскільки\(\overleftrightarrow{HF}\) це лінія, HJF буде прямим кутом вимірювання 180º.

    clipboard_ede2911dd9f0ceb320349af19fd051f6d.png

    Ви знаєте, що HJI вимірює 90º. Використовуйте цю інформацію, щоб знайти вимірювання IJF:

    Мхмм + МджФ = МхГБФ

    90º + Міф = 180º

    Міф = 90º

    clipboard_eb605d426676c5fa2b6efc2d215dfef8e.png

    Відповідь: Міф = 90º

    У цьому прикладі ви, можливо, помітили, що кути HJI, IJF і HJM є прямими кутами. (Якби вас попросили знайти вимірювання FJM, ви б виявили, що кут буде 90º, теж.) Це те, що відбувається, коли дві лінії перпендикулярні - чотири кути, створені перетином, є прямими кутами.

    Однак не всі перехрестя трапляються під прямим кутом. У наведеному нижче прикладі зверніть увагу, як ви можете використовувати ту саму техніку, як показано вище (використовуючи прямі кути), щоб знайти вимірювання відсутнього кута.

    Приклад\(\PageIndex{9}\)

    Знайдіть вимірювання DAC.

    clipboard_ef73c90c381176b0d08bcb82ed93897d7.png

    Рішення

    На цьому зображенні показано лінію\(\overleftrightarrow{BC}\) і промінь, що\(\overrightarrow{AD}\) перетинаються в точці А. Вимірювання BAD становить 135º. Ви можете використовувати прямі кути, щоб знайти вимірювання DAC.

    clipboard_ea2d4287eb8be31bb322b80d4454064f6.png

    BAC - прямий кут, тому він вимірює 180º.

    clipboard_e76b9cd790e0aaab093cfdbf5113a32ae.png

    Використовуйте цю інформацію, щоб знайти вимірювання DAC.

    Бад+ МDAC = МБак

    135º + МДК = 180º

    DAC = 45º

    clipboard_e8eadfb01dc9828534a126e08c0116e65.png

    Відповідь: MDAC = 45º

    clipboard_e0a23f65a1ce8679044afc4a8016b33b6.png

    Спробуйте зараз 2

    Знайдіть вимірювання CAD.

    clipboard_ecf6768a931c6c017b4576856bee820b5.png

    Додаткові та комплементарні

    У наведеному вище прикладі MBaC і MDAC додають до 180º. Два кути, міри яких складають до 180º, називаються додатковими кутами. Існує також термін для двох кутів, вимірювання яких складають до 90º, вони називаються додатковими кутами.

    Один із способів запам'ятати різницю між двома термінами полягає в тому, що «кут» та «взаємодоповнюючий» кожен починається з c (кут 90º виглядає як кут), тоді як прямий і «додатковий» кожен починається з s (прямий кут вимірює 180º).

    Якщо ви можете визначити додаткові або додаткові кути в межах проблеми, пошук відсутніх вимірювань кута часто просто питання додавання або віднімання.

    Приклад\(\PageIndex{10}\)

    Два кута є додатковими. Якщо один з кутів вимірює 48º, що таке вимірювання іншого кута?

    Рішення

    Два додаткових кута складають прямий кут, тому вимірювання двох кутів становитимуть 180º.

    ма+ мб = 180º

    Ви знаєте вимірювання одного кута. Щоб знайти вимірювання другого кута, відніміть 48º від 180º.

    48º+ мБ= 180º

    мб = 180º - 48º

    мб = 132º

    Відповідь: Вимірювання іншого кута становить 132º

    Приклад\(\PageIndex{11}\)

    Знайдіть вимірювання AXZ.

    clipboard_e38f9049e419092adfed52a995dca5fcb.png

    Рішення

    На цьому зображенні показані дві пересічні лінії,\(\overleftrightarrow{AB}\) і\(\overleftrightarrow{YZ}\). Вони перетинаються в точці Х, утворюючи чотири кути. Кути AXY та AXZ є додатковими, оскільки разом вони складають прямий кут YXZ.

    clipboard_e0ad5638c23a218da9b71a53020912a79.png

    Використовуйте цю інформацію, щоб знайти вимірювання AXZ.

    Максія+ МаГц = МYxZ

    30º + МГц = 180º

    ММакс = 150º

    clipboard_e6d233302a8c8a6322c2c55ffb2cea2db.png

    Відповідь: MaxZ = 150º

    Приклад\(\PageIndex{12}\)

    Знайдіть вимірювання BAC.

    clipboard_e0d4743b25763f71b8131db1a04afa48f.png

    Рішення

    На цьому зображенні показані лінії\(\overleftrightarrow{CF}\) і промені\(\overleftrightarrow{AB}\) і\(\overleftrightarrow{AD}\), всі перетинаються в точці А. Кут BAD є прямим кутом. Кути BAC і CAD є доповнюючими, тому що разом вони створюють BAD.

    clipboard_e6f28b0dd910a26653f94d9bec93b0b78.png

    Використовуйте цю інформацію, щоб знайти вимірювання BAC.

    BAC + CAD = Мбід

    MBAC + 50º = 90º

    МBAC = 40º

    clipboard_e6e91733c4a608b45bc51c7061bbbdac7.png

    Відповідь: MBAC = 40º

    Приклад\(\PageIndex{13}\)

    Знайдіть вимірювання CAD.

    clipboard_e9bab5e6204df27e30b4640cce7bc8671.png

    Рішення

    Ви знаєте вимірювання двох кутів тут: CAB і DAE. Ви також знаєте, що MBae = 180º.

    clipboard_e98dc091c66ac7b02ae6ab2ea75312226.png

    Використовуйте цю інформацію, щоб знайти вимірювання CAD.

    BAC + CAD + МДД = Мбае

    25º + MCad + 75º = 180º

    MCad + 100º = 180º

    МCAD = 80º

    clipboard_e745e9fbdd53368940509b7a895f2724d.png

    Відповідь: MCAD = 80º

    Спробуйте зараз 3

    Яка пара кутів доповнює?

    clipboard_eceb08cc50384ddd92ca69cfc8df7decf.png

    А) ПКО і МКН

    Б) ПКО і ПКМ

    В) ЛКП і ЛКН

    Г) ЛКМ і МКН

    Резюме

    Паралельні лінії не перетинаються, тоді як перпендикулярні лінії перетинаються під кутом 90º. Два кути, вимірювання яких складають до 180º, вважаються додатковими, а два кути, вимірювання яких складають до 90º, вважаються доповнюючими. Для більшості пар пересічних ліній все, що вам потрібно - це вимірювання одного кута, щоб знайти вимірювання всіх інших кутів, утворених перетином.

    Спробуйте зараз Відповіді
    1. C) FH || EG; як EG, так і FH позначені >> на кожному рядку, і ці маркування означають, що вони паралельні.
    2. 137º; BAD - прямий кут, що вимірює 180º. Оскільки BAC вимірює 43º, міра CAD повинна бути 180º - 43º = 137º.
    3. D) LKM і MKN; вимірювання двох додаткових кутів додадуть до 90º. LKP - це прямий кут, тому LKN також повинен бути прямим кутом. ЛКМ + MKN = LKN, тому ЛКМ і MKN є доповнюючими.

    6.1.2: Трикутники

    Цілі навчання
    1. Визначте рівносторонній, рівнобедрений, масштабний, гострий, правий і тупий трикутники.
    2. Визначте, чи трикутники схожі, конгруентні чи ні.
    3. Визначте відповідні сторони конгруентних і подібних трикутників.
    4. Знайти відсутні мірки в парі аналогічних трикутників.
    5. Вирішити прикладні завдання за участю подібних трикутників

    Вступ

    Геометричні фігури, також звані фігурами, є важливою частиною вивчення геометрії. Трикутник - одна з основних форм в геометрії. Це найпростіша форма в класифікації форм, які називаються багатокутниками. Всі трикутники мають три сторони і три кути, але вони бувають самих різних форм і розмірів. У групі всіх трикутників характеристики сторін і кутів трикутника використовуються для його ще більшої класифікації. Трикутники мають деякі важливі характеристики, і розуміння цих характеристик дозволяє застосовувати ідеї в реальних завданнях.

    Класифікація та іменування трикутників

    Багатокутник - це замкнута плоска фігура з трьома або більше прямими сторонами. Багатокутники мають спеціальну назву залежно від кількості сторін, які вони мають. Наприклад, багатокутник з трьома сторонами називається трикутником, оскільки «tri» - це префікс, що означає «три». Його назва також вказує на те, що цей багатокутник має три кути. Приставка «полі» означає багато.

    У таблиці нижче наведено і описано три класифікації трикутників. Зверніть увагу, як типи кутів у трикутнику використовуються для класифікації трикутника.

    Назва трикутника Зображення трикутника Опис
    Гострий трикутник clipboard_efc82e553d38caa117c8a6a72e76788da.png Трикутник з 3 гострими кутами (3 кути вимірювання від 0° до 90°).
    Тупий трикутник clipboard_e2c748cdd954243f898b8a2f097b7b2bf.png Трикутник з 1 тупим кутом (1 кут вимірювання між 90° і 180°).
    Правий трикутник clipboard_e05b6967411ccef70e6077f64adc75560.png Трикутник, що містить один прямий кут (1 кут, що вимірює 90°). Зверніть увагу, що прямий кут відображається з кутовою позначкою і не потребує маркування 90°.

    Сума мір трьох внутрішніх кутів трикутника завжди дорівнює 180°. Цей факт можна застосувати, щоб знайти міру третього кута трикутника, якщо вам дано два інших. Розглянемо приклади нижче.

    Приклад\(\PageIndex{14}\)

    Трикутник має два кути, які вимірюють 35° та 75°. Знайдіть міру третього кута.

    Рішення

    Сума трьох внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°.

    35° + 75° +\(x\) = 180°

    Знайдіть значення\(x\).

    110º +\(x\) = 180º

    \(x\)= 180° ‒ 110º

    \(x\)= 70°

    Відповідь: Третій кут трикутника вимірює 70°.

    Приклад\(\PageIndex{15}\)

    Один з кутів у прямокутному трикутнику вимірює 57º. Знайдіть вимір третього кута.

    Рішення

    Сума трьох кутів трикутника дорівнює 180°. Один з кутів має міру 90°, оскільки це прямокутний трикутник.

    57° + 90°\(x\) = 180°

    Спростити.

    147º +\(x\) = 180°

    Знайдіть значення\(x\).

    \(x\)= 180º - 147º

    \(x\)= 33º

    Відповідь: Третій кут прямокутного трикутника вимірює 33°.

    Існує встановлена угода про іменування трикутників. Мітки вершин трикутника, які, як правило, великі літери, використовуються для назви трикутника.

    clipboard_e9ad34cc8e470a0011971741eaea18c5e.png

    Ви можете назвати цей трикутник ABC або ΔABC, оскільки A, B і C є вершинами трикутника. При іменуванні трикутника можна починати з будь-якої вершини. Потім тримайте літери в порядку, коли ви обходите багатокутник. Трикутник вище може бути названий різними способами: ΔABC, або ΔCBA. Сторонами трикутника є відрізки лінії AB, AC і CB.

    Подібно до того, як трикутники можна класифікувати як гострі, тупі або прямі залежно від їх кутів, їх також можна класифікувати за довжиною їх сторін. Сторони однакової довжини називаються конгруентними сторонами. Поки ми позначаємо точки з'єднання сегментів A і B позначенням\(\overline{AB}\), ми позначаємо довжину відрізка, що з'єднує точки A і B позначенням AB без сегментної смуги над ним. Довжина АВ - це число, а відрізок\(\overline{AB}\) - це сукупність точок, що складають відрізок.

    Математики показують конгруентність, проставляючи символ хеш-позначки через середину сторін однакової довжини. Якщо хеш-мітка однакова з однієї або декількох сторін, то ці сторони є конгруентними. Якщо сторони мають різні хеш-позначки, вони не є конгруентними. У таблиці нижче наведено класифікацію трикутників по довжині їх сторін.

    Назва трикутника Зображення трикутника Опис
    Рівносторонній трикутник clipboard_ee8749c8926bcc4b69867711d6d630f98.png Трикутник, три сторони якого мають однакову довжину. Ці сторони однакової довжини називаються конгруентними сторонами.
    Рівнобедрений трикутник clipboard_ee5e57b0b68495db52ac82389863c9654.png Трикутник з рівно двома конгруентними сторонами.
    Сходовий трикутник clipboard_e4b7bfd374ad6b66077424e66f9b76908.png Трикутник, в якому всі три сторони мають різну довжину.

    Щоб описати трикутник ще більш конкретно, можна використовувати інформацію як про його сторони, так і про кутах. Розглянемо цей приклад.

    Приклад\(\PageIndex{16}\)

    Класифікуйте трикутник нижче.

    clipboard_e7bf94b87fb23e775c1c2f05f99a69c78.png

    Рішення

    Зверніть увагу, які кути має трикутник. Так як один кут є прямим кутом, це прямокутний трикутник.

    clipboard_e0d2134d9593db28bc8e697f91fa9ca62.png

    Зверніть увагу на довжини сторін. Чи є знаки конгруентності чи інші етикетки?

    clipboard_e0ea59537286654938ab1732f2b4ab985.png

    Знаки конгруентності говорять нам, що є дві сторони однакової довжини. Отже, це рівнобедрений трикутник.

    Відповідь: Це рівнобедрений прямокутний трикутник

    Спробуйте зараз 1

    Класифікувати заданий трикутник.

    clipboard_e276906e9b2a3061055998385b153769a.png

    Визначення конгруентних та подібних трикутників

    Два трикутника конгруентні, якщо вони точно однакового розміру і форми. У конгруентних трикутниках міри відповідних кутів і довжин відповідних сторін рівні. Розглянемо два трикутника, показані нижче:

    clipboard_ed41cecd15b54f33af0a8d7377f965de9.png

    Оскільки B і E є прямими кутами, ці трикутники є прямими трикутниками. Давайте назвемо ці два трикутника ΔABC і ΔDEF. Ці трикутники є конгруентними, якщо кожна пара відповідних сторін має однакову довжину, а кожна пара відповідних кутів має однакову міру.

    Відповідні сторони знаходяться навпроти відповідних кутів.

    ↔ означає «відповідає»

    Б ↔ Е

    А ↔ Д

    C ↔ Ф

    \(\overline{AB}\)↔\(\overline{DE}\)

    \(\overline{AC}\)↔\(\overline{DF}\)

    \(\overline{BC}\)↔\(\overline{EF}\)

    ΔABC і ΔDEF є конгруентними трикутниками, оскільки відповідні сторони та відповідні кути рівні.

    Давайте розглянемо ще одну пару трикутників. Нижче наведені трикутники ΔABC і ΔRST.

    clipboard_ecce2fb9490296baba61ec3b33f9c952f.png

    Ці два трикутники, безумовно, не є конгруентними, оскільки ΔRST явно менший за розміром, ніж ΔABC. Але, незважаючи на те, що вони не однакового розміру, вони нагадують один одного. Вони мають однакову форму. Відповідні кути цих трикутників виглядають так, як вони можуть мати однакове точне вимірювання, і якби вони зробили, вони були б конгруентними кутами, і ми б назвали трикутники подібними трикутниками.

    Конгруентні кути позначені хеш-мітками, так само, як і конгруентні сторони.

    clipboard_ec001d517c3f320dea51e21b87cb84b0b.png
    Малюнок\(\PageIndex{6}\): Зображення, що показує вимірювання кута обох трикутників.

    clipboard_e47d6af66062250013ea50cff11432edd.png
    Малюнок\(\PageIndex{7}\): Зображення, що показує трикутники ABC та RST, використовуючи хеш-позначки, щоб показати кутову конгруентність.

    Ми також можемо показати конгруентні кути, використовуючи кілька смуг всередині кута, а не кілька хеш-міток на одній смузі. Нижче наведено зображення з використанням декількох смуг в межах кута.

    clipboard_ef0bab96f9bcf934f16e991b619359df6.png
    Малюнок\(\PageIndex{8}\): Зображення, що показує трикутники ABC та RST, використовуючи смуги, щоб показати кутову конгруентність.

    Якщо відповідні кути двох трикутників мають однакові вимірювання, їх називають схожими трикутниками. Ця назва має сенс тому, що вони мають однакову форму, але не обов'язково однаковий розмір. Коли пара трикутників схожа, відповідні сторони пропорційні один одному. Це означає, що існує послідовний масштабний коефіцієнт, який можна використовувати для порівняння відповідних сторін. У попередньому прикладі довжини сторін більшого трикутника все в 1,4 рази більше довжини меншого. Так, подібні трикутники пропорційні один одному.

    Просто тому, що два трикутника схожі, не означає, що вони схожі трикутники в математичному сенсі цього слова. Перевірка того, чи відповідні кути мають однакову міру, є одним із способів переконатися, що трикутники схожі.

    Відповідні сторони подібних трикутників

    Існує ще один метод визначення подібності трикутників, який передбачає порівняння співвідношень довжин відповідних сторін.

    Якщо співвідношення пар відповідних сторін рівні, трикутники аналогічні.

    Розглянемо два трикутника нижче.

    clipboard_e97ee133a451564eab537fd9f7fc1edb4.png

    ΔABC не відповідає ΔDEF, оскільки довжини сторін ΔDEF довші, ніж довжини ΔABC. Отже, чи схожі ці трикутники? Якщо вони є, відповідні сторони повинні бути пропорційними.

    Так як ці трикутники орієнтовані однаково, можна з'єднати ліву, праву і нижню сторони:\(\overline{AB}\) і\(\overline{DE}\),\(\overline{BC}\) і\(\overline{EF}\),\(\overline{AC}\) і\(\overline{DF}\). (Ви можете назвати ці дві найкоротші сторони, дві найдовші сторони та дві залишкові сторони і прибувають у однакових співвідношеннях). Зараз ми розглянемо співвідношення їх довжин.

    \( \dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}} = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{EF}} = \dfrac{\overline{AC}}{\overline{DF}} \)

    Підставляючи значення довжини сторони в пропорцію, ви бачите, що це правда:

    \( \dfrac{3}{9} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{6}{18} \)

    Якщо відповідні сторони пропорційні, то трикутники аналогічні. Трикутники ABC і DEF схожі, але не конгруентні.

    Давайте використаємо цю ідею пропорційних відповідних сторін, щоб визначити, чи схожі ще два трикутника.

    Приклад\(\PageIndex{17}\)

    Визначте, чи трикутники нижче схожі, побачивши, чи пропорційні їхні сторони.

    clipboard_e7ffd741d35bd55b18df384f66688d1f5.png

    Рішення

    Спочатку визначають відповідні сторони, які є протилежними відповідними кутами.

    \(\overline{CA}\)↔\(\overline{FD}\)

    \(\overline{AB}\)↔\(\overline{DE}\)

    \(\overline{BC}\)↔\(\overline{EF}\)

    Запишіть відповідні довжини сторін у вигляді співвідношень.

    \( \dfrac{\overline{CA}}{\overline{FD}} = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}} = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{EF}} \)

    Підставте довжини сторін в співвідношення, і визначте, чи співвідношення відповідних сторін еквівалентні. Вони є, тому трикутники схожі.

    \( \dfrac{10}{5} = \dfrac{6}{3} = \dfrac{14}{7} \)

    \(2 = 2 = 2\)

    Відповідь: ΔABC і ΔDEF схожі.

    Математичний символ ~ означає «схожий на». Таким чином, ви можете написати ΔABC подібний до ΔDEF як ΔABC ~ ΔDEF.

    Спробуйте зараз 2

    Визначте, чи два трикутники схожі, конгруентні чи ні.

    clipboard_e030dd71ac59dd3ed9e945bfe8136e293.png

    Пошук відсутніх вимірювань у подібних трикутниках

    Знайти відсутні вимірювання в трикутнику можна, якщо знати деякі вимірювання подібного трикутника. Давайте розглянемо приклад.

    Приклад\(\PageIndex{18}\)

    ΔABC і ΔXYZ є подібними трикутниками. Яка довжина сторони BC?

    clipboard_eff5f507a88e61582b7300ecdf9ac0778.png

    Рішення

    У подібних трикутників співвідношення відповідних сторін пропорційні. Встановіть пропорцію двох співвідношень, одне, яке включає відсутню сторону.

    \(\dfrac{BC}{YZ} = \dfrac{AB}{XY}\)

    Підставте відомі довжини сторін для назв сторін в співвідношенні. Нехай невідома довжина сторони дорівнює n.

    \(\dfrac{n}{2} = \dfrac{6}{1.5}\)

    Розв'яжіть для n, використовуючи перехресне множення.

    \(2 \cdot 6 = 1.5 \cdot n\)

    \(12 = 1.5n\)

    \(8 = n\)

    Цей процес досить простий, але будьте обережні, щоб ваші співвідношення представляли відповідні сторони, нагадуючи, що відповідні сторони є протилежними відповідними кутами.

    Рішення прикладних задач за участю подібних трикутників

    Застосування знань про трикутники, подібність та конгруентність може бути дуже корисним для вирішення проблем у реальному житті. Подібно до того, як ви можете вирішити відсутні довжини трикутника, намальованого на сторінці, ви можете використовувати трикутники, щоб знайти невідомі відстані між місцями або об'єктами.

    Розглянемо на прикладі двох дерев і їх тіні. Припустимо, сонце світить на двох деревах, одне висотою 6 футів, а інше, висота яких невідома. Вимірюючи довжину кожної тіні на землі, ви можете використовувати схожість трикутника, щоб знайти невідому висоту другого дерева.

    Для початку давайте розберемося, де знаходяться трикутники в даній ситуації. Самі дерева створюють одну пару відповідних сторін. Відкинуті на землю тіні - це ще одна пара відповідних сторін. Третя сторона цих уявних подібних трикутників проходить від верхівки кожного дерева до кінчика його тіні на землі. Це гіпотенуза трикутника.

    Якщо ви знаєте, що дерева і їх тіні утворюють подібні трикутники, ви можете встановити пропорцію, щоб знайти висоту дерева.

    Приклад\(\PageIndex{19}\)

    Коли сонце знаходиться під певним кутом в небі, 6-футове дерево відкине 4-футову тінь. Наскільки високе дерево, яке кидає 8-футову тінь?

    clipboard_ec34d8226103919244a082308e3431c48.png

    Рішення

    Вимірювання кута однакові, тому трикутники - це аналогічні трикутники. Так як вони схожі трикутники, можна використовувати пропорції, щоб знайти розмір відсутньої сторони.

    \(\dfrac{\text{Tree 1}}{\text{Tree 2}} = \dfrac{\text{Shadow 1}}{\text{Shadow 2}}\)

    Встановіть пропорцію, порівнюючи висоту дерев і довжини їх тіней.

    Підставляємо в відомі довжини. Викликаємо відсутнє дерево висотою h.

    \(\dfrac{6}{h} = \dfrac{4}{8}\)

    Вирішіть для h за допомогою перехресного множення.

    \(6 \cdot 8 = 4h\)

    \(48 = 4h\)

    \(12 = h\)

    Відповідь: Дерево заввишки 12 футів.

    Резюме

    Трикутники - одна з основних форм у реальному світі. Трикутники можна класифікувати за характеристиками їх кутів і сторін, а трикутники можна порівняти виходячи з цих характеристик. Сума мір внутрішніх кутів будь-якого трикутника становить 180º. Конгруентні трикутники - це трикутники однакового розміру і форми. Вони мають відповідні сторони однакової довжини і відповідні кути однакового вимірювання. Подібні трикутники мають однакову форму, але не обов'язково однакового розміру. Довжини їх сторін пропорційні. Знання трикутників може бути корисним у вирішенні реальних проблем.

    Спробуйте зараз Відповіді

    1. Тупа шкала; цей трикутник має вершини P, Q і R, один кут (кут Q), який знаходиться між 90º і 180º, і сторони трьох різних довжин.

    2. ΔABC і ΔDEF не є ні подібними, ні конгруентними; відповідні кутові міри, як відомо, не є рівними, як показано відсутністю знаків конгруентності на кутах. Також співвідношення відповідних сторін не рівні:\( \dfrac{6.5}{5} = \dfrac{6.5}{5} \neq \dfrac{5}{5} \)

    6.1.3: Теорема Піфагора

    Цілі навчання
    1. Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти невідому сторону прямокутного трикутника.
    2. Вирішити прикладні задачі, пов'язані з теоремою Піфагора.

    Вступ

    Давним-давно грецький математик на ім'я Піфагор виявив цікаву властивість щодо правильних трикутників: сума квадратів довжин кожного з катетів трикутника така ж, як і квадрат довжини гіпотенузи трикутника. Ця властивість, яка має багато застосувань у науці, мистецтві, техніці та архітектурі, тепер називається теоремою Піфагора.

    Давайте розглянемо, як ця теорема може допомогти вам дізнатися більше про побудову трикутників. І найкраща частина - вам навіть не потрібно говорити грецькою, щоб застосувати відкриття Піфагора.

    Теорема Піфагора

    Піфагор вивчав прямі трикутники, і відносини між катетами і гіпотенузою прямокутного трикутника, перш ніж вивести свою теорію.

    clipboard_e7cd7ec2ee797257af1cee93431508c79.png

    Теорема Піфагора

    Якщо a і b - довжини катетів прямокутного трикутника і c - довжина гіпотенузи, то сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи.

    Це співвідношення представлено формулою:\(a^2 + b^2 = c^2\)

    У полі вище ви, можливо, помітили слово «квадрат», а також маленькі 2s у верхньому правому куті букв в\(a^2 + b^2 = c^2\). Квадратувати число означає помножити його на себе. Так, наприклад, в квадрат число, яке\(5\) ви множите\(5 \cdot 5\), а щоб квадрат число\(12\), ви множите\(12 \cdot 12\). Деякі загальні квадрати наведені в таблиці нижче.

    Число Сама кількість разів Квадрат
    1 \(1^2 = 1 \cdot 1\) 1
    2 \(2^2 = 2 \cdot 2\) 4
    3 \(3^2 = 3 \cdot 3\) 9
    4 \(4^2 = 4 \cdot 4\) 16
    5 \(5^2 = 5 \cdot 5\) 25
    10 \(10^2 = 10 \cdot 10\) 100

    Коли ви бачите рівняння\(a^2 + b^2 = c^2\), ви можете думати про це як «довжину сторони a раз сама, плюс довжина сторони b разів сама така ж, як довжина сторони c разів сама».

    Давайте спробуємо всі теореми Піфагора з фактичним прямокутним трикутником.

    clipboard_e4badd447ca33cd1fddcffa0a677256b1.png

    Ця теорема вірна для цього правого трикутника - сума квадратів довжин обох катетів така ж, як квадрат довжини гіпотенузи. І, насправді, це справедливо для всіх правильних трикутників.

    Теорему Піфагора також можна представити через площу. У будь-якому прямокутному трикутнику площа квадрата, проведеного з гіпотенузи, дорівнює сумі площ квадратів, які витягнуті з двох катетів. Ви можете побачити це ілюстровано нижче в тому ж 3-4-5 прямокутному трикутнику.

    clipboard_e10ba14a2e647da53f1279632a737636f.png

    Зауважте, що теорема Піфагора працює тільки з прямими трикутниками.

    Знаходження довжини гіпотенузи

    Ви можете використовувати теорему Піфагора, щоб знайти довжину гіпотенузи прямокутного трикутника, якщо ви знаєте довжину двох інших сторін трикутника, які називаються катетами. Покладіть по-іншому, якщо ви знаєте довжини a і b, можна знайти c.

    clipboard_ef9bd837c86334f18dc0c44c742afa1a5.png

    У трикутнику вище наведені мірки для ніг a і b: 5 і 12 відповідно. Ви можете використовувати теорему Піфагора, щоб знайти значення довжини c, гіпотенузи.

    Теорема Піфагора.

    \(a^2 + b^2 = c^2\)

    Підставляємо відомі значення для a і b.

    \((5)^2 + (12)^2 = c^2\)

    Оцінити.

    \(25 + 144 = c^2\)

    Спростити. Щоб знайти значення c, подумайте про число, яке при множенні на себе дорівнює 169. Чи працює 10? Як щодо 11? 12? 13? (Ви можете використовувати калькулятор для множення, якщо числа незнайомі.)

    \(169 = c^2\)

    Квадратний корінь з 169 дорівнює 13.

    \(c = 13\)

    Використовуючи формулу, ви знайдете, що довжина c, гіпотенузи, дорівнює 13.

    У цьому випадку ви не знали значення c —вам дали квадрат довжини гіпотенузи, і повинні були з'ясувати це звідти. Коли вам дано рівняння, подібне до\(169 = c^2\) і вас попросять знайти значення c, це називається знаходженням квадратного кореня числа. (Зверніть увагу, що ви знайшли число, c, чия площа була 169.)

    Пошук квадратного кореня вимагає певної практики, але для цього також потрібні знання множення, ділення та трохи проб і помилок. Подивіться на таблицю нижче.

    Число\(x\) Число,\(y\) яке при множенні на себе дорівнює числу\(x\) Квадратний корінь\(y\)
    1 \(1 \cdot 1\) 1
    4 \(2 \cdot 2\) 2
    9 \(3 \cdot 3\) 3
    16 \(4 \cdot 4\) 4
    25 \(5 \cdot 5\) 5
    100 \(10 \cdot 10\) 10

    Це гарна звичка ознайомлюватися з квадратами чисел від 0‒10, оскільки вони часто виникають у математиці. Якщо ви можете запам'ятати ці квадратні числа - або якщо ви можете скористатися калькулятором, щоб знайти їх, то пошук багатьох загальних квадратних коренів буде лише питанням відкликання.

    Спробуйте зараз 1

    Для якого з цих трикутників\((3)^2 + (3)^2 = r^2\)?

    А)clipboard_e21ce4bf8416d8fd1a7f20af7c17c3777.png Б)clipboard_e6c569a5ea952e737c7cd198d47e5a8c2.png

    В)clipboard_e30d295a0646de0329f9acf29c872c3ea.png Г)clipboard_e30724fc1116cc4ef3b7b63b631baf9fb.png

    Знаходження довжини ноги

    За тією ж формулою можна знайти довжину катета прямокутного трикутника, якщо наведені вимірювання довжин гіпотенузи та іншого катета. Розглянемо приклад нижче.

    Приклад\(\PageIndex{20}\)

    Знайдіть довжину сторони a в трикутнику нижче. Використовуйте калькулятор, щоб оцінити квадратний корінь до одного знака після коми.

    clipboard_e8af3a913008dfd55fa75c920ca715649.png

    Рішення

    У цьому прямокутному трикутнику задаються вимірювання для гіпотенузи, c, і одного катета, b Гіпотенуза завжди протилежна прямому куту і завжди є найдовшою стороною трикутника.

    \(a\)=?

    \(b\)= 6

    \(c\)= 7

    Щоб знайти довжину катета a, підставляємо відомі значення в теорему Піфагора.

    \(a^2 + b^2 = c^2\)

    \(a^2 + 6^2 = 7^2\)

    Вирішити для\(a^2\). Подумайте: яке число, при додаванні до 36, дає вам 49?

    \(a^2 + 36 = 49\)

    \(a^2 = 13\)

    Використовуйте калькулятор, щоб знайти квадратний корінь 13. Калькулятор дає відповідь 3.6055..., який можна округлити до 3,6. (Оскільки ви наближаєтеся, ви використовуєте символ ≈.)

    \(a ≈ 3.6\)

    Відповідь: a ≈ 3.6

    Спробуйте зараз 2

    Що з наступного правильно використовує теорему Піфагора, щоб знайти відсутню сторону,\(x\)?

    clipboard_e22d850f75f5b5c2d068d62ed79aac726.png

    А)\(8^2 + 10^2 = x^2\)

    Б)\(x + 8 = 10\)

    C)\(x^2 + 8^2 = 10^2\)

    Г)\(x^2 + 10^2 = 8^2\)

    Використання теореми Піфагора для розв'язання реальних задач

    Теорема Піфагора - це, мабуть, одна з найкорисніших формул, яку ви вивчите в математиці, оскільки існує так багато застосувань у реальних налаштуваннях. Архітектори та інженери широко використовують цю формулу при будівництві пандусів, мостів та будівель. Подивіться на наступні приклади.

    Приклад\(\PageIndex{21}\)

    Власники будинку хочуть перетворити сходи, що ведуть від землі до їх заднього ганку, в пандус. Ганок знаходиться в 3 футах від землі, і завдяки будівельним нормам пандус повинен починатися на відстані 12 футів від основи ганку. Скільки часу буде пандус?

    За допомогою калькулятора знайдіть квадратний корінь, і округляйте відповідь до найближчої десятої.

    Рішення

    Щоб вирішити подібну задачу, часто має сенс намалювати просту діаграму, що показує, де лежать катети і гіпотенуза трикутника.

    clipboard_eaa2fbfda7f4d489c5790444fc5e39bd5.png

    Визначте катети і гіпотенузу трикутника. Ви знаєте, що трикутник є прямокутним трикутником, оскільки земля і піднята частина ганку перпендикулярні - це означає, що ви можете використовувати теорему Піфагора для вирішення цієї проблеми. Визначте a, b і c.

    \(a\)= 3

    \(b\)= 12

    \(c\)=?

    Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти довжину c.

    \(a^2 + b^2 = c^2\)

    \(3^2 + 12^2 = c^2\)

    \(9 + 144 = c^2\)

    \(153 = c^2\)

    Використовуйте калькулятор, щоб знайти c.

    \(12.4 = c^2\)

    Квадратний корінь 153 дорівнює 12.369..., так що ви можете округлити це до 12,4.

    Відповідь: Пандус буде довжиною 12,4 футів.

    Приклад\(\PageIndex{22}\)

    Вітрильник має велике вітрило у формі прямокутного трикутника. Найдовший край вітрила вимірює 17 ярдів, а нижній край вітрила - 8 ярдів. Наскільки високий вітрило?

    Рішення

    Намалюйте зображення, яке допоможе вам візуалізувати проблему. У прямокутному трикутнику гіпотенуза завжди буде найдовшою стороною, тому тут вона повинна бути 17 ярдів. Проблема також говорить вам, що нижній край трикутника дорівнює 8 ярдів.

    clipboard_efdc9cabde76448ce56bda1599ac39d7a.png

    Налаштуйте теорему Піфагора.

    \(a^2 + b^2 = c^2\)

    \(a^2 + 8^2 = 17^2\)

    \(a^2 + 64 = 289\)

    \(a^2 = 225\)

    \(15 \cdot 15 = 225\), так

    \(a = 15\)

    Відповідь: Висота вітрила становить 15 ярдів.

    Резюме

    Теорема Піфагора стверджує, що в будь-якому прямокутному трикутнику сума квадратів довжин катетів трикутника така ж, як і квадрат довжини гіпотенузи трикутника. Ця теорема представлена формулою 222 abc + =. Простіше кажучи, якщо ви знаєте довжини двох сторін прямокутного трикутника, ви можете застосувати теорему Піфагора, щоб знайти довжину третьої сторони. Пам'ятайте, ця теорема працює лише для прямих трикутників.

    Спробуйте зараз Відповіді

    1. Б)clipboard_e6c569a5ea952e737c7cd198d47e5a8c2.png; це прямокутний трикутник; коли ви підсумуєте квадрати довжин сторін, ви отримаєте квадрат довжини гіпотенузи.

    2. В)\(x^2 + 8^2 = 10^2\); в цьому трикутнику гіпотенуза має довжину\(10\), а катети мають довжину\(8\) і\(x\). Підставляючи теорему Піфагора, ви маєте:\(x^2 + 8^2 = 10^2\); це рівняння таке ж\(x^2 + 64 = 100\), як, або\(x^2 = 36\). Яке число, раз саме, дорівнює\(36\)? Це зробило б\(x = 6\).