21.8: Вправа шавлії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64235

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

1

Створіть поліном\(p(x)=x^5+2x^4+1\) над\({\mathbb Z}_3\text{.}\) Переконайтеся, що він не має лінійних факторів, оцінюючи\(p(x)\) з кожним елементом,\({\mathbb Z}_3\text{,}\) а потім перевірте, що\(p(x)\) не зводиться.

Створіть скінченне поле порядку за\(3^5\) допомогою команди finiteField (), але включіть ключове слово modulus, встановлене у поліномі,\(p(x)\) щоб перевизначити вибір за замовчуванням.

Відтворити\(p(x)\) як многочлен над цим полем. Перевірте кожен з\(3^5 = 243\) елементів поля, щоб побачити, чи є вони корінням многочлена, і перерахуйте всі елементи, які є коренями. Нарешті, попросіть Sage дати факторизацію\(p(x)\) над полем та прокоментувати взаємозв'язок між вашим списком коренів та вашою факторизацією.

2

Ця проблема продовжує попередню. Побудувати кільце поліномів над\({\mathbb Z}_3\) і всередині цього кільця використовуйте\(p(x)\) для генерації основного ідеалу. Нарешті побудуйте частку поліноміального кільця за ідеалом. Оскільки многочлен є незведеним, це часткове кільце є полем, і за пропозицією\(21.12\) це частне кільце ізоморфно до поля чисел у попередній задачі.

Запозичуючи свої результати в попередньому питанні, побудуйте п'ять коренів многочлена\(p(x)\) в цьому частному кільці, але тепер як вирази в генераторі коефіцієнтного кільця (яке технічно є косетою). Використовуйте шавлія, щоб переконатися, що вони справді є корінням. Це демонструє використання коефіцієнтного кільця для створення поля розщеплення для незведеного многочлена над скінченним полем.

3

Підрозділ Алгебраїчні елементи спирається на методи з лінійної алгебри і містить теорему\(21.15\): кожне скінченне розширення є алгебраїчним розширенням. Ця вправа допоможе вам зрозуміти цей доказ.

Поліном незведений\(r(x)=x^4+2x+2\) над раціональними (критерій Ейзенштейна з простим\(p=2\)). Створіть числове поле, яке містить корінь\(r(x)\text{.}\) By Theorem\(21.15\), і зауваження наступне, кожен елемент цього кінцевого розширення поля є алгебраїчним числом, і, отже, задовольняє деякому поліному над базовим полем (саме цей поліном, який Sage буде виробляти з .minpoly () метод). Ця вправа покаже, як ми можемо використовувати тільки лінійну алгебру для визначення цього мінімального полінома.

Припустимо, що a - генератор числового поля, яке ви тільки що створили за допомогою\(r(x)\text{.}\) Тоді ми визначимо мінімальний многочлен t = 3a+ 1, використовуючи тільки лінійну алгебру. Згідно з доказом, перші п'ять ступенів t (починають відлік з нуля) будуть лінійно залежними. (Чому?) Так нетривіальне відношення лінійної залежності від цих ступенів забезпечить коефіцієнти полінома з t як коренем. Обчисліть ці п'ять ступенів, потім побудувати правильну лінійну систему для визначення коефіцієнтів мінімального полінома, вирішити систему та відповідним чином інтерпретувати її розв'язки.

Підказки: Команди vector () та matrix () створюватимуть вектори та матриці, а метод .solve_right () для матриць можна використовувати для пошуку розв'язків. Задано елемент числового поля, який обов'язково буде поліномом у генераторі a, метод .vector () елемента надасть коефіцієнти цього многочлена у списку.

4

Побудувати поле розщеплення\(s(x)=x^4+x^2+1\) і знайти факторизацію\(s(x)\) над цим полем на лінійні множники.

5

Сформуйте числове поле,\(K\text{,}\) яке містить корінь незведеного многочлена\(q(x)=x^3+3x^2+3x-2\text{.}\) Назвіть свій корінь a. Переконайтеся, що\(q(x)\) фактори, але не розщеплюються, над\(K\text{.}\) З\(K\) тепер як базове поле утворюють розширення,\(K\) де квадратичний фактор\(q(x)\) має корінь. Назвіть цей корінь b, і назвіть це друге розширення вежі\(L\text{.}\)

Використовуйте M = L.absolute_field ()<c>, щоб сформувати сплющену вежу, яка є абсолютним числовим полем M. Знайдіть визначальний многочлен M за допомогою метода.polynomial (). З цього многочлена, який повинен мати генератор c як корінь, ви повинні мати можливість використовувати елементарну алгебру, щоб записати генератор як досить простий вираз.

\(M\)має бути розділеним полем\(q(x)\text{.}\) Щоб побачити це, почніть спочатку і побудувати з нуля нове поле чисел,\(P\text{,}\) використовуючи простий вираз для c, який ви тільки що знайшли. Використовуйте d як ім'я кореня, який використовується для побудови P. Оскільки d є коренем простого мінімального многочлена для c, ви повинні мати можливість написати вираз для d, який студент попереднього обчислення розпізнає.

Тепер множимо початковий многочлен\(q(x)\) (з раціональними коефіцієнтами),\(P\text{,}\) щоб побачити розкол полінома (як очікувалося). Використовуючи цю факторизацію, і ваш простий вираз для d запишіть спрощені вирази для трьох коренів\(q(x)\text{.}\) Див, якщо ви можете конвертувати між двома версіями коренів «вручну», і без використання ізоморфізмів, наданих методом.structure () на M.