4.2: Геометрія Мебіуса

Ми витратили неабияку кількість часу, вивчаючи перетворення Мебіуса в главі 3, і це виплатить дивіденди зараз.

Визначення: Геометрія Мебіуса

Геометрія Мебіуса — це$(\mathbb{C}^+,{\cal M}),$ геометрія, яка$\cal M$ позначає групу всіх перетворень Мебіуса.

Фактично не заявляючи про це, ми по суті довели, що$\cal{M}$ це група перетворень. А саме, ми довели, що зворотне перетворення Мебіуса знову є перетворенням Мебіуса, і що композиція двох перетворень Мебіуса є перетворенням Мебіуса. Ми зауважимо, що карта ідентичності на$\mathbb{C}^+\text{,}$$T(z) = z\text{,}$ є трансформацією Мебіуса (форми,$T(z) = \dfrac{(az+b)}{(cz+d)}\text{,}$ де$a = d = 1,$ і$b = c = 0)\text{,}$ так$\cal M$ знаходиться група.

Нижче ми переказуємо ключові результати з глави 3 в геометричному вираженні:

• Будь-які два клінки є конгруентними в геометрії Мебіуса (теорема$3.4.10$).
• Множина всіх клінів є мінімально інваріантним множиною геометрії Мебіуса (теореми$3.4.5$ і теореми$3.4.10$).
• Перехресне відношення є інваріантом геометрії Мебіуса (теорема$3.4.8$).
• Кутова міра є інваріантом геометрії Мебіуса (теорема$3.4.5$).

Поки ми працюємо над цим, давайте повторюємо три інші факти про перетворення Мебіуса:

• Будь-яке перетворення в$\cal{M}$ однозначно визначається зображенням трьох точок.
• Якщо$T$ в$\cal{M}$ немає карти ідентичності, то$T$ фіксує точно$1$ або$2$ вказує.
• Перетворення Мебіуса зберігають точки симетрії.

Що ще? Евклідова відстань не є інваріантної функцією геометрії Мебіуса. Щоб побачити це, потрібно дивитися не далі, ніж карта$T(z) = \dfrac{1}{z}\text{.}$ Якщо$p = 2$ і$q = 3$ (дві точки на реальній осі) то$d(p,q)=|p - q| = 1\text{.}$ Однак їх зображення точок$T(p) = \dfrac{1}{2}$ і$T(q) = \dfrac{1}{3}$ мають евклідову відстань між ними$\dfrac{1}{6}$. Тож наше старомодне поняття відстані виходить у вікно в геометрії Мебіуса.

Ми підкреслюємо, що кути збереглися в геометрії Мебіуса, що добре. Чому це добре? Пам'ятайте, що в далекому минулому людство вирушило пошуки геометрії, в якій перші 4 постулати Евкліда тримаються правдою, але ^5-й зазнає невдачі. ^4-й постулат стверджує, що всі прямі кути рівні один одному. Це означає, що якщо Ральф тримає прямий кут над кутом, а Ренді десь тримає один блок, ми повинні бути в змозі перетворити один на інший і побачити, що кути однакові. Трансформації не змінюють кути.

Замість того, щоб продовжувати саму загальну геометрію Мебіуса, ми беремо попередні факти і застосовуємо їх відразу до двох її спеціальних «підгеометрій», гіперболічної геометрії та еліптичної геометрії.

Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Які цифри на малюнку$4.2.1$ є конгруентними в$(\mathbb{C}^+,\cal{M})\text{.}$

Відповідь

$A \cong F\text{;}$$B \cong G\text{;}$$C \cong E\text{.}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Опишіть мінімально інваріантну$(\mathbb{C}^+,\cal{M})$ множину, що містить «трикутник», що складається з трьох вершин$0$$1$,$i$ і трьох евклідових відрізків лінії, що з'єднують їх. Будьте максимально конкретні щодо членів цього набору.

Вправа$\PageIndex{3}$

Припустимо,$p$ і$q$ є відмінними, кінцевими точками в$\mathbb{C}^+\text{.}$ Нехай$G$ складаються з усіх еліптичних перетворень Мебіуса, які фіксують$p$ і$q\text{.}$ Ми розглядаємо геометрію$(\mathbb{C}^+,G)\text{.}$

1. Показати, що$G$ це група перетворень.
2. Визначити мінімально інваріантну множину$(\mathbb{C}^+,G)$, в якій міститься евклідова лінія через$p$ і$q\text{.}$
3. Визначити мінімально інваріантну множину$(\mathbb{C}^+,G)$, яка містить перпендикулярну бісектрису відрізка$pq\text{.}$
4. Для будь-якої точки$z \neq p, q$ в$\mathbb{C}^+\text{,}$ охарактеризувати всі$\mathbb{C}^+$ точки, що відповідають$z\text{.}$
5. Чи є$(\mathbb{C}^+,G)$ однорідним?

Вправа$\PageIndex{4}$

Повторіть попередню вправу для набору,$G$ що складається з усіх гіперболічних перетворень Мебіуса, які фіксують$p$ і$q\text{.}$

Малюнок$\PageIndex{1}$: Які з цих фігур є конгруентними в$(\mathbb{C}^+,\cal{M})\text{?}$ (Авторське право; автор через джерело)