5: Група одиниць

Визначення 5.1:

Нехай\(n \ge 2\). \(a \in \mathbb{Z}_n\)Елемент, як кажуть, одиниця, якщо є\(b \in \mathbb{Z}_n\) такий елемент, що\(ab =1\). Тут твір - множення по модулю\(n\). Позначимо набір всіх одиниць в\(\mathbb{Z}_n\) по\(U_n\).

Зверніть увагу, що 2 є одиницею в\(\mathbb{Z}_5\) так\(2 \cdot 3=1\). Оскільки множення є комутативним, 2 і 3 є обома одиницями. Ми говоримо, що 2 і 3 - це зворотні один одного. Але зауважте, що якщо ми пишемо\(2^{-1}=3\), ми повинні мати на\(2^{-1}\) увазі, що під цим контекстом ми не маємо на увазі раціональне число\(1/2\). Наступну теорему легко довести, якщо припустити, що множення по модулю\(n\) асоціативне і комутативне.

Теорема\(\PageIndex{1}\)

\(U_n\)є групою під множенням по модулю\(n\). \(\blacksquare\)

\(U_n\)Називаємо групу одиниць з\(\mathbb{Z}_n\).

Завдання 5.1 Перерахуйте всі елементи\(U_n\) for\(n \in \{ 2,3,4,\dots, 12\}\).

Завдання 5.2 Для чого\(n \in \{ 2,3,4,\dots, 12\}\) існує\(a \in U_n\) такий елемент, що\(U_n = \langle a \rangle\)?

Теорема\(\PageIndex{2}\)

Для\(n\geq 2\),\(U_n = \{ a\in \mathbb{Z}_n: \text{gcd}(a,n)=1\}. \blacksquare\)

Зауваження

Ця теорема встановлена в курсах теорії чисел. У теорії чисел порядок групи досить\(U_n\) важливий, щоб мати власне ім'я та позначення. Порядок\(U_n\) позначається\(\phi(n)\), називається функцією Ейлера тотіента і вимовляється платою n. У теорії чисел доведено, що if\(a\) і\(b\) є додатними цілими числами такими, що\(\gcd(a,b)=1\) потім\(\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)\) і якщо\(p\) є простими, а\(n \in \mathbb{N}\) потім\(\phi(p^n) = p^n - p^{n-1}\). Ці факти дозволяють легко обчислити,\(\phi(n)\) якщо можна писати\(n\) як добуток простих чисел. Але немає відомого простого способу обчислення,\(\phi(n)\) якщо факторизація\(n\) невідома.

Зверніть увагу, що в математиці використовуються чотири різні, але схожі символи:

1. \(\phi\): малий регістр грецька літера phi (вимовляється плата)
2. \(\Phi\): велика грецька літера Phi
3. \(\varphi\): сценарій нижнього регістру грецька буква phi
4. \(\emptyset\): порізаний нуль (не грецький, але датський) і символ для порожнього набору

Задача 5.3 Довести легку частину\ (\ mathbb {Z} _n\)» href=» /книжкові полиці/абстракт_і_геометрич_алгебра/елементарний_абстракт_алгебра_ (Кларк) /01:_глави/1.05_the_group_of_Units #Theorem_ .5C (.5cpageIndex.7b2.7d.5c) "> Теорема 5.2; а саме показати, що якщо\(a \in \mathbb{Z}_n\) і \(\gcd(a,n)=d > 1\), То не\(a\) є одиницею. [Підказка: Показати (1) що\(a \in \mathbb{Z}_n\)\(\gcd(a,n)=d > 1\) if і є\(b \in \mathbb{Z}_n-\{ 0 \}\) такий елемент, що\(ab=0\). (2) Якщо\(b \in \mathbb{Z}_n -\{ 0\}\) і\(ab=0\) тоді не\(a\) є одиницею.]

Теорема\(\PageIndex{3}\)

Якщо\(p\) є простим, то є елемент\(a \in U_p\) такий, що\(U_p = \langle a \rangle\). \(\blacksquare\)

Доказ. Ця теорема доведена на просунутих курсах з теорії чисел або абстрактної алгебри.

Продемонструвати\ (\ mathbb {Z} _n\)» href=» /Книжкові полиці/Абстракт_і_геометрич_алгебра/елементарний_абстракт_алгебра_ (Кларк) /01:_глави/1.05_the_group_of_Units #Theorem_ .5C (.5C Індекс сторінки.7b3.7d.5c) "> Теорема 5.3 для всіх prid мес\(p < 12\).

Зауваження

Відзначимо, що іноді навіть коли\(n\) не прайм виникає\(a \in U_n\) таке, що\(U_n = \langle a \rangle\). Насправді наступна теорема з передової теорії чисел говорить нам, коли саме таке\(a\) існує.

Теорема\(\PageIndex{4}\)

Якщо\(n \ge 2\) потім\(U_n\) містить елемент,\(a\) що\(a\) задовольняє\(U_n = \langle a \rangle\) якщо і тільки якщо має одну з наступних форм: 2, 4\(p^k\), або\(2p^k\) де\(p\) є непарною прайм і\(k \in \mathbb{N}\). \(\blacksquare\)

Так, наприклад, немає такого\(a\) в\(U_n\) якщо\(n = 2^k\) коли\(k \ge 3\), ні для\(n = 12\) або\(15\).