10: Аксіоматичне лікування\(\mathbb{R, N, Z, Q}\) and \(\mathbb{C}\)
- Page ID
- 105551
Існує кілька способів аксіоматизації стандартних систем числення\(\mathbb{R}\),\(\mathbb{N}\),\(\mathbb{Z}\), і\(\mathbb{Q}\). Один із способів полягає в тому, щоб почати з укладання аксіом,\(\mathbb{N}\) а потім використовувати\(\mathbb{N}\) і встановити теорію для послідовного побудови систем\(\mathbb{Z}\) числення,\(\mathbb{Q}\) і\(\mathbb{R}\). Швидший спосіб полягає в тому, щоб почати з аксіом для\(\mathbb{R}\) і використання цих аксіом знайти\(\mathbb{N}\)\(\mathbb{Z}\), і\(\mathbb{Q}\) всередині\(\mathbb{R}\). Ми дотримуємося останнього підходу тут. Починаємо з визначення впорядкованого кільця.
Впорядковане кільце - це чотиримісний,\[(R,+,\cdot, <)\] де\((R,+,\cdot)\) є комутативним кільцем і\(<\) є двійковим відношенням, на\(R\) якому задовольняє наступні властивості для всіх\(a,b,c \in R\).
- \(a < b\)і\(b < c \Longrightarrow a < c\).
- \(a < b \Longrightarrow a+c < b+c\).
- \(a < b\)і\(0 < c \Longrightarrow ac < bc\).
- З огляду на\(a,b \in R\) один і тільки один з наступних трюмів:\[a=b, \quad a < b, \quad b < a.\]
Зауважте, що ми могли б розробити деяку теорію впорядкованих кілець без припущення про комутативність; однак це припущення полегшить ситуацію. Всі впорядковані кільця, які нас цікавлять, так чи інакше комутативні.
Термінологія\(<\) Двійкове відношення, як зазвичай, називається менше ніж. Умова 1 вище називається транзитивністю, а умова 4 називається законом трихотомії. Ми також називаємо\(<\) відносинами замовлення або замовлення на кільці\(R\). Ми використовуємо такі скорочення:\[\begin{aligned} b > a &\Longleftrightarrow& a < b \\ a \le b &\Longleftrightarrow& a < b \mbox{ or } a=b\\ b \ge a &\Longleftrightarrow& a \le b \\ a < b < c &\Longleftrightarrow& a < b \mbox{ and } b < c \\ a \le b \le c &\Longleftrightarrow& a \le b \mbox{ and } b \le c\end{aligned}\]\(a\) Елемент вважається позитивним if\(a > 0\) і, негативним if\(a < 0\). Зверніть увагу, що\(-a\) може бути позитивним або негативним, залежно від того,\(a\) позитивний чи негативний. Отже, найкраще читати\(-a\) як мінус, \(a\)а не негативний \(a\).
Проблема 10.1 Нехай\(R\) буде впорядковане кільце з ідентичністю\(1 \ne 0\). Доведіть, що для всіх\(a,b,c \in R\) наступних тверджень провести:
- \(0 < a \mbox{ and } 0 < b \Longrightarrow 0 < ab\).
- \(a < 0 \Longrightarrow 0 < -a\).
- \(0 < 1\).
- \(a \neq 0 \Longrightarrow 0 < a^2\).
- Якщо\(a < b\) і\(c < d\) тоді\(a+c < b+d\).
- \(a < b \Longrightarrow -b < -a\).
- \(a < b \mbox{ and } c < 0 \Longrightarrow bc < ac\).
- Якщо\(a\) це одиниця і\(0 < a\) то\(0 < a^{-1}\).
- Якщо\(a\) це одиниця і\(0 < a < 1\) то\(1 < a^{-1}\).
- \(R\)нескінченно.
Зверніть увагу, що деякі кільця не можна замовити. Наприклад, остання постановка вищевказаної проблеми показує, що немає можливості зробити кільця в\(\mathbb{Z}_n\) упорядковані кільця. Як ми побачимо, поле комплексних чисел - це нескінченне кільце, яке неможливо перетворити в упорядковане кільце. Суворе визначення комплексних чисел ми дамо пізніше. Основними прикладами впорядкованих кілець є\(\mathbb{Z}\),\(\mathbb{Q}\) і\(\mathbb{R}\).
Проблема 10.2 Показати, що якщо кільце\(R\) має ідентичність\(1 \neq 0\) і містить елемент\(i\) такий\(i^2 = -1\), що, то\(R\) не може бути впорядкованим кільцем.
Якщо впорядковане кільце\(R\) є цілісним доменом (або полем), ми називаємо\(R\) упорядкований домен (або упорядковане поле). Тепер ми можемо\(\mathbb{Z}\) відрізнити\(\mathbb{Q}\) і\(\mathbb{R}\) за тим, що\(\mathbb{Z}\) це упорядкований домен, а не впорядковане поле, тоді як обидва\(\mathbb{Q}\) і\(\mathbb{R}\) є впорядкованими полями. Проблема в тому, як відрізнити\(\mathbb{Q}\) від\(\mathbb{R}\). Це було історично складною справою для досягнення. Перша підказка полягала в тому, що\(\sqrt{2}\) це не раціональне число. Щоб описати різницю, нам знадобиться ще кілька визначень.
Нехай\(R\) буде впорядковане кільце. \(S\)Дозволяти бути підмножиною\(R\). \(b\)Елемент\(R\) називається верхньою межею для\(S\) if\(x \le b\) for all\(x \in S\). Якщо\(S\) має верхню межу ми говоримо,\(S\) що обмежений зверху.
Завдання 10.3 Наведіть приклади підмножин\(S\),\(\mathbb{R}\) що задовольняють наступним умовам:
- \(S\)не має верхньої межі.
- \(S\)має верхню межу\(b \in S\).
- \(S\)обмежений зверху, але не має верхньої межі\(b \in S\).
\(S\)Дозволяти бути підмножиною впорядкованого кільця,\(R\) яке обмежено зверху. Елемент\(\ell \in R\) є найменшою верхньою межею (lu.b) для\(S\)\(\ell\) if є верхньою\(\ell \le b\)\(b\) межею для всіх верхніх меж\(S\).\(S\)
Задача 10.4 Дайте найменші верхні межі для наступних підмножин\(\mathbb{R}\).
- \([0,1) = \{ x \in \mathbb{R}\ | \ 0 \le x < 1 \}\).
- \([0,1] = \{ x \in \mathbb{R}\ | \ 0 \le x \le 1 \}\).
\(R\)Впорядковане поле вважається повним, якщо воно задовольняє наступне:
Найменша верхня межа аксіома Кожна непорожня підмножина,\(R\) яка обмежена зверху, має найменшу верхню межу.
Існує повне впорядковане поле. Будь-які два таких поля є ізоморфними. \(\blacksquare\)
Доказ цього виходить за рамки цього курсу. Багато книг з аналізу починаються з того, що просто припускають, що існує таке поле. Насправді ми почали цей курс, припускаючи знайомство з, а\(\mathbb{R}\) також\(\mathbb{N}\),\(\mathbb{Q}\) і\(\mathbb{Z}\).
Унікальне повне впорядковане поле, існування якого стверджується\ (\ mathbb {R, N, Z, Q}\) та\(\mathbb{C}\) "href=» /книжкові полиці/абстракт_і_геометрика_алгебра/елементарний_абстракт_алгебра_ (Кларк) /01:_глави/10:_Axiomatic_treatment_of/ (/mathbb%7br, _N, _Z, _Q%7D/) _і/ (/МатхВ% 7БК% 7д/) #Theorem_. 5C (.5cPageIndex.7B1.7D.5c) ">Теорема 10.1 називається полем дійсних чисел і позначається символом\(\mathbb{R}\).
Усі властивості дійсних чисел випливають із визначальних властивостей повного впорядкованого поля. Наприклад, можна довести, що якщо\(a \in \mathbb{R}\) і\(a > 0\), то є унікальний елемент\(x \in \mathbb{R}\) такий, що\(x^2=a\) і\(x > 0\).
Це може бути показано, що не\(\mathbb{Q}\) є повним. Наприклад, множина\[S=\{ x \in \mathbb{Q} \, \vert \, x^2 < 2 \}\] обмежена зверху, але має не останню верхню межу\(\mathbb{Q}\). Оскільки ми припускаємо, що\(\mathbb{R}\) це повно,\(S\) множина має найменшу верхню\(\ell\) межу, в\(\mathbb{R}\) якій можна довести, що є позитивним і задовольняє\(\ell^2=2\).
Ми також спостерігаємо, що так само, як ми визначили віднімання в кільці за правилом,\[a-b=a+(-b),\] ми визначаємо поділ у полі наступним чином:
\(a\)\(b\)Дозволяти і бути елементами поля. Якщо\(b \neq 0\) ми визначимо,\[a/b = \frac a b = a \div b = a\cdot b^{-1}\] де\(b^{-1}\) є обернене щодо множення.\(b\)
За припущенням існування повного\(\mathbb{R}\) упорядкованого поля ми можемо визначити\(\mathbb{N}\)\(\mathbb{Z}\), і\(\mathbb{Q}\) наступним чином. Спочатку визначимося\(\mathbb{N}\).
Скажіть, що\(S\) підмножина\(\mathbb{R}\) індуктивна, якщо вона задовольняє обом наступним умовам:
- \(1 \in S\).
- Якщо\(n \in S\), то\(n+1 \in S\).
Потім ми визначаємо натуральні числа,\(\mathbb{N}\) щоб бути перетином колекції всіх індуктивних підмножин\(\mathbb{R}\).
Нехай\(1\) позначають особистість\(\mathbb{R}\). Визначити\(2 = 1 + 1\)\(3 = 2 + 1\),\(4 = 3+1\),,\(5= 4+1\),\(6 = 5+1\),\(7 = 6 + 1\),\(8 = 7 + 1\),\(9 = 8+1\).
Якщо ми почнемо тільки з аксіом для повного впорядкованого поля, то спочатку у нас є тільки цифри\(0\) і\(1\). З наведеного вище визначення отримуємо додатково числа 2,3,4,5,6,7,8,9. Використовуючи той факт, що для кожного у\(a \in \mathbb{R}\) нас є,\(-a \in \mathbb{R}\) ми отримуємо також\(-1, -2, -3, -4, -5, \dots\), а також числа, такі як\[\frac 1 2 = 2^{-1}, \quad \frac 1 3 = 3^{-1}, \quad \frac 1 4 = 4^{-1}, \quad \frac 2 3 = 2 \cdot 3^{-1}, \dots\]
Показати, що кожне з наступних є індуктивною підмножиною\(\mathbb{R}\).
- \(\mathbb{R}\).
- \(\{ x \in \mathbb{R}\, | \, x \ge 1 \}\).
- \(\{1,2 \} \cup \{ x \in \mathbb{R}\, | \, x \ge 3 \}\).
- \(\{1,2,3 \} \cup \{ x \in \mathbb{R}\, | \, x \ge 4 \}\).
З\ (\ mathbb {R, N, Z, Q}\) і\(\mathbb{C}\) "href=» /книжкові полиці/абстракт_і_геометрич_алгебра/елементарний_абстракт_алгебра_ (Кларк) /01:_глави/10:_Axiomatic_treatment_of/ (/MathBb%7BR, _N, _Z, _Q%7D/) _і/ (/MathBb%7bC%7d/) #Definition_10 .7: ">Визначення 10.7 і\ (\ mathbb {R, N, Z, Q}\) і \(\mathbb{C}\)"href=» /Книжкові полиці/Абстракт_і_геометрич_алгебра/елементарна_абстракт_алгебра_ (Кларк) /01:_глави/10:_аксіоматичний_обробки_оф/ (/MathBb%7BR, _N, _Z, _Q%7D/) _і/ (/MathBb%7B%7BR, _N, _Z, _Q%7D/). 8: ">Визначення 10.8 можна довести наступні дві теореми: #Definition_10
\(\mathbb{N}\)є індуктивною підмножиною\(\mathbb{R}\). \(\blacksquare\)
Якщо\(S \subseteq \mathbb{N}\) і\(S\) є індуктивним, то\(S=\mathbb{N}\). \(\blacksquare\)
Проблема 10.5
(а) Доведіть, що\(2, 3, 4,\) і\(5\) є елементами\(\mathbb{N}\).
(б) Доведіть\(2+2=4\), що,\(2 \cdot 2 = 4\). (c) Доведіть, що\(1 < 2 < 5\).
Ось кілька прикладів речей, які можна довести за допомогою індукції (це коротко для Принципу математичної індукції).
Проблема 10.6 Доведіть, що\(n \ge 1\) для всіх\(n \in \mathbb{N}\). Підказка:\[S=\{ n \in \mathbb{N}\ | \ n \ge 1 \}.\] Дозвольте довести, що\(S \subseteq \mathbb{N}\) і\(S\) є індуктивним. Зробіть висновок з принципу математичної індукції, що\(S=\mathbb{N}\). Це еквівалентно твердженню\(n \ge 1\) для всіх\(n \in \mathbb{N}\) і завершує доказ.
Проблема 10.7 Доведіть, що\(2^n > n\) для всіх\(n \in \mathbb{N}\).
Задача 10.8 Довести частину 3 теореми 7.2. Підказка: розділіть проблему на дві частини. Спочатку довести\(f(a^n) =f(a)^n\) для всіх за\(n \in \mathbb{N}\) допомогою індукції. Використовуйте теорему 7.2, частина 1 для обробки випадку\(n=0\) та використовуйте теорему 7.2, частина 2 та закони експонентів для обробки випадку, коли\(n\) негативний.
Проблема 10.9 Доведіть це\(0 < \frac 1 2 < 1\).
Проблема 10.10 Як зазначалося вище, можна довести, що якщо\(a \in \mathbb{R}\) і\(a > 0\) існує унікальне число, що\(x \in \mathbb{R}\) задовольняє\(x^2=a\) і\(x > 0\). Число\(x\) позначається\(\sqrt{a}\). Доведіть, що\[1 < \sqrt{2} < \sqrt{3} < 2\] і\[\frac 52 < \sqrt{8} < 3.\]
Визначте\(\mathbb{Z}= \mathbb{N}\cup \{ 0 \} \cup -\mathbb{N}\), де\(-\mathbb{N}= \{ -n \ | \ n\in \mathbb{N}\}\).
Множина\(\mathbb{Z}\) являє собою підкільце кільця,\(\mathbb{R}\) яке ми називаємо кільцем цілих чисел. Всі властивості того\(\mathbb{Z}\), що ми звикли випливати з аксіом для\(\mathbb{R}\) і вищевказаних визначень. Це включає в себе такі речі, як немає цілого числа\(x\) такого, що\(1 < x < 2\). У цьому курсі ми не будемо витрачати час на розробку всіх відомих результатів такого характеру.
\(\mathbb{Q}= \{ n/m \ | \ n, m \in \mathbb{Z}\mbox{ and } m \neq 0 \}.\)
Множина\(\mathbb{Q}\) являє собою підполе, яке\(\mathbb{R}\) називається полем раціональних чисел.
Поле комплексних чисел є потрійним,\((\mathbb{C}, +, \cdot)\) де\[\mathbb{C}= \{ (a,b) \ | \ a,b \in \mathbb{R}\},\] і додавання і множення визначаються наступним чином для\((a,b)\),\((c,d) \in \mathbb{C}\):\[\begin{aligned} (a,b) + (c,d) &=& (a+c,b+d) \\ (a,b) \cdot (c,d) &=& (ac-bd, ad+bc)\end{aligned}\]
\(\mathbb{C}\)поле з нулем задано\((0,0)\), ідентичність задана\((1,0)\), адитивна обернена\((a,b)\) задається\((-a,-b)\) і якщо\((a,b) \neq (0,0)\) тоді мультиплікативний обернений\((a,b)\) задається \[(a,b)^{-1} = \left ( \frac a{a^2+b^2}, \frac {-b}{a^2+b^2} \right ).\]\(\blacksquare\)
Цю теорему просто довести. Для економії часу ми доводимо лише наступне:
Завдання 10.11 Довести,\((0,0)\) що нуль\(\mathbb{C}\) і адитивна\(-(a,b)\) зворотна\((a,b) \in \mathbb{C}\) задана\((-a,-b)\).
Задача 10.12 Довести, що\((1,0)\) є тотожністю для\(\mathbb{C}\), що\((0,1)^2 = -(1,0)\) і що якщо\((a,b) \neq (0,0)\) тоді мультиплікативний\((a,b)\) обернений дається, як зазначено в теоремі.
Якщо ми пишемо для\(a, b \in \mathbb{R}\)\[a+bi =(a,b), \quad a = (a,0), \quad bi=(0,b), \quad i=(0,1)\] потім\[i^2 = -1\] і ми можемо розглядати\(\mathbb{R}\) як\(\mathbb{C}\) підмножина і додавання і множення на\(\mathbb{R}\) узгоджується з цим на\(\mathbb{C}\) для елементів\(\mathbb{R}\). Тобто в даному позначенні\(\mathbb{R}\) є підполе\(\mathbb{C}\).
У цьому курсі нам не вистачає часу, щоб обговорити будь-яке з багатьох застосувань складних чисел у математиці, техніці та фізиці.
Задача 10.13 Використання позначення вище для елементів\(\mathbb{C}\), нехай\(z= 2 + 3i\),\(w=-2 + 4i\) і\(\theta = (-1/2) + (\sqrt{3}/2)i\). Напишіть наступне у вигляді\(a + bi\) де\(a\) і\(b\) є дійсними числами:
- \(z + w\).
- \(zw\).
- \(z^{-1}\).
- \(\theta^3\).
Нехай\(a,b \in \mathbb{R}\) і нехай\(z = a+bi \in \mathbb{C}\). Комплексне число\(\overline{z} = a - bi\) називається сполученим з\(z\). \(\overline{z}\)читається «сполучений з».
Завдання 10.14 Доведіть, що відображення\(\varphi : \mathbb{C}\to \mathbb{C}\) визначено,\(\varphi(z) = \overline{z}\) - це кільцевий ізоморфізм від\(\mathbb{C}\) себе, який є власним оберненим. Тобто, для всіх\(z,w \in \mathbb{C}\) доводять:
- \(\overline{zw} = \overline{z} \, \overline{w},\)
- \(\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w},\)і
- \(\overline{\overline{z}} = z\)
Інший спосіб визначення\(\mathbb{C}\) наведено в наступній задачі.
Задача 10.15 Нехай\[R = \left \{ \left ( \begin{array}{cr} a & -b \\ b&a \end{array} \right ) \ | \ a,b \in \mathbb{R} \right \}.\] Це підкільце кільця всіх\(2 \times 2\) матриць\(M_2(\mathbb{R})\). По суті,\(R\) це поле. Доведіть,\(R\) що ізоморфний (як кільце) до\(\mathbb{C}\).
Завдання 10.16 Порівняти формулу в\ (\ mathbb {R, N, Z, Q}\) і\(\mathbb{C}\) "href=» /книжкових полицях/абстракт_і_геометрич_алгебра/елементарний_абстракт_алгебра_ (Кларк) /01:_глави/10:_Axiomatic_treatment_of/ (/MathBb%7BR, _N, _Z, __Q%7D/) _і/ (/МатхВ% 7bC %7D/) #Theorem_ .5C (.5C Індекс сторінки, 7B4.7d.5c) "> Теорема 10.4 для оберненого комплексного числа до формули оберненої матриці виду\[\left (\begin{array}{cr} a & -b \\ b&a \end{array} \right ).\]
Ми згадуємо тут кілька цікавих теорем про те\(\mathbb{R}\), які ми не встигнемо висвітлити в цьому курсі. Докази можна знайти на курсах вступного аналізу та курсах вдосконаленої алгебри.
Набір\(S\) вважається підрахунковим, якщо він кінцевий або якщо існує відповідність один до одного між\(S\) і\(\mathbb{N}\). Набір, який не підлягає підрахунку, вважається незліченним.
\(\mathbb{Q}\)піддається зліченню. \(\blacksquare\)
\(\mathbb{R}\)незліченна. \(\blacksquare\)
Справжнє число, якого немає\(\mathbb{Q}\), тобто не є раціональним, вважається ірраціональним числом.
Безліч ірраціональних чисел незліченна. \(\blacksquare\)
Справжнє число вважається алгебраїчним, якщо воно є коренем деякого ненульового многочлена,\(a_nx^n + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0\) де коефіцієнти\(a_i\) є раціональними числами. Наприклад,\(\sqrt{2}\) є алгебраїчним, оскільки це корінь\(x^2 - 2\) і\(\sqrt[3]{(1+\sqrt{5})}\) є алгебраїчним, оскільки це корінь\(x^6-2x^3-4\). Раціональне число\(q\) є алгебраїчним, оскільки воно є коренем\(x-q\).
Множина алгебраїчних чисел утворює лічильне підполе\(\mathbb{R}\). \(\blacksquare\)
Справжнє число, яке не є алгебраїчним, вважається трансцендентним.
Безліч трансцендентних чисел незліченний. \(\blacksquare\)
Однак дуже важко довести, що конкретне дійсне число трансцендентне. Важливими прикладами трансцендентних чисел є\(\pi\) і\(e\).
\(e\)трансцендентний. \(\blacksquare\)
\(\pi\)трансцендентний. \(\blacksquare\)