Search

B: Функції
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_(Clark)/02%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B8/2.02%3A_%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97
Тут ми збираємо кілька основних фактів про функції. Зверніть увагу, що слова function, map, mapping і transformation можуть бути використані як взаємозамінні. Тут ми просто використовуємо термін функц...Тут ми збираємо кілька основних фактів про функції. Зверніть увагу, що слова function, map, mapping і transformation можуть бути використані як взаємозамінні. Тут ми просто використовуємо термін функція. Ми залишаємо докази всіх результатів у цьому додатку зацікавленому читачеві.
5: Група одиниць
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_(Clark)/01%3A_%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B8/1.05%3A_%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8C
Задача 5.3 Довести легку частину\ (\ mathbb {Z} _n\)» href=» /книжкові полиці/абстракт_і_геометрич_алгебра/елементарний_абстракт_алгебра_ (Кларк) /01:_глави/1.05_the_group_of_Units #Theorem_ .5C (.5cp...Задача 5.3 Довести легку частину\ (\ mathbb {Z} _n\)» href=» /книжкові полиці/абстракт_і_геометрич_алгебра/елементарний_абстракт_алгебра_ (Кларк) /01:_глави/1.05_the_group_of_Units #Theorem_ .5C (.5cpageIndex.7b2.7d.5c) "> Теорема 5.2; а саме показати, що якщо\(a \in \mathbb{Z}_n\) і \(\gcd(a,n)=d > 1\), То не\(a\) є одиницею. [Підказка: Показати (1) що\(a \in \mathbb{Z}_n\)\(\gcd(a,n)=d > 1\) if і є\(b \in \mathbb{Z}_n-\{ 0 \}\) такий елемент, що\(ab=0\). (2) Якщо\(b \in \mathbb{Z}_n -\{ 0\}\)…
4: Підгрупи
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_(Clark)/01%3A_%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B8/1.04%3A_%D0%9F%D1%96%D0%B4%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B8
Зверніть увагу, що\[\langle a \rangle = \{ \ldots, a^{-3}, a^{-2}, a^{-1}, a^0, a^1, a^2, a^3, \ldots \}.\] Зокрема,\(a = a^1\) і\(e = a^0\) знаходяться в\(\langle a \rangle\). Оскільки з теореми 2.4\...Зверніть увагу, що\[\langle a \rangle = \{ \ldots, a^{-3}, a^{-2}, a^{-1}, a^0, a^1, a^2, a^3, \ldots \}.\] Зокрема,\(a = a^1\) і\(e = a^0\) знаходяться в\(\langle a \rangle\). Оскільки з теореми 2.4\(n+m \in \mathbb{Z}\) випливає, що\[a^na^m = a^{n+m} \in \langle a \rangle.\] також з теореми 2.4\(a^n \in \langle a \rangle\), якщо, оскільки\(n(-1) = -n\) ми маємо\[(a^n)^{-1} = a^{-n} \in \langle a \rangle.\] Це доводить, що\(\langle a \rangle\) це підгрупа.
7: Ізоморфізм груп
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_(Clark)/01%3A_%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B8/1.07%3A_%D0%86%D0%B7%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%BC_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF
З іншого боку по теоремі 4.2, оскільки\(o(a) = n\) ми маємо\[\langle a \rangle = \{ a^0, a^1, \dots , a^{n-1} \}.\] Отже, відображення,\(\varphi:\mathbb{Z}_n \to \langle a \rangle\) визначене правилом...З іншого боку по теоремі 4.2, оскільки\(o(a) = n\) ми маємо\[\langle a \rangle = \{ a^0, a^1, \dots , a^{n-1} \}.\] Отже, відображення,\(\varphi:\mathbb{Z}_n \to \langle a \rangle\) визначене правилом\(\varphi(i) = a^i\) для\(i = 0, 1, 2, \dots , n-1\), явно один-на-один і на.
11: Кватерніони
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_(Clark)/01%3A_%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B8/11%3A_%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B8
Це означає, що якщо ми визначимо для\(a \in \mathbb{R}\) і\((x,y,z,w) \in \mathbb{R}^4\) скалярний за векторним\[a(x,y,z,w)=(ax,ay,az,aw),\] добутком, кватерніон\(q=(x,y,z,w)\) може бути записаний одн...Це означає, що якщо ми визначимо для\(a \in \mathbb{R}\) і\((x,y,z,w) \in \mathbb{R}^4\) скалярний за векторним\[a(x,y,z,w)=(ax,ay,az,aw),\] добутком, кватерніон\(q=(x,y,z,w)\) може бути записаний однозначно у формі\[q=x1+yi+zj+wk.\] Тепер, якщо ми скорочуємо\(x=x1\), кватерніон набуває вигляду.\[q= x+yi+zj+wk.\] Доповнення тепер стає\[(x+yi+zj+wk) + (a+bi+cj+dk) = (x+a) +(y+b)i+(z+c)j+(w+d)k.\] Продуктами базових елементів\(1,i,j,k\) визначаються наступним чином:\[1q=q1=q \mbox{ for all } q \i…
D: Розділи та відносини еквівалентності
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_(Clark)/02%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B8/2.04%3A_%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D1%96%D0%BB%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D0%B8_%D0%B5%D0%BA%D0%B2%D1%96%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96
Якщо\(\sim\) є відношення еквівалентності на множині\(X\), а\(a \in X\) ми визначаємо\[[a] = \{ x \in X \ | \ x \sim a \}.\]\([a]\) множину називається класом еквівалентності\(a\) відносно відношення ...Якщо\(\sim\) є відношення еквівалентності на множині\(X\), а\(a \in X\) ми визначаємо\[[a] = \{ x \in X \ | \ x \sim a \}.\]\([a]\) множину називається класом еквівалентності\(a\) відносно відношення еквівалентності \(\sim\).
6: Прямі продукти груп
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_(Clark)/01%3A_%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B8/1.06%3A_%D0%9F%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%96_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%82%D0%B8_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF
Якщо\(G_1, G_2, \dots, G_n\) список\(n\) груп, ми\(G_1\times G_2 \times \dots \times G_n\) перетворюємо декартовий добуток у групу, визначаючи двійкову операцію\[(a_1,a_2, \dots, a_n) \cdot (b_1, b_2,...Якщо\(G_1, G_2, \dots, G_n\) список\(n\) груп, ми\(G_1\times G_2 \times \dots \times G_n\) перетворюємо декартовий добуток у групу, визначаючи двійкову операцію\[(a_1,a_2, \dots, a_n) \cdot (b_1, b_2, \dots, b_n) = (a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \dots, a_n \cdot b_n).\] Тут для кожного\(i \in \{ 1, 2, \dots, n \}\) добутку\(a_i \cdot b_i\) є добутком\(a_i\) і \(b_i\)в групі\(G_i\).
9: Вступ до теорії кілець
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_(Clark)/01%3A_%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B8/1.09%3A_%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%97_%D0%BA%D1%96%D0%BB%D0%B5%D1%86%D1%8C
\(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\)для всіх\(a\)\(b\),\(c\) в\(R\). \((b+c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a\)для всіх\(a\)\(b\),\(c\) в\(R\). Проблема 9.11 Припустімо, що є позитивний елемент,\(...\(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\)для всіх\(a\)\(b\),\(c\) в\(R\). \((b+c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a\)для всіх\(a\)\(b\),\(c\) в\(R\). Проблема 9.11 Припустімо, що є позитивний елемент,\(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) такий, що\[(\sqrt{2})^2 =2.\] Визначити наступну\(\mathbb{R}\)\[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{ a+b\sqrt{2} \ | \ a, b \in \mathbb{Q}\}.\] підмножину: Доведіть, що\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) є підполем\(\mathbb{R}\). (Складна частина показує, що всі ненульові елементи є одиницями.)
10: Аксіоматичне лікування\(\mathbb{R, N, Z, Q}\) and \(\mathbb{C}\)
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_(Clark)/01%3A_%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B8/10%3A_%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D0%BB%D1%96%D0%BA%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F%5C(%5Cmathbb%7BR%2C_N%2C_Z%2C_Q%7D%5C)_and_%5C(%5Cmathbb%7BC%7D%5C)
Ми використовуємо такі скорочення:\[\begin{aligned} b > a &\Longleftrightarrow& a < b \\ a \le b &\Longleftrightarrow& a < b \mbox{ or } a=b\\ b \ge a &\Longleftrightarrow& a \le b \\ a < b < c &\Long...Ми використовуємо такі скорочення:\[\begin{aligned} b > a &\Longleftrightarrow& a < b \\ a \le b &\Longleftrightarrow& a < b \mbox{ or } a=b\\ b \ge a &\Longleftrightarrow& a \le b \\ a < b < c &\Longleftrightarrow& a < b \mbox{ and } b < c \\ a \le b \le c &\Longleftrightarrow& a \le b \mbox{ and } b \le c\end{aligned}\]\(a\) Елемент вважається позитивним if\(a > 0\) і, негативним if\(a < 0\).
1: Бінарні операції
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_(Clark)/01%3A_%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B8/1.01%3A_%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97
\[\left [ \nonumber \begin{array} {c c} a & b \\ c & d \end{array} \right] + \left [ \begin{array} {c c} a' & b' \\ c' & d' \end{array} \right] = \left [ \begin{array} {c c} a + a' & b+b' \\ c+c' & d+...\[\left [ \nonumber \begin{array} {c c} a & b \\ c & d \end{array} \right] + \left [ \begin{array} {c c} a' & b' \\ c' & d' \end{array} \right] = \left [ \begin{array} {c c} a + a' & b+b' \\ c+c' & d+d' \end{array} \right]\] Потім\[\frac a b \in \mathbb{Q} \ \mbox{ and } \ \frac c d \in \mathbb{Q}.\] визначте\(*\)\(\mathbb{Q}\) по:\[\frac a b * \frac c d = \frac {a+c}{b^2+d^2}.\] Показати, що\[\frac a b * \frac c d \in \mathbb{Q},\] так\(\mathbb{Q}\) закрито під\(*\).
C: Елементарна теорія чисел
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_(Clark)/02%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B8/2.03%3A_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB
Це означає, що\[a = nq_1 + r_1, \quad 0 \le r_1 < n\] і\[b = nq_2 + r_2, \quad 0 \le r_2 < n\] звідси\[a+b= nq_1 + r_1 + nq_2 + r_2 = n(q_1+q_2) + r_1+r_2\] зараз\[f(a) \oplus f(b) = r_1 \oplus r_2 = ...Це означає, що\[a = nq_1 + r_1, \quad 0 \le r_1 < n\] і\[b = nq_2 + r_2, \quad 0 \le r_2 < n\] звідси\[a+b= nq_1 + r_1 + nq_2 + r_2 = n(q_1+q_2) + r_1+r_2\] зараз\[f(a) \oplus f(b) = r_1 \oplus r_2 = r\] де\[r_1 + r_2 = qn + r, \quad 0 \le r < n\] Звідси\[a+b=n(q_1+q_2+q) + r, \quad 0 \le r < n\] і випливає, що\[f(a+b)=(a+b) \bmod n = r,\] і ми робимо висновок, що\[f(a+b) = r = f(a) \oplus f(b).\] Це доводить (С.1).