7: Ізоморфізм груп

Дві групи можуть виглядати по-різному, але бути по суті однаковими. Це поняття однаковості формалізується в математиці поняттям ізоморфізму (від грецького: isos означає те ж саме і morphe значення форми). Перш ніж дати точне визначення ізоморфізму, давайте розглянемо деякі невеликі групи і подивимося, чи можемо ми побачити, чи відповідають вони нашому інтуїтивному поняттю однаковості.

Проблема 7.1 Пройдіть приклади груп, які ми розглянули до цього часу, і складіть список усіх, хто має замовлення$\le 12$. Перерахуйте їх відповідно до їх розпоряджень. Наприклад, наступні групи мають порядок 6: $$GL(2,\mathbb{Z}_2),\quad \mathbb{Z}_6, \quad S_3, \quad U_7, \quad U_9, \quad \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3.$$ Складіть аналогічний список для всіх цілих чисел від 1 до 12.

Визначення 7.1:

Нехай$G = \{ g_1, g_2, \dots, g_n \}$. Нехай$o(g_i) = k_i$ для$i = 1, 2, \dots, n$. Ми говоримо, що послідовність$(k_1, k_2, \dots, k_m)$ є порядковою послідовністю групи$G$. Щоб зробити послідовність унікальною, ми припускаємо, що елементи впорядковані так$k_1 \le k_2 \le \dots \le k_n$.

Наприклад, послідовність порядку$S_3$ є$(1,2,2,2,3,3)$.

Завдання 7.2 Розглянемо наступний перелік властивостей, які можуть бути використані для розрізнення груп.

1. Порядок групи.
2. Порядок послідовності групи.
3. Незалежно від того, чи є група абелінової чи ні.

Подивіться уважно на групи в списку, який ви склали для попередньої проблеми, і подивіться, які можуть відрізнятися одним або декількома з трьох перерахованих властивостей.

Визначення 7.2:

$(H,\bullet)$Дозволяти$(G,*)$ і бути групами. $f:G \to H$Функція, як кажуть, є гомоморфізмом від$G$ до$H$ якщо $$f(a*b) =f(a) \bullet f(b)$$ для всіх$a,b \in G$. Якщо крім того,$f$ один до одного і на$f$, як кажуть, ізоморфізм від$G$ до$H$.

Ми говоримо, що$G$ і$H$ є ізоморфними тоді і тільки тоді, коли є ізоморфізм від$G$ до$H$. Пишемо,$G \cong H$ щоб вказати, що$G$ є ізоморфним до$H$.

Приклади 7.1 Деякі знайомі приклади гомоморфізмів та ізоморфізмів:

1. $\det: GL(2,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}-\{0 \}$це гомоморфізм, оскільки $$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$ для всіх$A,B \in GL(2,\mathbb{R})$.
2. $\textrm{sign}: S_n \to \{1,-1 \}$це гомоморфізм, оскільки $$\textrm{sign}(\sigma\tau) = \textrm{sign}(\sigma)\textrm{sign}(\tau)$$ для всіх$\sigma, \tau \in S_n$.
3. $\log: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$, де$\mathbb{R}^+$ позначає позитивні дійсні числа і операції відповідно множення і додавання, є ізоморфізмом, так як з обчислення ми знаємо, що$\log$ один до одного і на і $$\log(xy) = \log(x) + \log(y)$$ для всіх позитивних дійсних чисел $x$і$y$. [Тут$\log(x) = \ln(x)$.]
4. $\exp: \mathbb{R}\to \mathbb{R}^+$, де$\mathbb{R}^+$ позначає позитивні дійсні числа і операції відповідно додавання і множення, є ізоморфізмом, так як з обчислення ми знаємо, що$\exp$ один до одного і на і $$\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)$$ для всіх дійсних чисел$x$ і$y$. Зверніть увагу, що$\exp(x)$ є альтернативним позначенням для$e^x$.

Останні два приклади показують, що група позитивних дійсних чисел при множенні ізоморфна до групи всіх дійсних чисел, що додаються.

Теорема$\PageIndex{1}$ (Isomorphism is an Equavalence Relation)

Якщо$G$,$H$ і$K$ є групами, то

1. $G \cong G$,
2. Якщо$G \cong H$ тоді$H \cong G$, і
3. Якщо$G \cong H$ і$H \cong K$, то$G \cong K$.

Задача 7.3 Довести теорему 7.1.

Задача 7.4 Доведіть, що кожна група порядку 1 ізоморфна до групи$U_2$.

Завдання 7.5 Доведіть, що кожна група порядку 2 ізоморфна до групи$\mathbb{Z}_2$.

Задача 7.6 Доведіть, що кожна група порядку 3 ізоморфна до групи$\mathbb{Z}_3$.

Задача 7.7 Доведіть, що якщо$G$ і$H$ є ізоморфними групами, то$|G| = |H|$.

Проблема 7.8 Доведіть, що якщо$G$ і$H$ є групами, то$G \times H \cong H \times G$.

Теорема$\PageIndex{2}$

$(G,*)$$(H,\bullet)$Дозволяти і бути групами і нехай$f:G \to H$ бути гомоморфізмом. Нехай$e_G$ позначають особистість$G$ і,$e_H$ позначають особистість$H$. Тоді

1. $f(e_G) = e_H$,
2. $f(a^{-1}) = f(a)^{-1}$, і
3. $f(a^n) = f(a)^n$для всіх$n \in \mathbb{Z}$.

Задача 7.9 Доведіть частини 1 і 2 теореми 7.2.

Задача 7.10 Довести частину 3 теореми 7.2 для$n=2,-2,3,-3$.

Загальний випадок теореми 7.2 може бути доведений індукцією на$n$. До цього ми повернемося пізніше.

Задача 7.11 Повторювати теорему 7.2 (a) у випадку, коли обидва$G$ і$H$ використовують адитивні позначення, (b) у випадку, коли$G$ використовує адитивні позначення та$H$ використовує мультиплікативні позначення, і (c) у випадку де$G$ використовує мультиплікативні позначення і$H$ використовує адитивні позначення.

Теорема$\PageIndex{3}$

$(G,*)$$(H,\bullet)$Дозволяти і бути групами і нехай$f:G \to H$ буде ізоморфізм. Тоді$\mathrm{o}(a) = \mathrm{o}(f(a))$ для всіх$a \in G$. Звідси випливає, що$G$ і$H$ мають однакову кількість елементів кожного можливого порядку.

Задача 7.12 Довести теорему 7.3. Підказка: Використовуйте теорему 2.

Теорема$\PageIndex{4}$

Якщо$G$ і$H$ є ізоморфними групами, і$G$ є абелевою, то так і є$H$.

Задача 7.13 Довести теорему 7.4.

Визначення 7.3:

Група$G$ циклічна, якщо є елемент$a \in G$ такий, що$\langle a \rangle = G$. Якщо$\langle a \rangle = G$ тоді ми говоримо, що$a$ це генератор для$G$.

Завдання 7.14 Знайдіть приклад циклічної групи, яка має більше одного генератора.

Теорема$\PageIndex{5}$

Якщо$G$ і$H$ є ізоморфними групами і$G$ є циклічними,$H$ то циклічні.

Задача 7.15 Довести теорему 7.5.

Завдання 7.16 Визначте, які з наведених нижче груп є циклічними, а які не циклічними.

1. $\mathbb{Z}$під звичайне додавання.
2. $\mathbb{Z}_n$під додаванням по модулю$n$.
3. $U_n$для$n \le 12$.
4. $S_3$.
5. $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$.
6. $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$.
7. $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5$.
8. $A_3$.
9. $S_4$.
10. $GL(2,\mathbb{Z}_2)$.

Задача 7.17 [Проблема виклику] Доведіть, що якщо$G$ є скінченною циклічною групою порядку,$n$ то$G$ має$\phi(n)$ генератори. Підказка: Нехай$G = \langle a \rangle$. Показувати ніж елемент$b = a^i \in G$ є генератором$G$ if і тільки якщо$\gcd(i,n) = 1$.

Теорема$\PageIndex{6}$

$a$Дозволяти бути елементом групи$G$.

1. Якщо$o(a) = \infty$ тоді$\langle a \rangle \cong \mathbb{Z}$.
2. Якщо$o(a) = n \in \mathbb{N}$ тоді$\langle a \rangle \cong \mathbb{Z}_n$.

Доказ 1: Припустимо, що$o(a) = \infty$. Визначте функцію$\varphi : \mathbb{Z} \to \langle a \rangle$ за правилом$\varphi(n) = a^n$ для$n \in \mathbb{Z}$. $\varphi$знаходиться на за визначенням$\langle a \rangle$. Щоб довести,$\varphi$ що один до одного нехай$\varphi(n) = \varphi(m)$ для деяких$n,m \in \mathbb{Z}$. Потім$a^n = a^m$. Якщо$n \neq m$ за симетрією можна припустити$n < m$. Тоді $$e = a^0 = a^{n - n} = a^na^{-n} = a^ma^{-n} = a^{m-n}.$$ Але$n < m$ так$m-n \in \mathbb{N}$. Це суперечить припущенню, що$o(a) = \infty$. Так що ми повинні мати$n = m$. Це показує, що$\varphi$ це один до одного. Так як $$\varphi(n+m) = a^{n+m} = a^na^m = \varphi(n) \varphi(m)$$ $\varphi$ це гомоморфізм і з цього випливає, що$\varphi$ це ізоморфізм. Звідси$\mathbb{Z}\cong \langle a \rangle$. За теоремою 7.1$\langle a \rangle \cong \mathbb{Z}$.

Доказ 2: Припустимо, що$o(a) = n \in \mathbb{N}$. Для нашого доказу нам потрібно ввести наступні позначення з Додатка C.

Визначення 7.4:

Нехай$n \in \mathbb{N}$. Для кожного$a \in \mathbb{Z}$ алгоритму поділу є унікальні цілі числа$q$ і$r$ задовольняють $$a = nq + r \mbox{ \qquad and \qquad } 0 \le r < n.$$ Ми позначимо$r$ по$a \bmod n$. Тобто залишок,$a \bmod n$ коли$a$ ділиться на$n$.

Тепер, використовуючи це, ми можемо точно визначити додавання$n$ по модулю за правилом: $$a \oplus b = (a+b) \bmod n.$$ Зверніть увагу, що тут ми пишемо$a + b$ для додавання в$\mathbb{Z}$ і$a \oplus b$ для додавання в$\mathbb{Z}_n$. Отже, якщо бути точним,$\mathbb{Z}_n$ ми маємо на увазі групу$(\mathbb{Z}_n,\oplus)$.

Нагадаємо, що$\mathbb{Z}_n = \{0,1,2,\dots, n-1\}$. З іншого боку по теоремі 4.2, оскільки$o(a) = n$ ми маємо $$\langle a \rangle = \{ a^0, a^1, \dots , a^{n-1} \}.$$ Отже, відображення,$\varphi:\mathbb{Z}_n \to \langle a \rangle$ визначене правилом$\varphi(i) = a^i$ для$i = 0, 1, 2, \dots , n-1$, явно один-на-один і на. Залишається показати, що$\varphi$ це гомоморфізм. Щоб довести цю примітку спочатку це$i \oplus j= r$ означає, що$i+j = qn + r$ де$0 \le r \le n-1.$ зараз ми маємо $$\begin{aligned} \varphi(i\oplus j) &=& \varphi(r) = a^r = a^{i+j-qn} = a^ia^ja^{-qn} = a^ia^j(a^n)^{-q} \\ &=& a^ia^je^{-q} = a^ia^je = a^ia^j = \varphi(i)\varphi(j).\end{aligned}$$ Отже$\varphi(i \oplus j) = \varphi(i)\varphi(j)$. Тобто,$\varphi$ це гомоморфізм. Оскільки він також один до одного і на ньому - ізоморфізм. Звідси$\mathbb{Z}_n \cong \langle a \rangle$ і за теоремою 7.1$\langle a \rangle \cong \mathbb{Z}_n$. $\blacksquare$

Завдання 7.18 Доведіть,$G$ що якщо циклічна група,$G$ то ізоморфна до$\mathbb{Z}$ або$\mathbb{Z}_n$.

Вищесказане показує, що група, згенерована одним елементом, легко описується. Як щодо груп, які не генеруються одним елементом, але «генеруються» двома (або більше елементами)? Наступна вправа вводить позначення, щоб зробити точні такі питання.

Задача 7.19 [Проблема виклику] Дозвольте$G$ бути групою і нехай$S \subset G$. Визначте,$\langle S \rangle$ щоб бути підмножиною,$G$ чиї елементи мають вигляд$s_1^{\epsilon_1}s_2^{\epsilon_2} \cdots s_n^{\epsilon_n}$ де$n \in \mathbb{N}$,$s_i \in S$ і$\epsilon_i = \pm1$ для$i = 1, 2, \dots , n$. Довести

1. $\langle S \rangle$є підгрупою$G$.
2. $\langle S \rangle$є найменшою підгрупою,$G$ що містить$S$, тобто якщо$K$ є підгрупою,$G$ а$S \subset K$ потім$\langle S \rangle \subset K$.
3. Покажіть,$n \ge 3$ що для групи$S_n$ не циклічна, а$S_n = \langle \{\tau,\sigma\} \rangle$ де$\tau = ( 1 \; 2 )$ і$\sigma = ( 1 \, 2 \, \cdots \, n)$.

Зверніть увагу, що наведена вище проблема показує$S_n$, що$n \ge 3$, хоча, не є циклічною, вона генерується двома елементами. Однак, на відміну від циклічних груп, можна сказати дуже мало про групи, породжені двома елементами.

Можливо, вас зацікавить цікавий факт (вперше виявлений Філіпом Холом), що$(A_5)^{19}$ (тобто прямий твір 19 копій змінної групи 5 ступеня) може бути сформований двома елементами, але$(A_5)^{20}$ не може. З іншого боку, група$(\mathbb{Z}_2)^n$, тобто прямий добуток$n$ копій$\mathbb{Z}_2$, вимагає мінімум$n$ генераторів для кожного натурального цілого числа$n$.

Викладемо без доказів наступну теорему. Доказ можна знайти в будь-якому з посилань.

Теорема$\PageIndex{7}$

Якщо$G$ є кінцевою групою порядку$n$, то існує підгрупа$H$$S_n$ такого, що$G \cong H$. $\blacksquare$

Це робить точною ідею, що кожна скінченна група «міститься»$S_n$ для деякого натурального цілого числа$n$. Наприклад, група$U_8=\{ 1,3,5,7 \}$ ізоморфна до $$H = \{ \iota, (1 \ 2), (3 \ 4), (1 \ 2)(3 \ 4) \}$$ підгрупи$S_4$. Зверніть увагу, що група порядку цілком$k$ може бути ізоморфною до підгрупи$S_n$ де$n < k$.

Задача 7.20 Знайдіть групу порядку 120, яка є іморфною до підгрупи$S_n$ де$n < 120$.