Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.6: Диференціювання під інтегральним знаком

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    79781

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У попередньому розділі ми зазначили, що якщо integrand містить параметр (позначається\(\gamma\)), який є незалежним від інтеграційної змінної (позначається\(x\)), то певний інтеграл може сам розглядатися як функція\(\gamma\). Потім можна показати, що прийняття похідної певного інтеграла по відношенню до\(\gamma\) еквівалентно прийняттю часткової похідної цілісного:\[\frac{d}{d\gamma} \, \left[\int_a^b dx\; f(x,\gamma)\right] = \int_a^b dx \; \frac{\partial f}{\partial \gamma}(x,\gamma).\]

    Ця операція, звана диференціюванням під інтегральним знаком, вперше була використана Лейбніцем, одним з винахідників числення. Він може бути застосований як техніка для вирішення інтегралів, популяризована Річардом Фейнманом у своїй книзі Напевно ви жартуєте, містер Фейнман! .

    Ось метод. Задано певний інтеграл\(I_0\):

    1. Придумайте спосіб узагальнення integrand, шляхом введення параметра, такий\(\gamma\), що узагальнений інтеграл стає функцією,\(I(\gamma)\) яка зводиться до вихідного інтеграла\(I_0\) для конкретного значення параметра, скажімо\(\gamma = \gamma_0\).

    2. Диференціювати під інтегральним знаком. Якщо ви вибрали узагальнення правильно, отриманий інтеграл буде легше вирішити, тому...

    3. Розв'яжіть інтеграл, щоб отримати\(I'(\gamma)\).

    4. Інтегруйте\(I'\) над,\(\gamma\) щоб отримати бажаний інтеграл\(I(\gamma)\), і оцінити його при\(\gamma_0\) отриманні бажаного інтеграла\(I_0\).

    Приклад корисний для демонстрації цієї процедури. Розглянемо інтеграл\[\int_{0}^\infty dx \; \frac{\sin(x)}{x}.\] По-перше, (i) ми узагальнюємо інтеграл наступним чином (ми скоро побачимо, чому):\[I(\gamma) = \int_{0}^\infty dx \; \frac{\sin(x)}{x}\, e^{-\gamma x}.\] Бажаний інтеграл є\(I(0)\). Далі, (ii) диференціювання під інтегралом дає\[I'(\gamma) = - \int_{0}^\infty dx \; \sin(x)\, e^{-\gamma x}.\] Прийняття часткової похідної цілісного щодо\(\gamma\) збитого коефіцієнта\(-x\), скасовуючи клопітний знаменник. Тепер, (iii) ми вирішуємо новий інтеграл, який можна зробити шляхом інтеграції частинами двічі:\[\begin{align} I'(\gamma) &= \left[\cos(x)\,e^{-\gamma x}\right]_0^\infty + \gamma \int_{0}^\infty dx \; \cos(x)\, e^{-\gamma x} \\ &= -1 + \gamma \left[\sin(x)\,e^{-\gamma x}\right]_0^\infty + \gamma^2 \int_{0}^\infty dx \; \sin(x)\, e^{-\gamma x} \\ &= -1 - \gamma^2 I'(\gamma).\end{align}\] Отже,\[I'(\gamma) = - \frac{1}{1+\gamma^2}.\] нарешті, (iv) нам потрібно інтегрувати це\(\gamma\). Але ми вже бачили, як зробити цей конкретний інтеграл у розділі 3.4, і результат\(A\) -\[I(\gamma) = A - \tan^{-1}(\gamma),\] де постійна інтеграція. Коли\(\gamma \rightarrow \infty\), інтеграл повинен зникнути, що означає, що\(A = \tan^{-1}(+\infty) = \pi/2\). Нарешті, ми приходимо до результату\[\int_{0}^\infty dx \; \frac{\sin(x)}{x} = I(0) = \frac{\pi}{2}.\] Коли ми обговорюємо інтеграцію контуру в розділі 9, ми побачимо більш простий спосіб зробити цей інтеграл.