B: Функції

Тут ми збираємо кілька основних фактів про функції. Зверніть увагу, що слова function, map, mapping і transformation можуть бути використані як взаємозамінні. Тут ми просто використовуємо термін функція. Ми залишаємо докази всіх результатів у цьому додатку зацікавленому читачеві.

Визначення B.1:

Функція$f$ від множини$A$ до$B$ множини - це правило, яке присвоює кожному елементу$a \in A$ елемент$f(a) \in B$ таким чином, що для всіх дотримується наступна умова$x,y \in A$:

$$\label{Def_function} x=y \Longrightarrow f(x) =f(y).$$ Щоб вказати, що$f$ це функція від$A$ до$B$ ми пишемо$f:A\to B$. Набір$A$ називається доменом,$f$ а множина$B$ називається кодоменом$f$.

Якщо умови визначення B.1 дотримуються, прийнято говорити, що функція чітко визначена. Часто ми говоримо про «функції$f$», але строго кажучи домен і кодомен є невід'ємними частинами визначення, тому це скорочення від «функції»$f: A \to B$.

Для опису функції необхідно вказати домен (множина) та кодомен (інший набір) та вказати його вплив на типовий елемент (змінну) у своїй області.

Коли функція визначена, їй часто дається така назва, як$f$ або$\sigma$. Таким чином, ми говоримо про функції $f$або функції $\sigma$. Якщо$x$ знаходиться в області,$f$ то$f(x)$ є елементом у кодомені$f$, що$f$ присвоює$x$. Ми іноді пишемо$x \mapsto f(x)$, щоб вказати, що$f$$x$ посилає $f(x)$.

Ми також можемо використовувати заборонену стрілку для визначення функції, не даючи їй імені. Наприклад, ми можемо говорити про функцію$x \mapsto x^2+2x+4$ від$\mathbb{R}$ до$\mathbb{R}$. Крім того, можна визначити ту саму функцію наступним чином: Нехай$h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ буде визначено правилом$h(x) = x^2+2x+4$ для всіх$x \in \mathbb{R}$.

Зверніть увагу, що правильно сказати функцію $\sin$або функцію $x\mapsto \sin(x)$. Але не правильно говорити функцію $\sin(x)$.

Стрілки: Послідовно виділяємо наступні види стрілок:

$\to$Як в$f: A\to B$.
$\mapsto$Як і в$x \mapsto x^2+3x+4$
$\Longrightarrow$ Засіб
$\Longleftrightarrow$означає, що засіб еквівалентно

Деякі люди використовують$\rightsquigarrow$ замість Часто$\mapsto$
важливо знати, коли дві функції рівні. Потім потрібно наступне визначення.

Визначення B.2:

Нехай$f:A \to B$ і$g:C \to D$. Пишемо$f=g$ якщо і тільки якщо

$$\mbox{$A=C$, $B=D$ and $f(a)=g(a)$ for all $a \in A$.}$$

Визначення B.3:

Функція$f:A \to B$ називається один-на-один, якщо для всіх дотримується наступна умова$x,y \in A$: $$\label{Def_1-1} f(x) = f(y) \Longrightarrow x=y.$$

Уважно зверніть увагу на різницю та схожість між (B.1) та (B.2).

Визначення B.4:

Функція, як кажуть,$f:A \to B$ знаходиться на, якщо виконується наступна умова: $$\mbox{For every $b \in B$ there is an element $a \in A$ such that $f(a)=b$.}$$

Деякі математики використовують ін'єкційні замість один-до-одного, суб'єктивні замість onto, і біективні для один-до-одного і ono. Якщо$f:A \to B$ є$f$ біективним іноді кажуть, що це біекція або відповідність один до одного між$A$ і$B$.

Визначення B.5:

Для будь-якої$A$ множини ми визначаємо функцію$\iota_A : A \to A$ за правилом $$\mbox{$\iota_A(x) = x$ for all $x \in A$.}$$ Ми$\iota_A$ викликаємо функцію identity on$A$. Якщо$A$ розуміється, пишемо просто$\iota$ замість$\iota_A$.

Деякі люди пишуть$1_A$ замість того$\iota_A$, щоб вказувати функцію ідентичності на$A$.

Проблема B.1 Доведіть,$\iota_A: A \to A$ що один до одного і на.

Теорема$\PageIndex{1}$

Якщо$f:A\to B$ і$g:B \to C$ тоді правило $$\mbox{$gf(a) = g(f(a))$ for all $a \in A$}$$ визначає функцію$g f:A \to C$. Ця функція називається складом$g$ і$f$.

Деякі пишуть$g \circ f$ замість$gf$, але ми цього робити не будемо.

Теорема$\PageIndex{2}$

Якщо$f:A\to B$ один до одного і ont, то правило $$\mbox{for every $b \in B$ define $f^{-1}(b) = a$ if and only if $f(a)=b$,}$$ визначає функцію$f^{-1}:B \to A$. $f^{-1}$Функція сама по собі один-на-один і на і задовольняє $$\mbox{$ff^{-1}=\iota_B $ and $f^{-1}f=\iota_A$.}$$

Функція,$f^{-1}$ визначена у вищезгаданій теоремі, називається оберненою$f$.

Теорема$\PageIndex{3}$

Нехай$f:A\to B$ і$g:B \to C$.

1. Якщо$f$ і$g$ є один до одного$gf: A \to C$, то один до одного.
2. Якщо$f$ і$g$ знаходяться на то$gf: A \to C$ знаходиться на.
3. Якщо$f$ і$g$ є один до одного і на,$gf: A \to C$ то також один до одного і на.