21.5: Вправи

1

Показати, що кожне з наступних чисел є алгебраїчним, знаходячи мінімальний многочлен числа над\({\mathbb Q}\)\({\mathbb Q}\text{.}\)

1. \(\displaystyle \sqrt{ 1/3 + \sqrt{7} }\)
2. \(\displaystyle \sqrt{ 3} + \sqrt[3]{5}\)
3. \(\displaystyle \sqrt{3} + \sqrt{2}\, i\)
4. \(\cos \theta + i \sin \theta\)для\(\theta = 2 \pi /n\) з\(n \in {\mathbb N}\)
5. \(\displaystyle \sqrt{ \sqrt[3]{2} - i }\)

2

Знайдіть основу для кожного з наступних розширень полів. Яка ступінь кожного розширення?

1. \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{6}\, )\)над\({\mathbb Q}\)
2. \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}\, )\)над\({\mathbb Q}\)
3. \({\mathbb Q}( \sqrt{2}, i)\)над\({\mathbb Q}\)
4. \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}\, )\)над\({\mathbb Q}\)
5. \({\mathbb Q}( \sqrt{2}, \root 3 \of{2}\, )\)над\({\mathbb Q}\)
6. \({\mathbb Q}( \sqrt{8}\, )\)над\({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\)
7. \({\mathbb Q}(i, \sqrt{2} +i, \sqrt{3} + i )\)над\({\mathbb Q}\)
8. \({\mathbb Q}( \sqrt{2} + \sqrt{5}\, )\)над\({\mathbb Q} ( \sqrt{5}\, )\)
9. \({\mathbb Q}( \sqrt{2}, \sqrt{6} + \sqrt{10}\, )\)над\({\mathbb Q} ( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, )\)

3

Знайдіть поле розщеплення для кожного з наступних многочленів.

1. \(x^4 - 10 x^2 + 21\)над\({\mathbb Q}\)
2. \(x^4 + 1\)над\({\mathbb Q}\)
3. \(x^3 + 2x + 2\)над\({\mathbb Z}_3\)
4. \(x^3 - 3\)над\({\mathbb Q}\)

4

Розглянемо розширення поля\({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) над\(\mathbb Q\text{.}\)

1. Знайдіть основу для розширення поля\({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) над Зробіть\(\mathbb Q\text{.}\) висновок, що\([{\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i ): \mathbb Q] = 8\text{.}\)
2. Знайти всі підполя\(F\)\({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) таких, що\([F:\mathbb Q] = 2\text{.}\)
3. Знайти всі підполя\(F\)\({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) таких, що\([F:\mathbb Q] = 4\text{.}\)

5

Покажіть, що\({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle\) це поле з вісьмома елементами. Побудувати таблицю множення для мультиплікативної групи поля.

6

Показати, що регулярний\(9\) -gon не є конструктивним за допомогою straightedge і компаса, але що правильний\(20\) -gon є конструктивним.

7

Доведіть, що косинус одного ступеня (\(\cos 1^\circ\)) є алгебраїчним над\({\mathbb Q}\) але не конструктивним.

8

Чи можна побудувати куб з триразовим об'ємом заданого куба?

9

Доведіть, що\({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt[4]{3}, \sqrt[8]{3}, \ldots )\) це алгебраїчне розширення,\({\mathbb Q}\) але не кінцеве розширення.

10

Довести або спростувати:\(\pi\) є алгебраїчним закінчився\({\mathbb Q}(\pi^3)\text{.}\)

11

\(p(x)\)Дозволяти непостійний многочлен ступеня\(n\) в\(F[x]\text{.}\) Доведіть, що існує поле розщеплення\(E\) для\(p(x)\) таких, що\([E : F] \leq n!\text{.}\)

12

Довести або спростувати:\({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) \cong {\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\text{.}\)

13

Доведіть, що поля\({\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, )\) і\({\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, i)\) ізоморфні, але не рівні.

14

\(K\)Дозволяти алгебраїчне розширення\(E\text{,}\) і\(E\) алгебраїчне розширення\(F\text{.}\) Довести, що\(K\) є алгебраїчним над\(F\text{.}\) [Увага: Не припускайте, що розширення є кінцевими.]

15

Довести або спростувати:\({\mathbb Z}[x] / \langle x^3 -2 \rangle\) це поле.

16

\(F\)Дозволяти поле характеристики\(p\text{.}\) Доведіть, що\(p(x) = x^p - a\) або є незведеним над\(F\) або розщеплюється в\(F\text{.}\)

17

\(E\)Дозволяти бути алгебраїчне закриття поля\(F\text{.}\) Доведіть, що кожен многочлен\(p(x)\) в\(F[x]\) розщеплюється в\(E\text{.}\)

18

Якщо кожен нескоротний многочлен\(p(x)\) в\(F[x]\) лінійний, показати, що\(F\) це алгебраїчно замкнуте поле.

19

Доведіть, що якщо\(\alpha\) і\(\beta\) є конструктивні числа такі, що\(\beta \neq 0\text{,}\) потім так\(\alpha / \beta\text{.}\)

20

Показати, що множина всіх елементів\({\mathbb R}\), які є алгебраїчними над\({\mathbb Q}\) утворюють розширення поля\({\mathbb Q}\), що не є кінцевим.

21

\(E\)Дозволяти бути алгебраїчне розширення поля\(F\text{,}\) і нехай\(\sigma\) бути автоморфізм\(E\) залишаючи\(F\) фіксованою. Дозвольте\(\alpha \in E\text{.}\) показати, що\(\sigma\) індукує перестановку множини всіх нулів мінімального многочлена\(\alpha\), що знаходяться в\(E\text{.}\)

22

Покажіть, що\({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, )\text{.}\) Розширте свій доказ, щоб показати, що\({\mathbb Q}( \sqrt{a}, \sqrt{b}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{a} + \sqrt{b}\, )\text{,}\) де\(a \neq b\) і\(a\) ні ні\(b\) є ідеальним квадратом.

23

\(E\)Дозволяти бути кінцевим розширенням поля\(F\text{.}\) Якщо\([E:F] = 2\text{,}\) показати, що\(E\) це поле розщеплення\(F\) для деякого многочлена\(f(x) \in F[x]\text{.}\)

24

Довести або спростувати: З огляду на\(p(x)\) многочлен в\({\mathbb Z}_6[x]\text{,}\) можна побудувати кільце\(R\) таке, що\(p(x)\) має корінь в\(R\text{.}\)

25

\(E\)Дозволяти бути розширенням поля\(F\) і\(\alpha \in E\text{.}\) визначити\([F(\alpha): F(\alpha^3)]\text{.}\)

26

\(\alpha, \beta\)Нехай трансцендентний над\({\mathbb Q}\text{.}\) Доведи, що\(\alpha \beta\) або\(\alpha + \beta\) є трансцендентним.

27

Дозвольте\(E\) бути розширенням поля\(F\) і\(\alpha \in E\) бути трансцендентним над\(F\text{.}\) Доведіть, що кожен елемент в\(F(\alpha)\) тому, що немає, також трансцендентний над.\(F\)\(F\text{.}\)

28

\(\alpha\)Дозволяти корінь незведеного монічного многочлена\(p(x) \in F[x]\text{,}\) з\(\deg p = n\text{.}\) Доведіть, що\([F(\alpha) : F] = n\text{.}\)