4.2: Геометрія Мебіуса

Ми витратили неабияку кількість часу, вивчаючи перетворення Мебіуса в главі 3, і це виплатить дивіденди зараз.

Визначення: Геометрія Мебіуса

Геометрія Мебіуса — це\((\mathbb{C}^+,{\cal M}),\) геометрія, яка\(\cal M\) позначає групу всіх перетворень Мебіуса.

Фактично не заявляючи про це, ми по суті довели, що\(\cal{M}\) це група перетворень. А саме, ми довели, що зворотне перетворення Мебіуса знову є перетворенням Мебіуса, і що композиція двох перетворень Мебіуса є перетворенням Мебіуса. Ми зауважимо, що карта ідентичності на\(\mathbb{C}^+\text{,}\)\(T(z) = z\text{,}\) є трансформацією Мебіуса (форми,\(T(z) = \dfrac{(az+b)}{(cz+d)}\text{,}\) де\(a = d = 1,\) і\(b = c = 0)\text{,}\) так\(\cal M\) знаходиться група.

Нижче ми переказуємо ключові результати з глави 3 в геометричному вираженні:

• Будь-які два клінки є конгруентними в геометрії Мебіуса (теорема\(3.4.10\)).
• Множина всіх клінів є мінімально інваріантним множиною геометрії Мебіуса (теореми\(3.4.5\) і теореми\(3.4.10\)).
• Перехресне відношення є інваріантом геометрії Мебіуса (теорема\(3.4.8\)).
• Кутова міра є інваріантом геометрії Мебіуса (теорема\(3.4.5\)).

Поки ми працюємо над цим, давайте повторюємо три інші факти про перетворення Мебіуса:

• Будь-яке перетворення в\(\cal{M}\) однозначно визначається зображенням трьох точок.
• Якщо\(T\) в\(\cal{M}\) немає карти ідентичності, то\(T\) фіксує точно\(1\) або\(2\) вказує.
• Перетворення Мебіуса зберігають точки симетрії.

Що ще? Евклідова відстань не є інваріантної функцією геометрії Мебіуса. Щоб побачити це, потрібно дивитися не далі, ніж карта\(T(z) = \dfrac{1}{z}\text{.}\) Якщо\(p = 2\) і\(q = 3\) (дві точки на реальній осі) то\(d(p,q)=|p - q| = 1\text{.}\) Однак їх зображення точок\(T(p) = \dfrac{1}{2}\) і\(T(q) = \dfrac{1}{3}\) мають евклідову відстань між ними\(\dfrac{1}{6}\). Тож наше старомодне поняття відстані виходить у вікно в геометрії Мебіуса.

Ми підкреслюємо, що кути збереглися в геометрії Мебіуса, що добре. Чому це добре? Пам'ятайте, що в далекому минулому людство вирушило пошуки геометрії, в якій перші 4 постулати Евкліда тримаються правдою, але ^5-й зазнає невдачі. ^4-й постулат стверджує, що всі прямі кути рівні один одному. Це означає, що якщо Ральф тримає прямий кут над кутом, а Ренді десь тримає один блок, ми повинні бути в змозі перетворити один на інший і побачити, що кути однакові. Трансформації не змінюють кути.

Замість того, щоб продовжувати саму загальну геометрію Мебіуса, ми беремо попередні факти і застосовуємо їх відразу до двох її спеціальних «підгеометрій», гіперболічної геометрії та еліптичної геометрії.

Вправи

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Які цифри на малюнку\(4.2.1\) є конгруентними в\((\mathbb{C}^+,\cal{M})\text{.}\)

Відповідь

\(A \cong F\text{;}\)\(B \cong G\text{;}\)\(C \cong E\text{.}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Опишіть мінімально інваріантну\((\mathbb{C}^+,\cal{M})\) множину, що містить «трикутник», що складається з трьох вершин\(0\)\(1\),\(i\) і трьох евклідових відрізків лінії, що з'єднують їх. Будьте максимально конкретні щодо членів цього набору.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Припустимо,\(p\) і\(q\) є відмінними, кінцевими точками в\(\mathbb{C}^+\text{.}\) Нехай\(G\) складаються з усіх еліптичних перетворень Мебіуса, які фіксують\(p\) і\(q\text{.}\) Ми розглядаємо геометрію\((\mathbb{C}^+,G)\text{.}\)

1. Показати, що\(G\) це група перетворень.
2. Визначити мінімально інваріантну множину\((\mathbb{C}^+,G)\), в якій міститься евклідова лінія через\(p\) і\(q\text{.}\)
3. Визначити мінімально інваріантну множину\((\mathbb{C}^+,G)\), яка містить перпендикулярну бісектрису відрізка\(pq\text{.}\)
4. Для будь-якої точки\(z \neq p, q\) в\(\mathbb{C}^+\text{,}\) охарактеризувати всі\(\mathbb{C}^+\) точки, що відповідають\(z\text{.}\)
5. Чи є\((\mathbb{C}^+,G)\) однорідним?

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Повторіть попередню вправу для набору,\(G\) що складається з усіх гіперболічних перетворень Мебіуса, які фіксують\(p\) і\(q\text{.}\)

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Які з цих фігур є конгруентними в\((\mathbb{C}^+,\cal{M})\text{?}\) (Авторське право; автор через джерело)