9: Вступ до теорії кілець

Визначення 9.1:

Кільце - впорядкована трійка,\((R, + ,\cdot)\) де\(R\) є множиною\(+\) і і\(\cdot\) є бінарними операціями щодо\(R\) задоволення наступних властивостей:

A1

\(a + (b+c) = (a+b)+c\)для всіх\(a\)\(b\),\(c\) в\(R\).

A2

\(a+b=b+a\)для всіх\(a\),\(b\) в\(R\).

A3

Існує елемент, що\(0 \in R\) задовольняє\(a+0=a\) для всіх\(a\) в\(R\).

A4

Для кожного\(a \in R\) знайдеться\(b \in R\) такий елемент, що\(a+b=0\).

М1

\(a \cdot (b \cdot c) = ( a \cdot b ) \cdot c\)для всіх\(a\)\(b\),\(c\) в\(R\).

D1

\(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\)для всіх\(a\)\(b\),\(c\) в\(R\).

Д2

\((b+c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a\)для всіх\(a\)\(b\),\(c\) в\(R\).

Термінологія Якщо\((R,+,\cdot)\) є кільцем, двійкова операція\(+\) називається додаванням, а двійкова операція\(\cdot\) називається множенням. Надалі ми зазвичай будемо писати\(ab\) замість \(a \cdot b\). Елемент,\(0\) згаданий в А3, називається нулем кільця. Зверніть увагу, що ми не припускали, що\(0\) поводиться як нуль, тобто ми не припускали, що\(0\cdot a= a \cdot 0=0\) для всіх\(a \in R\). Те, що говорить A3,\(0\) це ідентичність щодо додавання. Зверніть увагу, що негативний (як протилежність позитивному) не має ніякого значення для більшості кілець. Ми не припускаємо, що множення є комутативним, і ми не припускали, що існує ідентичність для множення, тим більше, що елементи мають зворотні щодо множення.

Визначення 9.2:

Елемент,\(b\) згаданий в А4, пишеться\(-a\) і ми називаємо його мінус \(a\)або добавка, обернена\(a\). Віднімання в кільці визначається правилом\(a - b = a + (-b)\) для всіх\(a\),\(b\) в\(R\).

Якщо не вказано інше, відтепер ми будемо посилатися на кільце,\(R\) а не кільце\((R,+,\cdot)\). Звичайно, якщо ми визначимо кільце, ми повинні сказати, що таке двійкові операції додавання та множення.

Проблема 9.1 Як один стан властивостей A1—A4 більш компактним чином, використовуючи попередні визначення?

Визначення 9.3:

Нехай\(R\) буде кільце. Якщо є тотожність щодо множення, вона називається тотожністю кільця і зазвичай позначається символом\(1\). Якщо такий елемент існує, ми говоримо, що\(R\) це кільце з ідентичністю.

У деяких випадках ідентичність кільця може позначатися якимось символом, відмінним від\(1\) такого, як\(e\) або\(I\).

Визначення 9.4:

Ми говоримо, що кільце\(R\) є комутативним, якщо множення є комутативним. В іншому випадку кільце вважається некомутативним.

Зверніть увагу, що додавання в кільце завжди комутативне, але множення може бути не комутативним.

Визначення 9.5:

Кільце\(R\) вважається цілісною областю, якщо дотримуються такі умови:

1. \(R\)є комутативним.
2. \(R\)містить посвідчення особи\(1 \neq 0\).
3. Якщо\(a\),\(b \in R\) а\(ab=0\) то або або\(a=0\) або\(b=0\).

Визначення 9.6

Кільце\(R\) називається полем, якщо воно задовольняє наступним властивостям.

1. \(R\)є комутативним.
2. \(R\)містить посвідчення особи\(1 \neq 0\).
3. Для кожного\(x \in R\) такого\(x \ne 0\), що, знайдеться\(y \in R\) таке, що\(xy=1\).

Проблема 9.2 Які з перелічених нижче є кільцями? Якщо так, які мають тотожності, які є комутативними, які є інтегральними доменами, а які поля?

1. \((\mathbb{N},+, \cdot)\).
2. \((2 \mathbb{Z}, +, \cdot)\)де\(2 \mathbb{Z}\) - множина парних цілих чисел.
3. \((\mathbb{R},+, \cdot)\).
4. \((\mathbb{Q},+, \cdot)\).
5. \((\mathbb{Z},+, \cdot)\).
6. \((\mathbb{Z}_2,+, \cdot)\).
7. \((\mathbb{Z}_3,+, \cdot)\).
8. \((\mathbb{Z}_4,+, \cdot)\).
9. \((M_2(\mathbb{R}),+, \cdot)\).
10. \((M_2(\mathbb{Z}_n),+, \cdot)\).

Визначення 9.7:

\(R\)Дозволяти кільце з ідентичністю 1. \(a \in R\)Елемент, як кажуть, одиниця,\(R\) якщо є елемент\(b \in R\) такий, що\(ab=ba=1\). Дозволяємо\(U(R)\) позначити множину всіх одиниць\(R\). Якщо таке\(b\) існує, пишемо\(b=a^{-1}\). Ми іноді\(a^{-1}\) називаємо мультиплікативний зворотний\(a\).

Легко помітити,\(R\) що якщо кільце з ідентичністю 1, то\(U(R)\) це група під множення. Його називають групою одиниць\(R\).

Приклад\(\PageIndex{1}\) (The ring \(F[x]\) of polynomials in \(x\) over the field \(F\))

\(F\)Дозволяти бути полем. Многочлен в невизначеному (або змінному)\(x\) над\(F\) - це вираз виду,\[a_0 + a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n\] де коефіцієнти\(a_i\) є елементами поля\(F\) і\(n\) можуть бути будь-якими невід'ємними ціле число. Правила множення і додавання многочленів точно такі, як в алгебрі середньої школи. Єдиним винятком є те, що ми дозволяємо коефіцієнти бути з будь-якого поля\(F\), і коли коефіцієнти додаються або множаться, ми використовуємо бінарні операції в\(F\). Це кільце зазвичай позначається символом\(F[x].\) Для кожного поля\(F\) кільце\(F[x]\) є цілісною областю. Але\(F[x]\) це не поле, оскільки єдиними одиницями\(F[x]\) є ненульові константи, тобто поліноми виду,\(a_0\) де\(a_0\) є ненульовим елементом\(F\).

Завдання 9.3 Знайти групу одиниць кожного з наступних кілець:\(\mathbb{Z}\),\(\mathbb{R}\),\(M_2(\mathbb{R})\),\(\mathbb{Z}_n\).

Визначення 9.8:

Якщо\(R\) це кільце,\(a \in R\) і\(n \in \mathbb{N}\) визначаємо\(a^n\) за такими правилами:

\(a^1 = a\),
\(a^n = aa \cdots a\) (\(n\)копії\(a\)), якщо\(n \ge 2\).

Якщо\(R\) має ідентичність 1 і\(a\) є одиницею, то ми також можемо визначити:
\(a^0 = 1\),
\(a^{-1}\) = мультиплікативний обернений\(a\),
\(a^{-n} = (a^{-1})^n\) for \(n \ge 2\).

Зауважте, що оскільки, як правило, елемент\(a\) кільця не є одиницею, ми не можемо\(a^n\) очікувати, що буде визначено для від'ємних цілих чисел.

Проблема 9.4 Яке найменше кільце? Яке найменше поле?

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Нехай\(R\) буде кільце і нехай\(a\),\(b\),\(c \in R\). Потім слід провести.

1. Якщо\(a+b = a+c\) тоді\(b=c\).
2. Якщо\(a + b = 0\) тоді\(b=-a\).
3. \(-(-a) = a\).
4. \(-(a+b) = (-a) + (-b)\).
5. \(a0=0\)і\(0a=0\).
6. \(a(-b) = (-a)b=-(ab)\).
7. \((-a)(-b) = ab\).
8. \(a(b-c) = ab -ac\).
9. \((b-c)a=ba-ca\).

Задача 9.5 Довести теорему 9.1.

Задача 9.6 Показати, що умова 3 у визначенні інтегральної області може бути замінена наступним законом скасування:

Якщо\(a\),\(b\),\(c \in R\),\(a \neq 0\) і\(ab=ac\) то\(b=c\).

Проблема 9.7 Доведіть, що кожне поле є цілісною областю. Покажіть на прикладі, що зворотне це твердження не відповідає дійсності.

Проблема 9.8 Доведіть, що\(\mathbb{Z}_n\) це поле, якщо і тільки якщо це інтегральна область.

Проблема 9.9 Доведіть, що\(\mathbb{Z}_n\) це поле, якщо і тільки якщо\(n\) є простим.

Визначення 9.9:

Нехай\((R,+,\cdot )\) і\((S, \oplus, \odot )\) буде два кільця. Функція\[f:R \to S\] - це гомоморфізм, якщо для всіх\(a,b \in R\) ми маємо\[\begin{aligned} f(a \cdot b) &=& f(a) \odot f(b) \\ f(a+b) &=& f(a) \oplus f(b).\end{aligned}\]\(f\) If також один до одного і на ми називаємо\(f\) ізоморфізм. У цьому випадку ми говоримо\(R\) і\(S\) ізоморфні і пишемо\(R \cong S\).

Хоча це, як правило, буде зрозуміло з контексту, тепер, коли ми маємо гомоморфізми як для груп, так і для кілець, іноді ми скажемо, що кільцевий гомоморфізм або груповий гомоморфізм є специфічними. Аналогічно і для ізоморфізмів.

Як і у випадку з групами, якщо два кільця ізоморфні, то вони поділяють практично всі цікаві властивості. Наприклад, якщо\(R\) і\(S\) є ізоморфними кільцями,\(R\) то поле, якщо і тільки якщо\(S\) є полем. Нижче ми наведемо нетривіальний приклад двох ізоморфних кілець.

Визначення 9.10:

Підмножина\(S\) кільця, як кажуть,\(R\) є підрядком,\(R\) якщо дотримуються такі умови:

1.

\(0 \in S\).

2.

Якщо\(a \in S\), то\(-a \in S\).

3.

Якщо\(a, b \in S\), то\(a+b \in S\) і\(ab \in S\).

Якщо\(R\) це поле, і наступні умови також дотримуються:

4.

\(1 \in S\).

5.

Якщо\(a \neq 0\) і\(a\in S\), то\(a^{-1} \in S\).

ми говоримо, що\(S\) є підполем\(R\).

Якщо\(S\) є підрядним (підполем) кільця (поля)\(R\), то легко перевірити, що\(S\) це саме кільце (поле) щодо додавання і множення на\(R\). Деякі очевидні приклади такі.

1. \(\mathbb{Z}\)є підрядником\(\mathbb{Q}\) і з\(\mathbb{R}\).
2. \(\mathbb{Q}\)є підполем\(\mathbb{R}\).
3. \(2\mathbb{Z}\)є підрядником\(\mathbb{Z}\).

Проблема 9.10 Доведіть, що немає\(x \in \mathbb{Q}\) такого елемента, що\(x^2 = 2\).

Проблема 9.11 Припустімо, що є позитивний елемент,\(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) такий, що\[(\sqrt{2})^2 =2.\] Визначити наступну\(\mathbb{R}\)\[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{ a+b\sqrt{2} \ | \ a, b \in \mathbb{Q}\}.\] підмножину: Доведіть, що\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) є підполем\(\mathbb{R}\). (Складна частина показує, що всі ненульові елементи є одиницями.)

Проблема 9.12 Нехай\[S = \left \{ \left (\begin{array}{cr} a & b \\ 2b&a \end{array} \right ) \, : \, a,b \in \mathbb{Q}\right \}.\]

1. Показати, що\(S\) є підрядником кільця\(M_2(\mathbb{Q})\).
2. Покажіть, що\(S \cong \mathbb{Q}(\sqrt{2})\).