21: Поля

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 20.8: Вправи шавлії
- 21.1: Поля розширення

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Природно запитати, чи $F$ міститься якесь поле у більшому полі. Ми думаємо про раціональні числа, які знаходяться всередині дійсних чисел, в той час як, в свою чергу, дійсні числа живуть всередині комплексних чисел. Ми також можемо вивчити поля між ${\mathbb Q}$ ${\mathbb R}$ і дізнатися про природу цих полів.

Більш конкретно, якщо нам дано поле $F$ і поліном, $p(x) \in F[x]\text{,}$ ми можемо запитати, чи можемо ми знайти поле, що $E$ містить $F$ такі, що $p(x)$ множники в лінійні множники над $E[x]\text{.}$ Наприклад, якщо ми розглянемо многочлен

$p(x) = x^4 -5 x^2 + 6 \nonumber$

в ${\mathbb Q}[x]\text{,}$ $p(x)$ $(x^2 - 2)(x^2 - 3)\text{.}$ тодішніх факторах, як Однак обидва ці фактори є ${\mathbb Q}[x]\text{.}$ незменшеними в Якщо ми хочемо знайти нуль, $p(x)\text{,}$ ми повинні перейти до більшого поля. Безумовно, поле дійсних чисел буде працювати, так як

$p(x) = (x - \sqrt{2} ) (x + \sqrt{2} )( x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})\text{.} \nonumber$

Можна знайти менше поле, в якому $p(x)$ має нуль, а саме

${\mathbb Q }( \sqrt{2} ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.} \nonumber$

Ми хочемо мати можливість обчислювати та вивчати такі поля для довільних поліномів над полем $F\text{.}$

21.1: Поля розширення
21.2: Розбиття полів
21.3: Геометричні конструкції
У Стародавній Греції ставилися три класичні проблеми. Ці проблеми мають геометричний характер і передбачають прямолінійно-компасні конструкції з того, що зараз є геометрією середньої школи; тобто нам дозволено використовувати лише прямокутник і компас для їх вирішення.
21.4: Читання запитань
21.5: Вправи
21.6: Посилання та пропоновані читання
21.7: Шавлія
21.8: Вправа шавлії