Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4: Геометрія

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58673

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Згадайте два абзаци з розділу 1.2, які ми мали намір витратити час на розуміння та роботу над ними:

    У той час як підхід Евкліда до геометрії був адитивним (він почав з основних визначень і аксіом і приступив до побудови послідовності результатів залежно від попередніх), підхід Кляйна був віднімним. Він почав з простору і групи допустимих перетворень цього простору. Потім він викинув всі поняття, які не залишилися незмінними при цих перетвореннях. Геометрія, до Клейна, - це вивчення об'єктів і функцій, які залишаються незмінними при допустимих перетвореннях.

    Підхід Кляйна до геометрії, названий програмою Ерлангена після університету, в якому він працював у той час, має перевагу, що всі три геометрії (евклідова, гіперболічна та еліптична) виникають як особливі випадки із загального простору та загального набору перетворень.

    Тепер ми маємо як простір (\(\mathbb{C}^+\)), так і перетворення (перетворення Мебіуса), і майже готові приступити до неевклідових пригод. Однак перед цим потрібно визначити ще одну фразу: група перетворень. Ця фраза має точне значення. Далеко не кожному збірнику перетворень пощастило сформувати групу.

    • 4.1: Основи
      Читач, який бачив теорію груп, буде знати, що крім трьох властивостей, перелічених у нашому визначенні, групова операція повинна задовольняти властивість, яка називається асоціативністю. У контексті перетворень групова операція є складом перетворень, і ця операція завжди асоціативна. Отже, в теперішньому контексті перетворень ми опускаємо асоціативність як властивість, яка потребує перевірки.
    • 4.2: Геометрія Мебіуса
      Ми витратили неабияку кількість часу, вивчаючи перетворення Мебіуса в главі 3, і це виплатить дивіденди зараз. Ми підкреслюємо, що кути збереглися в геометрії Мебіуса, що добре. Крім того, замість того, щоб переслідувати дуже загальну геометрію Мебіуса, ми беремо попередні факти і застосовуємо їх відразу до двох її спеціальних «підгеометрій», гіперболічної геометрії та еліптичної геометрії.