6: Прямі продукти груп

Last updated
Save as PDF

Page ID: 105537

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Нагадаємо, що декартове$X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n$ добуток$n$ множин$X_1, X_2, \dots, X_n$ - це набір всіх упорядкованих$n$$(x_1,x_2, \dots, x_n)$ -кортежів де$x_i \in X_i$ для всіх$i \in \{ 1, 2, \dots, n\}$. Рівність для$n$ -кортежів визначається\[(x_1,x_2, \dots, x_n)=(y_1,y_2, \dots, y_n) \Longleftrightarrow \mbox{ $x_i = y_i$ for all $i \in \{1,2, \dots, n \}$}.\]

Визначення 6.1:

Якщо$G_1, G_2, \dots, G_n$ список$n$ груп, ми$G_1\times G_2 \times \dots \times G_n$ перетворюємо декартовий добуток у групу, визначаючи двійкову операцію\[(a_1,a_2, \dots, a_n) \cdot (b_1, b_2, \dots, b_n) = (a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \dots, a_n \cdot b_n).\] Тут для кожного$i \in \{ 1, 2, \dots, n \}$ добутку$a_i \cdot b_i$ є добутком$a_i$ і $b_i$в групі$G_i$. Ми називаємо цю групу прямим твором груп$G_1, G_2, \dots, G_n$.

Як приклад розглянемо прямий$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$ добуток двох груп$\mathbb{Z}_2$ і$\mathbb{Z}_3$. \[\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 = \{ (0,0), \ (0,1), \ (0,2), \ (1,0), \ (1,1), \ (1,2) \}.\]Ми додаємо по модулю 2 в першій координаті і по модулю 3 у другій координаті. Оскільки двійкова операція в кожному факторі є доповненням, ми використовуємо$+$ для операції в прямому добутку. Так, наприклад, в цій\[(1,1) + (1,1) = (1 + 1, 1 + 1) = (0,2).\] групі Ідентичність чітко$(0,0)$ і, наприклад, зворотна$(1,1)$ є$(1,2)$. Зрозуміло, що це група. Більш загально ми маємо наступний результат.

Теорема$\PageIndex{1}$

Якщо$G_1, G_2, \dots, G_n$ список$n$ груп, прямий продукт,$G=G_1\times G_2 \times \dots \times G_n$ як визначено вище, є групою. Більше того, якщо для кожного$i$,$e_i$ є тотожністю,$G_i$ то$(e_1,e_2, \dots, e_n)$ є тотожністю G, а якщо\[\mathbf{a} = (a_1,a_2, \dots, a_n) \in G\] тоді зворотна з$\mathbf{a}$$a_i^{-1}$ задається\[\mathbf{a}^{-1} = (a_1^{-1},a_2^{-1}, \dots, a_n^{-1})\] де зворотна $a_i$в групі$G_i$. $\blacksquare$

Задача 6.1 Доведіть наведену вище теорему для окремого випадку$n=2$.

Завдання 6.2 Знайдіть порядок кожної з наступних груп. Також дайте ідентичність кожної групи та зворотну лише одному елементу групи, крім ідентичності.

$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$
$\mathbb{Z}_3 \times S_3 \times U_5$
$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_2$
$GL(2,\mathbb{Z}_2) \times \mathbb{Z}_4 \times U_7 \times \mathbb{Z}_2$