Search

4.2: Мультиплікативна група комплексних чисел
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%3A_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Judson)/04%3A_%D0%A6%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D1%96%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B8/4.02%3A_%D0%9C%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B8%D0%BF%D0%BB%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB
\ begin {align*} z^ {n+1} & = z^n z\\ & = r^n (\ cos n\ тета + i\ sin n\ тета) r (\ cos\ тета + i\ sin\ тета)\\ & = r^ {n+1} [(\ cos n\ theta\ cos\ theta -\ sin n\ theta cos\ тета +\ cos n\ тета\ син\...\ begin {align*} z^ {n+1} & = z^n z\\ & = r^n (\ cos n\ тета + i\ sin n\ тета) r (\ cos\ тета + i\ sin\ тета)\\ & = r^ {n+1} [(\ cos n\ theta\ cos\ theta -\ sin n\ theta cos\ тета +\ cos n\ тета\ син\ тета)]\\ & = r^ {n+1} [\ cos (n\ тета +\ тета) + i\ sin (n \ тета +\ тета)]\\ & = r^ {n+1} [\ cos (n +1)\ тета + i\ sin (n+1)\ тета]\ текст {.} \ end {вирівнювати*}
17: Поліноми
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%3A_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Judson)/17%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8
\ почати {вирівнювати*} p (x) & = x^3 -3x +2\\ q (x) & = 3x^2 -6x +5\ текст {,}\ end {align*} \ почати {вирівнювати*} (р +q) (х) & = р (х) + q (x)\\ & = (x^3 - 3 х + 2) + (3 х ^ 2) + (3 х ^ 2 - 6 х + ...\ почати {вирівнювати*} p (x) & = x^3 -3x +2\\ q (x) & = 3x^2 -6x +5\ текст {,}\ end {align*} \ почати {вирівнювати*} (р +q) (х) & = р (х) + q (x)\\ & = (x^3 - 3 х + 2) + (3 х ^ 2) + (3 х ^ 2 - 6 х + 5)\\ & = x^3 + 3 x^2 - 9 х + 7\ кінець {вирівнювати*} \ почати {вирівнювати*} (p q) (x) & = p (x) q (x)\\ & = (x^3 - 3 х + 2) (3 х ^ 2 - 6 х + 5)\\ & = 3 х ^5 - 6 х ^4 - 4 х ^3 + 24 x^2 - 27 х + 10\ текст {.} \ end {вирівнювати*}
21.7: Шавлія
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%3A_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Judson)/21%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%8F/21.07%3A_%D0%A8%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%96%D1%8F
Числове поле A було побудовано математично, як те, що ми б написали як ${\mathbb Q}\subset{\mathbb Q}[\sqrt{3}]\subset{\mathbb Q}[\sqrt{3},\sqrt{2}]\text{.}$ Зверніть увагу на невелику різницю в упор...Числове поле A було побудовано математично, як те, що ми б написали як ${\mathbb Q}\subset{\mathbb Q}[\sqrt{3}]\subset{\mathbb Q}[\sqrt{3},\sqrt{2}]\text{.}$ Зверніть увагу на невелику різницю в упорядкуванні елементів, які ми примикаємо, і зверніть увагу, як числові поля використовують трохи більш химерні внутрішні імена (sqrt2, sqrt3) для нових елементів .
20: Векторні простори
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%3A_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Judson)/20%3A_%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8
Однак для деяких величин, таких як розташування, нам потрібно кілька чисел. Щоб надати розташування точки в просторі, нам знадобляться $x\text{,}$ $y\text{,}$ і $z$ координати. Розподіл температури...Однак для деяких величин, таких як розташування, нам потрібно кілька чисел. Щоб надати розташування точки в просторі, нам знадобляться $x\text{,}$ $y\text{,}$ і $z$ координати. Розподіл температури по твердому об'єкту вимагає чотирьох чисел: три для ідентифікації кожної точки всередині об'єкта і четверте для опису температури в цій точці. Часто $n$ -кортежі чисел, або вектори, також мають певні алгебраїчні властивості, такі як додавання або скалярне множення.
1.6: Шавлія
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%3A_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Judson)/01%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%96/1.06%3A_%D0%A8%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%96%D1%8F
Якщо ви цього не зробите, то, можливо, ви можете відкрити робочий аркуш в блокноті Sage і поекспериментувати там.) Ви можете відкрити невеликий текстовий процесор, наводячи курсор миші, поки ви знову ...Якщо ви цього не зробите, то, можливо, ви можете відкрити робочий аркуш в блокноті Sage і поекспериментувати там.) Ви можете відкрити невеликий текстовий процесор, наводячи курсор миші, поки ви знову не отримаєте худу синю смугу, але тепер, коли ви натискаєте, також утримуйте клавішу SHIFT одночасно.
18.3: Читання запитань
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%3A_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Judson)/18%3A_%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8/18.03%3A_%D0%A7%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%8C
Інтегральні області - це абстракція яких двох фундаментальних кілець, які ми вже вивчили? Які різні типи інтегральних доменів визначені в цьому розділі? Поле дробів кільця абстрагує яку ідею з базової...Інтегральні області - це абстракція яких двох фундаментальних кілець, які ми вже вивчили? Які різні типи інтегральних доменів визначені в цьому розділі? Поле дробів кільця абстрагує яку ідею з базової математики? У попередньому розділі ми мали теорему про нескоротні поліноми, що породжують максимальні ідеали. Яка теорема в цьому розділі узагальнює цей попередній результат? Опишіть приклад, який є UFD, але не PID.
20.8: Вправи шавлії
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%3A_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Judson)/20%3A_%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8/20.08%3A_%D0%92%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8_%D1%88%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%96%D1%97
Якщо ми перетворимо елемент $x\in F$ в вектор (щодо основи $\{1,a,a^2\}$ ), то ми можемо помножити його $M$ на $M$ (з ліворуч) для створення іншого вектора, який ми можемо перевести в лінійну комбі...Якщо ми перетворимо елемент $x\in F$ в вектор (щодо основи $\{1,a,a^2\}$ ), то ми можемо помножити його $M$ на $M$ (з ліворуч) для створення іншого вектора, який ми можемо перевести в лінійну комбінацію базових елементів, а значить, ще один елемент $F\text{.}$ цієї функції є векторний простір гомоморфізм, більш відомий як лінійне перетворення (реалізується з матричним поданням відносно основи $\{1,a,a^2\}\text{.}$ Зверніть увагу, що кожна частина нижче стає менш загальною і більш конкретно…
1.1: Коротка примітка про докази
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%3A_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Judson)/01%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%96/1.01%3A_%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D1%96%D1%82%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8
\ begin {align*} ax^2 + BX + c & = 0\\ x^2 +\ розрив {b} {a} x & = -\ розрив {c} {a}\ x^2 +\ frac {b} {a} x +\ лівий (\ frac {b} {2a}\ праворуч) ^2 & =\ лівий (\ frac {b} {2a}\ правий) ^2 & =\ лівий (...\ begin {align*} ax^2 + BX + c & = 0\\ x^2 +\ розрив {b} {a} x & = -\ розрив {c} {a}\ x^2 +\ frac {b} {a} x +\ лівий (\ frac {b} {2a}\ праворуч) ^2 & =\ лівий (\ frac {b} {2a}\ правий) ^2 & =\ лівий (\ frac {b} {2a}\ праворуч) ^2 - \ розрив {c} {a}\\ ліворуч (х +\ гідророзриву {b} {2a}\ праворуч) ^2 & =\ гідророзриву {b^2 - 4a^2}\\ x +\ frac {b} {2a} & =\ гідророзриву {\ пм\ sqrt {b^2 -4ac}} {2a}\\ x & =\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}\ текст {.} \ end {вирівнювати*}
19: Решітки та булеві алгебри
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%3A_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Judson)/19%3A_%D0%A0%D0%B5%D1%88%D1%96%D1%82%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B1%D1%83%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%96_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8
Ґрати є узагальненням порядкових відносин на алгебраїчних просторах, таких як включення множин в теорії множин та нерівність у знайомих системах числення ${\mathbb N}\text{,}$ ${\mathbb Z}\text{,}$ \...Ґрати є узагальненням порядкових відносин на алгебраїчних просторах, таких як включення множин в теорії множин та нерівність у знайомих системах числення ${\mathbb N}\text{,}$ ${\mathbb Z}\text{,}$ ${\mathbb Q}\text{,}$ та ${\mathbb R}\text{.}$ булеві алгебри узагальнюють операції перетину та об'єднання. Грати та булеві алгебри знайшли застосування в логіці, теорії схем та ймовірності.
19.4: Читання запитань
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%3A_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Judson)/19%3A_%D0%A0%D0%B5%D1%88%D1%96%D1%82%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B1%D1%83%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%96_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8/19.04%3A_%D0%A7%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%8C
Не просто перерахуйте визначальні властивості, але дайте опис, який може зрозуміти інший студент алгебри, який ніколи не бачив поета. Наприклад, частина вашої відповіді може включати, який тип загальн...Не просто перерахуйте визначальні властивості, але дайте опис, який може зрозуміти інший студент алгебри, який ніколи не бачив поета. Наприклад, частина вашої відповіді може включати, який тип загальних алгебраїчних тем узагальнює публікація, і ваша відповідь повинна бути короткою за символами. Наведіть дві (можливо, пов'язані) причини, чому будь-яке обговорення скінченних булевих алгебр може сцентруватися на прикладі потужності множини скінченної множини.
13.4: Вправи
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%3A_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Judson)/13%3A_%D0%A1%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF/13.04%3A_%D0%92%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8
Нагадаємо, що підгрупа $G'$ комутатора групи $G$ визначається як підгрупа $G$ генерується елементами виду $a^{-1} b ^{-1} ab$ для $a, b \in G\text{.}$ Ми можемо визначити ряд підгруп $G$ по\(G^{...Нагадаємо, що підгрупа $G'$ комутатора групи $G$ визначається як підгрупа $G$ генерується елементами виду $a^{-1} b ^{-1} ab$ для $a, b \in G\text{.}$ Ми можемо визначити ряд підгруп $G$ по $G^{(0)} = G\text{,}$ $G^{(1)} = G'\text{,}$ і $G^{(i + 1)} = (G^{(i)})'\text{.}$ $H^* ( H \cap K) / H^* ( H \cap K^*) \cong K^* ( H \cap K) / K^* ( H^* \cap K) \cong (H \cap K) / (H^* \cap K)(H \cap K^*)\text{.}$