3.2: Інтеграли як антипохідні

Оскільки значення певного інтеграла залежить від значень верхньої та нижньої меж, ми можемо запитати, що відбувається зі значенням певного інтеграла, коли будь-яка межа змінюється. Використовуючи визначення похідної з попередньої глави, ми можемо показати, що $$\begin{align} \frac{d}{db} \left[\int_a^b dx\; f(x)\right] &= f(b), \\ \frac{d}{da} \left[\int_a^b dx\; f(x)\right] &= -f(a).\end{align}$$ Щоб довести перше рівняння, зауважте, що збільшення верхньої межі від$b$ до$b + \delta b$ збільшує площу під кривою на$f(b) \delta b$ (до найнижчого порядку в $\delta b$). Отже, швидкість зміни певного інтеграла з$b$ є$f(b)$. Аналогічним чином, збільшення нижньої межі від$a$ до$\delta a$ зменшує площу під кривою, що призводить до швидкості зміни$-f(a)$.

З наведеного вище результату визначимо поняття невизначеного інтеграла, або антидериватива, як обернене похідної операції: $$\int^x dx' f(x') \equiv F(x) \;\;\mathrm{such}\;\mathrm{that}\;\; \frac{d}{dx}F(x) = f(x).$$ Оскільки похідні не є один-до-одному (тобто дві різні функції можуть мати однакову похідну), антидериватив не має унікального, добре вказане значення. Швидше за все, його значення визначається лише до адитивної константи, званої константою інтеграції. Певний інтеграл, навпаки, завжди має чітко визначене значення.

Знайти антипохідні набагато складніше, ніж диференціювання. Після того, як ви знаєте, як диференціювати кілька спеціальних функцій, диференціація деякої комбінації цих функцій зазвичай передбачає просте (якщо виснажливе) застосування правил композиції. На відміну від цього, не існує загальної систематичної процедури символічної інтеграції. Інтеграція часто вимагає творчих кроків, таких як вгадування рішення та перевірка, чи дає його похідна бажаний цілісність.

Деякі загальні методи узагальнені в наступних розділах; інші будуть введені пізніше в цьому курсі.