3: Інтеграли

Якщо у нас є функція,$f(x)$ яка добре визначена для деяких$a \le x \le b$, її інтеграл над цими двома значеннями визначається як $$\int_a^b dx\; f(x) \;=\; \lim_{N \rightarrow \infty} \, \sum_{n=0}^{N} \Delta x\; f(x_n) \;\;\;\mathrm{where}\;\; x_n = a + n\Delta x, \;\; \Delta x \equiv \left(\frac{b-a}{N}\right).$$ Це називається певним інтегралом і представляє область під графом$f(x)$ в області між $x=a$і$x=b$, як показано на малюнку нижче. Функція$f(x)$ називається цілим, а дві точки$a$ і$b$ називаються межами інтеграла. Інтервал між двома межами ділиться на$N$ відрізки, довжиною$(b-a)/N$ кожен. Кожен член в сумі представляє площу прямокутника, а як$N\rightarrow \infty$, сума сходиться до площі під кривою.

Множинний інтеграл передбачає інтеграцію більш ніж однієї змінної. Наприклад, коли у нас є функція,$f(x_1,x_2)$ яка залежить від двох незалежних змінних,$x_1$ і$x_2$, ми можемо виконати подвійний інтеграл, інтегруючи спочатку одну змінну, потім іншу змінну: $$\int_{a_1}^{b_1} dx_1 \int_{a_2}^{b_2} dx_2 \; f(x_1, x_2) \equiv \int_{a_1}^{b_1} dx_1 F(x_1)\quad\text{where}\;\;F(x_1) \equiv \int_{a_2}^{b_2} dx_2 \; f(x_1, x_2).$$