Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

21: Поля

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    64224

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Природно запитати, чи\(F\) міститься якесь поле у більшому полі. Ми думаємо про раціональні числа, які знаходяться всередині дійсних чисел, в той час як, в свою чергу, дійсні числа живуть всередині комплексних чисел. Ми також можемо вивчити поля між\({\mathbb Q}\)\({\mathbb R}\) і дізнатися про природу цих полів.

    Більш конкретно, якщо нам дано поле\(F\) і поліном,\(p(x) \in F[x]\text{,}\) ми можемо запитати, чи можемо ми знайти поле, що\(E\) містить\(F\) такі, що\(p(x)\) множники в лінійні множники над\(E[x]\text{.}\) Наприклад, якщо ми розглянемо многочлен

    \[ p(x) = x^4 -5 x^2 + 6 \nonumber \]

    в\({\mathbb Q}[x]\text{,}\)\(p(x)\)\((x^2 - 2)(x^2 - 3)\text{.}\) тодішніх факторах, як Однак обидва ці фактори є\({\mathbb Q}[x]\text{.}\) незменшеними в Якщо ми хочемо знайти нуль,\(p(x)\text{,}\) ми повинні перейти до більшого поля. Безумовно, поле дійсних чисел буде працювати, так як

    \[ p(x) = (x - \sqrt{2} ) (x + \sqrt{2} )( x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})\text{.} \nonumber \]

    Можна знайти менше поле, в якому\(p(x)\) має нуль, а саме

    \[ {\mathbb Q }( \sqrt{2} ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.} \nonumber \]

    Ми хочемо мати можливість обчислювати та вивчати такі поля для довільних поліномів над полем\(F\text{.}\)