Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.5: Гауссова інтеграл

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    79774

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ось відомий інтеграл:\[\int_{-\infty}^\infty \; e^{-\gamma x^2} \; dx.\] Integrand називається гаусова, або крива дзвінка, і зображена нижче. Чим більше значення\(\gamma\), тим більш вузькопічна крива.

    clipboard_e8aefbadc58403d572f8c2cc7ddc82410.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Інтеграл був вирішений Гауссом блискучим чином. \(I(\gamma)\)Дозвольте позначити значення інтеграла. Потім\(I^2\) є лише дві незалежні копії інтеграла, помножені разом:\[I^2(\gamma) = \left[\int_{-\infty}^\infty dx\; e^{-\gamma x^2}\right] \times \left[\int_{-\infty}^\infty dy\; e^{-\gamma y^2}\right].\] Зверніть увагу, що у другій копії інтеграла ми змінили мітку «фіктивна»\(x\) (змінна інтеграції) на\(y\), щоб уникнути двозначності. Тепер це стає двовимірним інтегралом, взятим на всю площину 2D:\[I^2(\gamma) = \int_{-\infty}^\infty dx\, \int_{-\infty}^\infty dy \; e^{-\gamma (x^2+y^2)}.\] Далі переходимо від декартових до полярних координат:\[I^2(\gamma) = \int_{0}^\infty dr\, r \int_{0}^{2\pi} d\phi \; e^{-\gamma r^2} = \left[ \int_{0}^\infty dr\, r \, e^{-\gamma r^2}\right] \times \left[\int_{0}^{2\pi} d\phi \right] = \frac{1}{2\gamma} \cdot 2\pi.\] Беручи квадратний корінь, ми отримуємо результат\[I(\gamma) = \int_{-\infty}^\infty dx \; e^{-\gamma x^2} = \sqrt{\frac{\pi}{\gamma}}.\]