3.4: Зміна змінних

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79771

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ще одна корисна методика розв'язання інтегралів - зміна змінних. Розглянемо інтеграл\[\int_0^\infty \frac{dx}{x^2 + 1}.\] Ми можемо вирішити це, зробивши зміну змінних\(x = \tan(u)\). Це включає\(x\) в себе (i) заміну всіх входжень integrand на\(\tan(u)\), (ii) заміна інтегральних меж, і (iii) заміна на\((dx/du) \, du = 1/[\cos(u)]^2 du\):\(dx\)\[\begin{align} \int_0^\infty \frac{dx}{x^2 + 1} &= \int_0^{\pi/2} \frac{1}{[\tan(u)]^2 + 1} \cdot \frac{1}{[\cos(u)]^2} \; du \\ &= \int_0^{\pi/2} \frac{1}{[\sin(u)]^2 + [\cos(u)]^2} \; du.\end{align}\] Завдяки теоремі Піфагора, integrand зменшується до 1, тому \[\int_0^\infty \frac{dx}{x^2 + 1} = \int_0^{\pi/2} du = \frac{\pi}{2}.\]Зрозуміло, що ця техніка часто вимагає певної кмітливості та/або проб і помилок у виборі правильної зміни змінних.