21.7: Шавлія

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64237

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У Sage та інших місцях розширення раціональних називається «числовим полем». Вони є однією з найбільш зрілих рис шавлії.

Кількість полів

Існує кілька способів створення числового поля. Ми знайомі з синтаксисом, де ми примикаємо до ірраціонального числа, яке ми можемо записати за допомогою традиційних комбінацій арифметики і коренів.

Ми також можемо вказати елемент, який ми хочемо примикати як корінь монічного нескорочуваного многочлена. Один з підходів полягає в тому, щоб спочатку побудувати поліноміальне кільце так, щоб многочлен мав правильне розташування його коефіцієнтів.

Замість того, щоб будувати ціле кільце поліномів, ми можемо просто ввести змінну як генератор поліноміального кільця, а потім створити многочлени з цієї змінної. Це позбавляє нас іменування многочленного кільця. Зверніть увагу в прикладі, що обидва екземпляри z необхідні.

Ми можемо відновити многочлен, який використовується для створення числового поля, навіть якщо ми побудували його, давши вираз для ірраціонального елемента. При цьому многочлен є мінімальним многочленом елемента.

Для будь-якого елемента числового поля Sage обов'язково обчислить свій мінімальний многочлен.

Підстановка елемента назад в передбачуваний мінімальний многочлен і повернення нуля не є переконливим доказом того, що це мінімальний многочлен, але це обнадійливо.

Поля відносного та абсолютного числа

За допомогою Sage ми можемо примикати кілька елементів одночасно, і ми можемо будувати вкладені вежі з числових полів. Мудрець використовує термін «абсолютний» для позначення числового поля, яке розглядається як розширення самих раціональних, а термін «відносний» для позначення числового поля, побудованого або розглянутого, як розширення іншого (нетривіального) числового поля.

Числове поле A було побудовано математично, як те, що ми б написали як\({\mathbb Q}\subset{\mathbb Q}[\sqrt{3}]\subset{\mathbb Q}[\sqrt{3},\sqrt{2}]\text{.}\) Зверніть увагу на невелику різницю в упорядкуванні елементів, які ми примикаємо, і зверніть увагу, як числові поля використовують трохи більш химерні внутрішні імена (sqrt2, sqrt3) для нових елементів .

Ми можемо «згладити» відносне поле, щоб розглядати його як абсолютне поле, що, можливо, було нашим наміром з самого початку. Тут ми створюємо нове числове поле з A, що робить його чистим абсолютним числовим полем.

Як тільки ми побудуємо поле абсолютного числа таким чином, ми можемо відновити ізоморфізми до і з абсолютного поля. Нагадаємо, що наша вежа була побудована з генераторами a і b, тоді як сплющена вежа генерується c. Метод.structure () повертає пару функцій з полем абсолютного числа як домен і codomain (у такому порядку).

Це говорить нам про те, що єдиний генератор сплющеної вежі, c, дорівнює\(\sqrt{2}-\sqrt{3}\text{,}\) і далі, кожен з\(\sqrt{2}\) і\(\sqrt{3}\) може бути виражений як поліноміальні функції c. За допомогою цих зв'язків ви можете обчислити останні два вирази в c вручну, і оцінити роботу Sage робить, щоб визначити їх для нас. Цей розрахунок є прикладом висновку майбутньої теореми\(23.13\).

Багато методів числового поля мають як відносну, так і абсолютну версії, і нам також буде зручніше працювати в башті або сплющеній версії, таким чином ізоморфізми між ними можуть бути неоціненними для перекладу як питань, так і відповідей.

Як векторний простір над іншим числовим полем\({\mathbb Q}\text{,}\) або над ним, числові поля, які є кінцевими розширеннями, мають вимір, який називається градусом. Їх легко отримати від Sage, хоча для відносного поля ми повинні бути більш точними про те, який ступінь ми хочемо.

Розбиття полів

Ось конкретний приклад того, як використовувати Sage для побудови поля розщеплення многочлена. Розглянемо\(p(x)=x^4+x^2-1\text{.}\) Ми спочатку будуємо числове поле з одним коренем, а потім множимо многочлен над цим новим, більшим, полем.

Таким чином, наші поліноміальні фактори частково на два лінійні фактори і квадратичний коефіцієнт. Але зверніть увагу, що квадратичний коефіцієнт має коефіцієнт, який є ірраціональним,\(a^2+1\text{,}\) тому квадратичний фактор належним чином належить до поліноміального кільця над M, а не над QQ.

Ми будуємо розширення, що містить корінь квадратичного фактора, який тут називається q. Потім, замість того, щоб використовувати функцію polygen (), ми будуємо ціле поліноміальне кільце R над N з невизначеною z. Причиною цього є те, що ми можемо проілюструвати, як ми «модернізуємо» поліном p з синтаксисом R (p), щоб перейти від мають коефіцієнти в M до коефіцієнтів в N.

Таким чином, у нас є поле, N, де наші поліноміальні множники в лінійні фактори з коефіцієнтами від поля. Ми можемо отримати ще одну факторизацію шляхом перетворення N в поле абсолютного числа і факторингу там. Нам потрібно відтворити многочлен над N, так як підстановка буде нести коефіцієнти з неправильного кільця.

Це цікава альтернатива, в тому, що корінням многочлена є вирази в терміні єдиного генератора c. Оскільки коріння включають сьомий ступінь c, ми можемо підозрювати (але не бути впевненими), що мінімальний многочлен c має ступінь\(8\) і що P є ступенем\(8\) розширення раціональних. Дійсно P (або N) є розділеним полем для\(p(x)=x^4+x^2-1\text{.}\) Коріння насправді не так погано, як вони з'являються - давайте перетворити їх назад в поле відносного числа.

Спочатку ми хочемо переписати єдиний фактор (перший) у вигляді,\((w-r)\) щоб ідентифікувати корінь з правильними ознаками.

За допомогою конверсійних ізоморфізмів ми можемо розпізнати коріння для того, якими вони є.

Таким чином, досить складний вираз в c просто негативний від кореня ми приєдналися на другому кроці побудови вежі числових полів. Було б гарною вправою побачити, що відбувається з іншими трьома коренями (будьте обережні, щоб отримати знаки прямо на кожному корені).

Це хороша можливість проілюструвати теорему\(21.17\).

Алгебраїчні числа

Слідство\(21.24\) говорить, що множина всіх алгебраїчних чисел утворює поле. Це поле реалізовано в Sage як QQBar. Це дозволяє знаходити коріння многочленів як точні величини, які відображаються як неточні числа.

Тому ми попросили коріння многочлена над раціональними, але просили будь-який корінь, який може лежати поза раціональними та в області алгебраїчних чисел. Так як поле алгебраїчних чисел містить всі такі корені, то отримуємо повні чотири корені многочлена четвертого ступеня. Ці корені обчислюються так, щоб лежати в інтервалі, а знак питання вказує на те, що попередні цифри точні. (Цілі числа, парні з кожним коренем, є кратністю цього кореня. Використовуйте ключове слово multiplicities=False, щоб вимкнути їх.) Давайте заглянемо під капот і подивимося, як Sage управляє полем алгебраїчних чисел.

З цим початковим коренем пов'язані три пункти. По-перше, це числове поле, з генератором a та визначальним многочленом, подібним до многочлена, якого ми знаходимо коріння, але не ідентичні. Другий - це вираз в генераторі a, який є фактичним коренем. Ви можете оцінити цей вираз з числовим наближенням a, що йде далі, щоб переконатися, що це корінь. Нарешті, існує кільцевий гомоморфізм від числового поля до «Алгебраїчного реального поля», AA, підполя QQBar з просто дійсними елементами, яке пов'язує генератор a з числом -1.272019649514069? . Давайте перевіримо двома способами, що даний корінь дійсно є коренем.

Тепер, коли ми маємо достатньо теорії, щоб зрозуміти поле алгебраїчних чисел, і природний спосіб їх точно представити, ви можете розглянути операції в полі. Якщо взяти два алгебраїчних числа і скласти їх разом, то отримаємо ще одне алгебраїчне число (Слідство\(21.24\)). Так що ж являє собою отриманий мінімальний многочлен? Як це обчислюється в Sage? Ви можете прочитати вихідний код, якщо хочете отримати відповідь.

Геометричні конструкції

Шавлія вміє багато чого, але він поки не здатний викладати лінії за допомогою прямокутника і циркуля. Однак ми можемо дуже швидко визначити, що перетин\(60\) градусного кута неможливо. Примикаємо косинус\(20\) градусного кута (в радіанах) до раціональних, визначаємо ступінь розширення, і перевіряємо, що це не ціла сила\(2\text{.}\) В одному рядку. Солодкий.