11: Кватерніони

Кватерніони були винайдені сером Вільямом Роуеном Гамільтоном приблизно в 1850 році. Гамільтон, мабуть, першим зазначив, що комплексні числа можна розглядати як спосіб множення точок на площині. Тоді він мав ідею спробувати знайти спосіб помножити точки,$\mathbb{R}^3$ щоб польові аксіоми були задоволені. Він не зміг цього зробити, але нарешті знайшов спосіб визначити множення на$\mathbb{R}^4$ так, щоб множення разом зі звичайним векторним додаванням елементів$\mathbb{R}^4$ задовольняло б всі польові аксіоми, крім комутативності множення. Він назвав ці нові об'єкти кватерніонами. Вони виявилися, як і складні числа, мають безліч застосувань в техніці та фізиці. Ця «система числення» позначається$\mathbb{H}$ для Гамільтона, оскільки вже$\mathbb{Q}$ прийнято позначати раціональні числа.

Визначення 11.1:

Кільце кватерніонів - це кільце,$(\mathbb{H},+,\cdot)$ де

$$\mathbb{H} = \mathbb{R}^4 = \{ (a,b,c,d) \ | \ a,b,c,d \in \mathbb{R}\}$$ $+$ і де і$\cdot$ визначаються правилами: $$\begin{aligned} (x,y,z,w) + (a,b,c,d) &=& (x+a,y+b,z+c,w+d) \\ (x,y,z,w) \cdot (a,b,c,d) &=& (xa - yb -zc-wd, \\ & &xb+ya+zd-wc,\\ & &xc-yd+za+wb,\\ & &xd+yc-zb+wa)\end{aligned}$$ де$x,y,z,w,a,b,c,d \in \mathbb{R}$. Додавання і множення всередині 4-кортежі праворуч представляють додавання і множення в$\mathbb{R}$.

Заявлені таким чином правила множення важко запам'ятати. Існує простіший спосіб описати їх:

$$\begin{aligned} 1&=&(1,0,0,0) \\ i&=&(0,1,0,0)\\ j&=&(0,0,1,0)\\ k&=&(0,0,0,1)\end{aligned}$$ Зауважте, що тут ми трохи ліниві, дозволяючи 1 стояти як для вектора, так$(1,0,0,0)$ і для дійсного числа 1. Множина$\{1,i,j,k\}$ - це те, що називається в лінійній алгебрі основою для$\mathbb{R}^4$. Це означає, що якщо ми визначимо для$a \in \mathbb{R}$ і$(x,y,z,w) \in \mathbb{R}^4$ скалярний за векторним $$a(x,y,z,w)=(ax,ay,az,aw),$$ добутком, кватерніон$q=(x,y,z,w)$ може бути записаний однозначно у формі $$q=x1+yi+zj+wk.$$ Тепер, якщо ми скорочуємо$x=x1$, кватерніон набуває вигляду. $$q= x+yi+zj+wk.$$ Доповнення тепер стає $$(x+yi+zj+wk) + (a+bi+cj+dk) = (x+a) +(y+b)i+(z+c)j+(w+d)k.$$ Продуктами базових елементів$1,i,j,k$ визначаються наступним чином: $$1q=q1=q \mbox{ for all } q \in \mathbb{H},$$ $$i^2=j^2=k^2=-1,$$ $$ij=-ji=k,$$ $$jk=-kj=i,$$ $$ki=-ik=j.$$ Використовуючи ці правила, розподільний закон, і той факт, що якщо$q_1$ і$q_2$ є кватерніонів і$a \in \mathbb{R}$ потім $$a(q_1q_2) = (aq_1)q_2 = q_1(aq_2),$$ легко обчислює добуток двох кватерніонів$q_1 =x+yi+zj+wk$ і$q_2=a+bi+cj+dk$.

Завдання 11.1 Використовуйте вищевказані правила для розрахунку$q_1q_2$ добутку кватерніонів$q_1=1+i+2j+3k$ і$q_2=1-i-2j-3k$. Напишіть товар в стандартному вигляді$a+bi+cj+dk$, де$a,b,c,d \in \mathbb{R}$.

Завдання 11.2 Показати, що$(1,0,0,0)$ діє як ідентичність для$\mathbb{H}$ і$\mathbb{H}$ це не комутативне кільце.

Завдання 11.3 Показати, що кватерніон$q =x+yi+zj+wk$ має зворотну, задану,$q^* =c(x-yi-zj-wk)$ де це$c = 1/(x^2+y^2+z^2+w^2)$ передбачено$q \ne 0$. Ось$0 = (0,0,0,0)$.

Завдання 11.4 Покажіть, що є нескінченно багато кватерніонів, що$q$ задовольняють$q^2=-1$. Підказка: розглянемо кватерніони форми$q=xi+yj+zk$.

Задача 11.5 Показати, що 8 елементів,

$$Q = \{ 1, -1, i, -i, j, -j, k,-k \}$$ встановлених при множенні кватерніону, є групою. Це одна з п'яти неізоморфних груп порядку 8. Називається вона, природно, кватерніонной групою.

Визначення 11.2

Кільце, яке задовольняє всі польові аксіоми, за винятком, можливо, комутативності множення, називається кільцем ділення.

Зауважте, що кільце ділення може бути визначено як кільце, ненульові елементи якого утворюють групу, що підлягає множенню. Всі поля є кільцями поділу. Комутативне кільце, яке є кільцем поділу, є полем.

Теорема$\PageIndex{1}$

$\mathbb{H}$являє собою ділильне кільце.

Доказ. З лінійної алгебри ми вже знаємо, що векторне додавання на$\mathbb{R}^4$ є абелевою групою. З наведених вище проблем ми знаємо, що$\mathbb{H}$ має ідентичність і кожен ненульовий елемент має зворотний. Залишається тільки довести асоціативність для множення і два розподільних закони. Докази цих властивостей прості, і ми залишаємо їх для зацікавленого читача.

Кільце кватерніонів - один з рідкісних прикладів некомутативного ділення кільця. Наступна теорема показує, чому Гамільтон мав труднощі з пошуком ділення кільця, основна множина якого є$\mathbb{R}^3$. $\blacksquare$

Теорема$\PageIndex{2}$ (Frobenius)

$D$Дозволяти ділення кільце, яке є алгебраїчним над$\mathbb{R}$. Тоді$D$ ізоморфний до$\mathbb{R}$$\mathbb{C}$, або$\mathbb{H}$. $\blacksquare$

Див. Розділ 7, щоб побачити, що означає бути алгебраїчним$\mathbb{R}$ і як довести цю теорему. Цей результат означає, що не існує «приємного» способу визначення множення,$\mathbb{R}^n$ щоб воно стало кільцем ділення, якщо тільки$n \in \{1,2,4\}$. Є багато цікавих і корисних способів зробити$\mathbb{R}^n$ кільце, яке не є діленням кільця для інших значень$n$. Однак ми не встигаємо вдаватися в ці справи.

Проблема 11.6 Визначити

$$\mathcal{H} = \left \{ \left ( \begin{array}{cr} z & -\overline{w} \\ w&\overline{z} \end{array} \right ) \ | \ z,w \in \mathbb{C} \right \}.$$

1. Доведіть, що$\mathcal{H}$ це підрядний кільце кільця$M_2(\mathbb{C})$.
2. Доведіть, що$\mathcal{H}$ це ділення кільце. Підказка: достатньо показати, що кожна ненульова матриця в$\mathcal{H}$ має зворотну, яка також знаходиться в$\mathcal{H}$.
3. Визначаємо матриці $$\mathbf{1} = \left(\begin{array}{cr} 1 & 0 \\ 0&1 \end{array} \right ), I=\left(\begin{array}{cr} i & 0 \\ 0&-i \end{array} \right ), J=\left(\begin{array}{cr} 0 & i \\i&0 \end{array} \right ), K=\left(\begin{array}{cr} 0 & -1 \\ 1&0\end{array} \right )$$
   1. Показати, що кожен елемент$\mathcal{H}$ може бути записаний у вигляді: $$a\mathbf{1} + bI + cJ + dK$$ де$a,b,c,d \in \mathbb{R}$.
   2. Покажіть, що $$I^2 = J^2 = K^2 = -\mathbf{1},$$ $$IJ = K, JI = -K,$$ $$JK = I, KJ = -I,$$ $$KI = J, IK = -J$$

Зауваження

Перевіряти його не потрібно, але з цього випливає, що$\mathcal{H} \cong \mathbb{H}$.