20.8: Вправи шавлії

1

За даними двох\(W\) підпросторів\(U\) та векторного простору\(V\text{,}\) їх суму\(U+W\) можна визначити як множину, іншими\(U+W=\{u+w\mid u\in U,\ w\in W\}\text{,}\) словами, множину всіх можливих сум елемента from\(U\) та елемента з\(W\text{.}\)

Зверніть увагу, що це не пряма сума вашого тексту, ні метод direct_sum () в Sage. Однак ви можете побудувати цей підпростір у Sage наступним чином. Візьміть основи\(U\) і\(W\) окремо, як списки векторів. Об'єднайте два списки разом, просто використовуючи знак плюс між ними. Тепер побудуйте підпростір суми, створивши підпростір, що\(V\) охоплюється цим набором, за допомогою методу.subspace ().

У векторному просторі (QQ ^ 10) побудуйте два підпростори, які, як ви очікуєте, матимуть розмірність\(5\)\(6\) або близько того, і (b) мають перетин, який є векторним простором розмірності\(2\) або близько того. Порівняйте їх окремі розміри з розмірами перетину\(U\) і\(W\) (\(U\cap W\text{,}\).intersetion () в Sage) і сумою\(U+W\text{.}\)

Повторіть експеримент з двома оригінальними векторними просторами, що мають розмір\(8\) або близько того, і з перетином якомога меншим. Сформуйте загальну здогадку, що стосується цих чотирьох вимірів на основі результатів ваших двох (або більше) експериментів.

2

Ми можемо побудувати поле в Sage, яке розширює раціональні, додаючи в четвертий корінь\({\mathbb Q}[\sqrt[4]{2}]\text{,}\) з двох, за допомогою команди F = QQ [2^ (1/4)]<c>. Це векторний простір розмірності\(4\) над раціональними, з основою, яка є першими чотирма степенями\(c = \sqrt[4]{2}\) (починаючи з нульової потужності).

Команда F.Vector_space () поверне три елементи в потрійному (тому будьте обережні, як ви обробляєте цей висновок, щоб витягти те, що вам потрібно). Перша частина виводу являє собою векторний простір над раціональними, ізоморфними до F. Наступний - векторний космічний ізоморфізм (обернене лінійне перетворення) з наданого векторного простору в поле, тоді як третій - ізоморфізм у зворотному напрямку. Ці два ізоморфізми потім можуть бути використані як функції. Зверніть увагу, що це інша поведінка, ніж для .vector_space (), застосованого до скінченних полів. Створюйте нетривіальні приклади, які показують, що ці ізоморфізми векторного простору поводяться так, як повинен ізоморфізм. (У вас буде принаймні чотири таких приклади в повному рішенні.)

3

Побудуйте\(F\) скінченне поле\(p^n\) порядку звичайним способом. Потім побудуйте (мультиплікативну) групу всіх оборотних (несингулярних)\(m\times m\) матриць над цим полем командою G = GL (m, F) («загальна лінійна група»). Який порядок цієї групи? Іншими словами, знайдіть загальний вираз для порядку цієї групи.

Ваша відповідь повинна бути функцією\(m\text{,}\)\(p\) і\(n\text{.}\) Надайте повне пояснення логіки вашого рішення (тобто щось, що нагадує доказ). Також надайте тести в Sage, що ваша відповідь правильна.

Підказки: g.order () допоможе вам перевірити і перевірити ваші гіпотези. Невеликі приклади в Sage (перерахування всіх елементів групи) можуть допомогти вашій інтуїції - саме тому це вправа мудреця. Малі\(2\times 2\)\(3\times 3\) середні та матриці та скінченні поля з\(2,3,4,5\) елементами, не більше. Результати насправді не залежать від кожного з них,\(p\)\(n\text{,}\) а скоріше тільки від\(p^n\text{.}\)

Усвідомити цю групу цікаво тим, що вона містить уявлення всіх оборотних (тобто 1-1 і на) лінійних перетворень з (скінченного) векторного простору\(F^m\) до себе.

4

Що станеться, якщо ми спробуємо зробити лінійну алгебру над кільцем, яке також не є полем? Об'єкт, який нагадує векторний простір, але з цією відмінністю, відомий як модуль. Ви можете побудувати його легко з такою конструкцією, як ZZ ^ 3. Оцініть наступне, щоб створити модуль та підмодуль.

Вивчіть основи та розміри (він же «ранг») модуля та підмодуля та перевірте рівність модуля та підмодуля. Чим це відрізняється від ситуації для векторних просторів? Чи можете ви створити третій модуль, P, який є належним підмножиною M і правильно містить N?

5

Кінцеве поле,\(F\text{,}\) порядку\(5^3\) векторний простір розмірності 3 над\({\mathbb Z}_5\text{.}\) Припустимо\(a\) є генератором\(F\text{.}\)\(M\) Дозволяти бути будь-якою\(3\times 3\) матрицею з записами з\({\mathbb Z}_5\) (обережно тут, елементи з поля скалярів, а не з векторного простору). Якщо ми перетворимо елемент\(x\in F\) в вектор (щодо основи\(\{1,a,a^2\}\)), то ми можемо помножити його\(M\) на\(M\) (з ліворуч) для створення іншого вектора, який ми можемо перевести в лінійну комбінацію базових елементів, а значить, ще один елемент\(F\text{.}\) цієї функції є векторний простір гомоморфізм, більш відомий як лінійне перетворення (реалізується з матричним поданням відносно основи\(\{1,a,a^2\}\text{.}\) Зверніть увагу, що кожна частина нижче стає менш загальною і більш конкретною.

1. Створіть незворотну матрицю\(R\) та наведіть приклади, щоб показати, що відображення, описане,\(R\) є векторним простором гомоморфізму\(F\) в\(F\text{.}\)
2. Створіть\(M\text{.}\) оборотну матрицю Відображення тепер буде обертованим гомоморфізмом. Визначте обернену функцію і наведіть приклади для перевірки її властивостей.
3. Оскільки\(a\) є генератором поля, відображення\(a\mapsto a^5\) може бути розширено до векторного простору гомоморфізму (тобто лінійного перетворення). Знайдіть матрицю,\(M\) яка впливає на це лінійне перетворення, і з цього визначте, що гомоморфізм є оборотним.
4. Жодна з попередніх трьох частин не стосується властивостей множення в полі. Однак відображення з третьої частини також зберігає множення в полі, хоча доказ цього може бути не очевидним прямо зараз. Таким чином, ми говоримо, що це відображення є польовий автоморфізм, зберігаючи як додавання, так і множення. Наведіть нетривіальний приклад множно-зберігаючих властивостей цього відображення. (Це карта Фробеніуса, яка буде розглянута далі в розділі 21.)