3.4: Зміна змінних

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 3.3: Інтеграція по частинам
- 3.5: Гауссова інтеграл

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ще одна корисна методика розв'язання інтегралів - зміна змінних. Розглянемо інтеграл

$\int_0^\infty \frac{dx}{x^2 + 1}.$ Ми можемо вирішити це, зробивши зміну змінних

$x = \tan(u)$ . Це включає

$x$ в себе (i) заміну всіх входжень integrand на

$\tan(u)$ , (ii) заміна інтегральних меж, і (iii) заміна на

$(dx/du) \, du = 1/[\cos(u)]^2 du$ :

$dx$

$\begin{align} \int_0^\infty \frac{dx}{x^2 + 1} &= \int_0^{\pi/2} \frac{1}{[\tan(u)]^2 + 1} \cdot \frac{1}{[\cos(u)]^2} \; du \\ &= \int_0^{\pi/2} \frac{1}{[\sin(u)]^2 + [\cos(u)]^2} \; du.\end{align}$ Завдяки теоремі Піфагора, integrand зменшується до 1, тому

$\int_0^\infty \frac{dx}{x^2 + 1} = \int_0^{\pi/2} du = \frac{\pi}{2}.$ Зрозуміло, що ця техніка часто вимагає певної кмітливості та/або проб і помилок у виборі правильної зміни змінних.