Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

D: Розділи та відносини еквівалентності

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    105494

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Визначення D.1:

    Розділ множини\(X\) - це\(\mathcal{P}\) сукупність попарно непорожніх підмножин, об'єднання\(X\) яких є\(X\). Елементи\(\mathcal{P}\) називаються блоками перегородки.

    Наприклад, якщо\(X=[9]= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) тоді\[\mathcal{P}=\{ \{1,2\},\{3\},\{5,8,9\}, \{4,6,7\} \}\] є перегородкою\(X\). Зверніть увагу, що цей розділ має чотири блоки\(\{1,2\}\)\(\{3\}\),,\(\{5,8,9\}\), і\(\{4,6,7\}\).

    Примітка: У визначенні розділу ми використовували термін колекція. Це просто інша назва набору. Просто природніше сказати колекцію наборів, ніж сказати набір наборів. Так насправді, розділ множина, чиї елементи самі набори, які ми вибираємо для виклику блоків - задовольняючи три властивості:\(X\)

    1. Кожен блок є непорожньою підмножиною\(X\).
    2. Немає двох різних блоків не мають спільного елемента.
    3. Кожен елемент\(X\) лежить хоча б в одному блоці.

    Проблема D.1 Знайти всі розділи множини\([4]\). Перерахуйте їх відповідно до номерів блоків у кожному розділі. Кількість блоків може бути будь-яким цілим числом від 1 до 4.

    Задача Д.2 Знайти розділ\(\mathcal{P}_k\) множини\(\mathbb{Z}\), який має точно\(k\) блоки для кожного з наступних значень\(k\): 1,2,3,4,5,10.

    Визначення D.2:

    (двійкове) відношення на множині\(X\) є підмножиною\(\rho\) декартового добутку\(X \times X\). Якщо\((a,b) \in R\) ми пишемо\(a \rho b\) і говоримо, що\(a\) пов'язано\(b\) з стосовно відношення\(R\).

    Оскільки ми будемо стосуватися лише двійкових відносин, ми залишимо модифікатор binary. Приклади відносин є\(<\) і\(\le\) на множині\(\mathbb{R}\),\(=\) на будь-якому множині, і\(\cong\) на класі всіх груп. Замість того, щоб використовувати\(\rho\) для загального відношення, ми використовуємо символ\(\sim\).

    Визначення D.3:

    \(\sim\)Відношення на множині\(X\) - це відношення еквівалентності,\(X\) якщо наступні властивості утримуються для всіх\(x,y,z \in X\).

    1. \(x \sim x\).
    2. Якщо\(x \sim y\) тоді\(y \sim x\).
    3. Якщо\(x \sim y\) і\(y \sim z\) тоді\(x \sim z\).

    Властивості в наведеному вище визначенні називаються рефлексивністю, симетрією, перехідністю відповідно.

    Найпоширенішим співвідношенням еквівалентності є рівність. Рівність - це відношення еквівалентності на будь-якому множині.

    Визначення D.4:

    Якщо\(\sim\) є відношення еквівалентності на множині\(X\), а\(a \in X\) ми визначаємо\[[a] = \{ x \in X \ | \ x \sim a \}.\]\([a]\) множину називається класом еквівалентності\(a\) відносно відношення еквівалентності \(\sim\).

    Теорема\(\PageIndex{1}\)

    Якщо\(\sim\) є будь-яке відношення еквівалентності на множині,\(X\) то колекція всіх класів еквівалентності є розділом\(X\). І навпаки, враховуючи будь-який розділ\(\mathcal{P}\) множини\(X\), можна визначити відношення еквівалентності\(\sim\)\(X\) за правилом, і\[a \sim b \Longleftrightarrow a,b \in B \mbox{ for some block $B \in \mathcal{P}$}\] в цьому випадку класи еквівалентності\(\sim\) є саме блоками перегородка\(\mathcal{P}\).