5: Група одиниць

Визначення 5.1:

Нехай$n \ge 2$. $a \in \mathbb{Z}_n$Елемент, як кажуть, одиниця, якщо є$b \in \mathbb{Z}_n$ такий елемент, що$ab =1$. Тут твір - множення по модулю$n$. Позначимо набір всіх одиниць в$\mathbb{Z}_n$ по$U_n$.

Зверніть увагу, що 2 є одиницею в$\mathbb{Z}_5$ так$2 \cdot 3=1$. Оскільки множення є комутативним, 2 і 3 є обома одиницями. Ми говоримо, що 2 і 3 - це зворотні один одного. Але зауважте, що якщо ми пишемо$2^{-1}=3$, ми повинні мати на$2^{-1}$ увазі, що під цим контекстом ми не маємо на увазі раціональне число$1/2$. Наступну теорему легко довести, якщо припустити, що множення по модулю$n$ асоціативне і комутативне.

Теорема$\PageIndex{1}$

$U_n$є групою під множенням по модулю$n$. $\blacksquare$

$U_n$Називаємо групу одиниць з$\mathbb{Z}_n$.

Завдання 5.1 Перерахуйте всі елементи$U_n$ for$n \in \{ 2,3,4,\dots, 12\}$.

Завдання 5.2 Для чого$n \in \{ 2,3,4,\dots, 12\}$ існує$a \in U_n$ такий елемент, що$U_n = \langle a \rangle$?

Теорема$\PageIndex{2}$

Для$n\geq 2$,$U_n = \{ a\in \mathbb{Z}_n: \text{gcd}(a,n)=1\}. \blacksquare$

Зауваження

Ця теорема встановлена в курсах теорії чисел. У теорії чисел порядок групи досить$U_n$ важливий, щоб мати власне ім'я та позначення. Порядок$U_n$ позначається$\phi(n)$, називається функцією Ейлера тотіента і вимовляється платою n. У теорії чисел доведено, що if$a$ і$b$ є додатними цілими числами такими, що$\gcd(a,b)=1$ потім$\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$ і якщо$p$ є простими, а$n \in \mathbb{N}$ потім$\phi(p^n) = p^n - p^{n-1}$. Ці факти дозволяють легко обчислити,$\phi(n)$ якщо можна писати$n$ як добуток простих чисел. Але немає відомого простого способу обчислення,$\phi(n)$ якщо факторизація$n$ невідома.

Зверніть увагу, що в математиці використовуються чотири різні, але схожі символи:

1. $\phi$: малий регістр грецька літера phi (вимовляється плата)
2. $\Phi$: велика грецька літера Phi
3. $\varphi$: сценарій нижнього регістру грецька буква phi
4. $\emptyset$: порізаний нуль (не грецький, але датський) і символ для порожнього набору

Задача 5.3 Довести легку частину\ (\ mathbb {Z} _n\)» href=» /книжкові полиці/абстракт_і_геометрич_алгебра/елементарний_абстракт_алгебра_ (Кларк) /01:_глави/1.05_the_group_of_Units #Theorem_ .5C (.5cpageIndex.7b2.7d.5c) "> Теорема 5.2; а саме показати, що якщо$a \in \mathbb{Z}_n$ і $\gcd(a,n)=d > 1$, То не$a$ є одиницею. [Підказка: Показати (1) що$a \in \mathbb{Z}_n$$\gcd(a,n)=d > 1$ if і є$b \in \mathbb{Z}_n-\{ 0 \}$ такий елемент, що$ab=0$. (2) Якщо$b \in \mathbb{Z}_n -\{ 0\}$ і$ab=0$ тоді не$a$ є одиницею.]

Теорема$\PageIndex{3}$

Якщо$p$ є простим, то є елемент$a \in U_p$ такий, що$U_p = \langle a \rangle$. $\blacksquare$

Доказ. Ця теорема доведена на просунутих курсах з теорії чисел або абстрактної алгебри.

Продемонструвати\ (\ mathbb {Z} _n\)» href=» /Книжкові полиці/Абстракт_і_геометрич_алгебра/елементарний_абстракт_алгебра_ (Кларк) /01:_глави/1.05_the_group_of_Units #Theorem_ .5C (.5C Індекс сторінки.7b3.7d.5c) "> Теорема 5.3 для всіх prid мес$p < 12$.

Зауваження

Відзначимо, що іноді навіть коли$n$ не прайм виникає$a \in U_n$ таке, що$U_n = \langle a \rangle$. Насправді наступна теорема з передової теорії чисел говорить нам, коли саме таке$a$ існує.

Теорема$\PageIndex{4}$

Якщо$n \ge 2$ потім$U_n$ містить елемент,$a$ що$a$ задовольняє$U_n = \langle a \rangle$ якщо і тільки якщо має одну з наступних форм: 2, 4$p^k$, або$2p^k$ де$p$ є непарною прайм і$k \in \mathbb{N}$. $\blacksquare$

Так, наприклад, немає такого$a$ в$U_n$ якщо$n = 2^k$ коли$k \ge 3$, ні для$n = 12$ або$15$.