4: Підгрупи

Відтепер, якщо не вказано інше,$G$ буде позначати групу, бінарна операція якої позначається$a \cdot b$ або просто$ab$ для$a,b \in G$. Ідентичність$G$ буде$e$ позначена а зворотна$a \in G$ буде позначена$a^{-1}$. Іноді, однак, нам може знадобитися обговорити групи, операції яких розглядаються як додавання. У таких випадках пишемо$a + b$ замість$ab$. Також в цьому випадку ідентичність позначається$0$ і$a \in G$ позначається зворотне від$-a$. Визначення та результати, наведені за допомогою мультиплікативних позначень, завжди можуть бути переведені на адитивні позначення, якщо це необхідно.

Визначення 4.1:

$G$Дозволяти бути групою. Підгрупа$G$ - це підмножина$H$,$G$ яка задовольняє наступним трьом умовам:

1. $e \in H.$
2. Якщо$a,b \in H$, то$ab \in H$.
3. Якщо$a \in H$, то$a^{-1} \in H$.

Для зручності ми іноді$H \le G$ пишемо означає, що$H$ є підгрупою$G$.

Завдання 4.1 Переведіть наведене вище визначення в адитивні позначення.

Зауваження

Якщо$H$ є підгрупою$G$, то двійкова операція,$G$ коли обмежена до,$H$ є двійковою операцією на$H$. З визначення можна легко показати, що підгрупа$H$ є групою самостійно по відношенню до цієї двійкової операції. Багато прикладів груп можна отримати таким чином. Насправді, таким чином, ми зробимо точні пізніше, кожна кінцева група може розглядатися як підгрупа однієї з груп$S_n$.

Проблема 4.2 Доведіть,$G$ що якщо якась група, то

1. $\{e \} \le G$.
2. $G \le G$.

Підгрупи$\{e \}$ і$G$, як кажуть, є тривіальними підгрупами$G$.

Проблема 4.3

(a) Визначте, які з наступних підмножин$S_4$ є підгрупами$S_4$.

1. $H=\{ \iota, (1 \ 2), (3 \ 4), (1 \ 2) (3 \ 4) \}$
2. $K=\{ \iota, (1 \ 2 \ 3), ( 1 \ 3 \ 2) \}$
3. $J=\{ \iota, (1 \ 2), (1 \ 2 \ 3) \}$
4. $L=\{\sigma\in S_4 \ | \ \sigma(1) = 1\}$.

(b) Визначте, які з наступних підмножин$\mathbb{Z}_{12}$ є підгрупами$\mathbb{Z}_{12}$. (Тут двійкова операція додавання по модулю 12.)

1. $A=\{ 0, 3, 6, 9, \}$
2. $B=\{ 0, 6 \}$
3. $C=\{0, 1,2,3,4,5 \}$

(c) Визначте, які з наступних підмножин$\mathbb{Z}$ є підгрупами$\mathbb{Z}$. (Тут двійкова операція - додавання.)

1. $U=\{ 5k \ \vert k \ \in \mathbb{Z}\}$
2. $V=\{ 5k + 1 \ \vert \ k \in \mathbb{N}\}$
3. $W=\{ 5k +1 \ \vert \ k \in \mathbb{Z}\}$

Проблема 4.4 $$SL(2,\mathbb{R}) = \{ A \in GL(2,\mathbb{R}) \, \vert \, \det(A) = 1 \}.$$ Дозвольте довести це$SL(2,\mathbb{R}) \le GL(2,\mathbb{R})$.

$SL(2,\mathbb{R})$називається спеціальною лінійною групою ступеня 2 над$\mathbb{R}$

Завдання 4.5 Для$n \in \mathbb{N}$, нехай$A_n$ буде набір всіх парних перестановок в групі$S_n$. Показати, що$A_n$ є підгрупою$S_n$.

$A_n$називається чередується групою ступеня$n$.

Завдання 4.6 Перерахуйте елементи$A_n$ for$n = 1, 2, 3, 4$. Виходячи з цього спробуйте вгадати порядок$A_n$ для$n > 4$.

Визначення 4.2:

$a$Дозволяти бути елементом групи$G$. Якщо існує$n \in \mathbb{N}$ таке, що$a^n = e$ ми говоримо, що$a$ має кінцевий порядок. І ми визначаємо $$\mathrm{o}(a) = \min \{ n \in \mathbb{N} \, | \, a^n=e \}$$ Якщо$a^n \ne e$ для всіх$n \in \mathbb{N}$, ми говоримо, що$a$ має нескінченний порядок, і ми визначити $$\mathrm{o}(a)=\infty.$$ У будь-якому випадку ми$\mathrm{o}(a)$ називаємо порядок$a$.

Уважно зверніть увагу на різницю між порядком групи та порядком елемента групи. Деякі автори погіршують ситуацію, використовуючи однакові позначення для обох понять. Можливо, використовуючи різні позначення, це полегшить розрізнення двох понять.

Якщо$n \ge 2$, довести, що$\mathrm{o}(a)=n$ ми повинні показати, що$a^i \ne e$ для$i=1, 2, \dots, n-1$ і$a^n =e$. Зверніть увагу також, що$a=e$ якщо і тільки якщо$\mathrm{o}(a)=1$. Таким чином, кожен елемент групи, крім$e$ має порядок$n \ge 2$ або$\infty$.

Завдання 4.7 Переведіть наведене вище визначення в адитивні позначення. Тобто визначити порядок елемента групи$G$ з двійковою операцією$+$ та ідентичністю, позначеною 0.

Завдання 4.8 Знайти порядок кожного елемента$S_3$.

Задача 4.9 Знайти порядок$k$ -циклу, коли$k=2,3,4,5$. Вгадайте порядок$k$ -циклу для довільного$k$.

Завдання 4.10 Знайдіть порядок наступних перестановок:

(а)$(1 \ 2) (3 \ 4 \ 5)$

(б)$(1 \ 2) ( 3 \ 4) (5 \ 6 \ 7 \ 8)$

(c)$(1 \ 2) ( 3 \ 4) (5 \ 6 \ 7 \ 8) ( 9 \ 10 \ 11)$

(d) Спробуйте знайти правило для обчислення порядку виробу нероз'єднаних циклів з точки зору розмірів циклів.

Завдання 4.11 Знайти порядок кожного елемента групи$(\mathbb{Z}_6,+)$.

Завдання 4.12 Знайти порядок кожного елемента$GL(2,\mathbb{Z}_2)$. [Нагадаємо, що$GL(2,\mathbb{Z}_2)$ це група всіх$2 \times 2$ матриць з записами в$Z_2$ з ненульовим визначником. Нагадаємо, що$\mathbb{Z}_2 = \{ 0, 1 \}$ і операції множення і додавання по модулю 2.]

Задача 4.13 Знайти порядок елемента 2 в групі$(\mathbb{R}-\{ 0 \},\cdot)$. Чи є елементи скінченного порядку в цій групі?

Визначення 4.3:

$a$Дозволяти бути елементом групи$G$. Визначити $$\langle a \rangle = \{ a^i: i \in \mathbb{Z}\}.$$ Ми$\langle a \rangle$ називаємо підгрупу$G$ згенерованих$a$.

Зауваження

Зверніть увагу, що $$\langle a \rangle = \{ \ldots, a^{-3}, a^{-2}, a^{-1}, a^0, a^1, a^2, a^3, \ldots \}.$$ Зокрема,$a = a^1$ і$e = a^0$ знаходяться в$\langle a \rangle$.

Завдання 4.14 Перевести наведене вище визначення$\langle a \rangle$ і зауваження в адитивні позначення.

Теорема$\PageIndex{1}$

Для кожного$a$ в групі$G$,$\langle a \rangle$ є підгрупа$G$. $\langle a \rangle$містить$a$ і є найменшою підгрупою$G$, що містить$a$. $\blacksquare$

Доказ Як тільки що зазначалося$e=a^0 \in \langle a \rangle$. Нехай$a^n,a^m \in \langle a \rangle$. Оскільки з теореми 2.4$n+m \in \mathbb{Z}$ випливає, що $$a^na^m = a^{n+m} \in \langle a \rangle.$$ також з теореми 2.4$a^n \in \langle a \rangle$, якщо, оскільки$n(-1) = -n$ ми маємо $$(a^n)^{-1} = a^{-n} \in \langle a \rangle.$$ Це доводить, що$\langle a \rangle$ це підгрупа.

Так як$a=a^1$ зрозуміло, що$a \in \langle a \rangle$. Якщо$H$ є якась підгрупа,$G$ що містить$a$, оскільки$H$ закривається під прийом продуктів і прийому інверсів,$a^n \in \langle a \rangle$ для кожного$n \in \mathbb{Z}$. Отже$\langle a \rangle \subseteq H$. Тобто кожна підгрупа,$G$ що містить$a$ також містить$\langle a \rangle$. Це означає, що$\langle a \rangle$ є найменшою підгрупою$G$, що містить$a$.

Теорема$\PageIndex{2}$

$G$Дозволяти бути групою і нехай$a \in G$. Якщо$\mathrm{o}(a)=1$, то$\langle a \rangle = \{e\}$. Якщо$\mathrm{o}(a) = n$ де$n \ge 2$, то $$\langle a \rangle = \{ e, a, a^2, \ldots, a^{n-1} \}$$ і елементи$e, a, a^2, \ldots, a^{n-1}$ відрізняються, тобто $$\mathrm{o}(a) = \vert \langle a \rangle \vert.$$ $\blacksquare$

Доказ Припустимо, що$\mathrm{o}(a) = n$. Справа$n=1$ залишається на розгляд читача. Припустимо$n \ge 2$. Треба довести дві речі.

1. Якщо$i \in \mathbb{Z}$ тоді$a^i \in \{ e, a, a^2, \ldots, a^{n-1} \}$.
2. Елементи$e, a, a^2, \ldots, a^{n-1}$ виразні.

Для встановлення 1 зауважимо, що якщо$i$ є будь-яке ціле число, ми можемо записати його у вигляді$i=nq+r$ де$r \in \{ 0, 1, \dots, n-1 \}$. $q$Ось частка і$r$ є залишком, коли$i$ ділиться на$n$. Тепер, використовуючи теорему [Th2.3] ми маємо $$a^i=a^{nq+r}=a^{nq}a^r=(a^n)^qa^r = e^qa^r=ea^r=a^r.$$ Це доводить 1. Щоб довести 2, припустимо, що$a^i = a^j$ де$0 \le i < j \le n-1$. Звідси випливає, що $$a^{j-i} = a^{j + (-i)} = a^ja^{-i} = a^ia^{-i}=a^0=e.$$ Але$j-i$ є додатним цілим числом менше$n$, тому$a^{j-i} =e$ суперечить тому, що$\textrm{o}(a) =n$. Так що припущення,$0 \le i < j \le n-1$ що$a^i = a^j$ де хибне. Це означає, що 2 тримає. Звідси випливає, що$\langle a \rangle$ містить саме$n$ елементи, тобто$\mathrm{o}(a) = \vert \langle a \rangle \vert.$

Теорема$\PageIndex{3}$

Якщо$G$ є скінченною групою, то кожен елемент$G$ має скінченний порядок. $\blacksquare$

Доказ$a$ Дозволяти бути будь-яким елементом$G$. Розглянемо нескінченний $$a^1, a^2, a^3, \dots, a^i, \dots$$ список елементів в$G$. Оскільки$G$ є кінцевим, всі елементи у списку не можуть відрізнятися. Таким чином, повинні бути позитивні цілі числа$i < j$ такі, що$a^i = a^j$. Оскільки$i < j$,$j-i$ є натуральним числом. Тоді за допомогою теореми 2.4 ми маємо $$a^{j-i} = a^{j + (-i)} = a^ja^{-i} = a^ia^{-i}=a^0=e.$$ Тобто,$a^n = e$ для позитивного цілого числа$n=j-i$. Так$a$ має кінцевий порядок, що і є те, що ми хотіли довести.

Задача 4.15 Для кожного вибору$G$ і кожного заданого$a \in G$ переліку всіх елементів$\langle a \rangle$ підгрупи$G$.

1. $G=S_3$,$a=( 1 \ 2)$.
2. $G=S_3$,$a=( 1 \ 2 \ 3 )$.
3. $G=S_4$,$a= ( 1 \ 2 \ 3 \ 4)$.
4. $G=S_4$,$a=( 1 \ 2)( 3 \ 4)$.
5. $G=\mathbb{Z}$,$a=5$.
6. $G=\mathbb{Z}$,$a=-1$.
7. $G=\mathbb{Z}_{15}$,$a=5$.
8. $G=\mathbb{Z}_{15}$,$a=1$.
9. $G=GL(2,\mathbb{Z}_2)$,$a= \left ( \begin{array} {cc} 1&1\\0&1 \end{array}\right)$.
10. $G=GL(2,\mathbb{R})$,$a= \left ( \begin{array} {cr} 0&-1 \\ 1&0 \end{array}\right)$.

Задача 4.16$a$ Припустимо, що елемент групи і$o(a)= n$. Доведіть, що$a^m = e$ якщо і тільки якщо$n \, \vert \, m$. [Підказка: Алгоритм поділу з Додатка C може бути корисним для доказу в одному напрямку.]