3.7: Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Розглянемо ступінчасту функцію $$\Theta(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1, &\;\;\;\textrm{for} \; x \ge 0\\ 0,&\;\;\; \textrm{otherwise.}\end{array}\right.$$ Запишіть вираз для антидериватива$\Theta(x)$, і намалюйте його графік.

Вправа$\PageIndex{2}$

Покажіть, що $$\int_0^{2\pi} dx\, [\sin(x)]^2 = \int_0^{2\pi} dx\, [\cos(x)]^2 = \pi.$$

Вправа$\PageIndex{3}$

Обчисліть такі визначені інтеграли:

1. $\displaystyle\int_{0}^\pi dx\; x^2 \sin(2x)$

2. $\displaystyle\int_{1}^\alpha dx\; x \ln(x)$

3. $\displaystyle\int_0^\infty dx\;e^{-\gamma x} \, \cos(x)$

4. $\displaystyle\int_0^\infty dx\;e^{-\gamma x} \, x \cos(x)$

5. $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty dx\;e^{-\gamma |x|}$

6. $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty dx \;e^{-|x+1|} \sin(x)$

Вправа$\PageIndex{4}$

Диференціюючи під інтегралом, вирішіть $$\int_0^1 dx\; \frac{x^2-1}{\ln(x)}.$$ підказку: замініть$x^2$ в чисельнику на$x^\gamma$.

Відповідь

Давайте визначимо $$I(\gamma) = \int_0^1 \frac{x^\gamma - 1}{\ln(x)},$$ так, що$I(2)$ це наш бажаний інтеграл. Щоб взяти похідну, спочатку відзначимо те, $$\frac{d}{d\gamma}(x^\gamma) = \ln(x)\, x^\gamma,$$ що можна довести за допомогою узагальненого визначення силової операції. Таким чином, $$\begin{align} \frac{d}{d\gamma} I(\gamma) &= \int_0^1 \frac{\ln(x) x^\gamma}{\ln(x)} \\ &= \int_0^1 x^\gamma \\ &= \frac{1}{1+\gamma}.\end{align}$$ Це може бути інтегровано прямо: $$I(\gamma) = \int \frac{d\gamma}{1+\gamma} = \ln(1+\gamma) + c,$$ де$c$ постійна інтеграція, яку ми тепер повинні визначити. Посилаючись на початкове визначення$I(\gamma)$, зауважте, що$I(0) = \int_0^1 (1 - 1)/\ln(x) = 0$. Це означає, що$c = 0$. Тому відповідь така $$I(2) = \ln(3).$$

Вправа$\PageIndex{5}$

$f(x,y)$Дозволяти функція, яка залежить від двох входів$x$ і$y$, і визначити $$I(x) = \int_0^x f(x,y) dy.$$ Доведіть, що $$\frac{dI}{dx} = f(x,y) + \int_0^x \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \;dy.$$

Вправа$\PageIndex{6}$

Розглянемо звичайне диференціальне рівняння $$\frac{dy}{dt} = - \gamma y(t) + f(t),$$ де$\gamma > 0$ і$f(t)$ є деякою функцією$t$. Рішення можна записати у формі $$y(t) = y(0) + \int_0^t dt' \, e^{-\gamma(t-t')} \, g(t').$$ Знайти відповідну функцію$g$, в терміні$f$ і$y(0)$.

Відповідь

Нам надається наступний ансац для розв'язку диференціального рівняння: $$y(t) = y(0) + \int_0^t dt' e^{-\gamma(t-t')} g(t').$$ По-перше, зверніть увагу$t = 0$, що коли діапазон інтеграла зменшується до нуля, тому результат$y(0)$, як і очікувалося. Для того щоб визначити відповідну функцію$g$, виконуємо похідну в$t$. Складна частина полягає в тому, що$t$ з'являється в двох місцях: у верхньому діапазоні інтеграла, а також у цілісному. Отже, коли ми беремо похідну, має бути два різних термінів (див. Проблема$\PageIndex{5}$): $$\begin{align} \frac{dy}{dt} &= \left[e^{-\gamma(t-t')} g(t')\right]_{t'=t} + \int_0^t dt'(-\gamma) \, e^{-\gamma(t-t')} \, g(t')\\ &= g(t) - \gamma [y(t) - y(0)].\end{align}$$ На останньому кроці ми знову використовували ansatz для$y(t)$. Нарешті, порівнюючи це з вихідним диференціальним рівнянням для$y(t)$, ми виявимо, що $$g(t) - \gamma [y(t) - y(0)] = -\gamma y(t) + f(t) \;\;\; \Rightarrow \;\;\; g(t) = f(t) - \gamma y(0).$$ Отже, рішення диференціального рівняння $$\begin{align} y(t) &= y(0) + \int_0^t dt' \, e^{-\gamma(t-t')} \,[f(t') - \gamma y(0)] \\ &= y(0)\,e^{-\gamma t} + \int_0^t dt' \, e^{-\gamma(t-t')} f(t').\end{align}$$