3.6: Диференціювання під інтегральним знаком

У попередньому розділі ми зазначили, що якщо integrand містить параметр (позначається$\gamma$), який є незалежним від інтеграційної змінної (позначається$x$), то певний інтеграл може сам розглядатися як функція$\gamma$. Потім можна показати, що прийняття похідної певного інтеграла по відношенню до$\gamma$ еквівалентно прийняттю часткової похідної цілісного:

$$\frac{d}{d\gamma} \, \left[\int_a^b dx\; f(x,\gamma)\right] = \int_a^b dx \; \frac{\partial f}{\partial \gamma}(x,\gamma).$$

Ця операція, звана диференціюванням під інтегральним знаком, вперше була використана Лейбніцем, одним з винахідників числення. Він може бути застосований як техніка для вирішення інтегралів, популяризована Річардом Фейнманом у своїй книзі Напевно ви жартуєте, містер Фейнман! .

Ось метод. Задано певний інтеграл$I_0$:

1. Придумайте спосіб узагальнення integrand, шляхом введення параметра, такий$\gamma$, що узагальнений інтеграл стає функцією,$I(\gamma)$ яка зводиться до вихідного інтеграла$I_0$ для конкретного значення параметра, скажімо$\gamma = \gamma_0$.

2. Диференціювати під інтегральним знаком. Якщо ви вибрали узагальнення правильно, отриманий інтеграл буде легше вирішити, тому...

3. Розв'яжіть інтеграл, щоб отримати$I'(\gamma)$.

4. Інтегруйте$I'$ над,$\gamma$ щоб отримати бажаний інтеграл$I(\gamma)$, і оцінити його при$\gamma_0$ отриманні бажаного інтеграла$I_0$.

Приклад корисний для демонстрації цієї процедури. Розглянемо інтеграл

$$\int_{0}^\infty dx \; \frac{\sin(x)}{x}.$$ По-перше, (i) ми узагальнюємо інтеграл наступним чином (ми скоро побачимо, чому): $$I(\gamma) = \int_{0}^\infty dx \; \frac{\sin(x)}{x}\, e^{-\gamma x}.$$ Бажаний інтеграл є$I(0)$. Далі, (ii) диференціювання під інтегралом дає $$I'(\gamma) = - \int_{0}^\infty dx \; \sin(x)\, e^{-\gamma x}.$$ Прийняття часткової похідної цілісного щодо$\gamma$ збитого коефіцієнта$-x$, скасовуючи клопітний знаменник. Тепер, (iii) ми вирішуємо новий інтеграл, який можна зробити шляхом інтеграції частинами двічі: $$\begin{align} I'(\gamma) &= \left[\cos(x)\,e^{-\gamma x}\right]_0^\infty + \gamma \int_{0}^\infty dx \; \cos(x)\, e^{-\gamma x} \\ &= -1 + \gamma \left[\sin(x)\,e^{-\gamma x}\right]_0^\infty + \gamma^2 \int_{0}^\infty dx \; \sin(x)\, e^{-\gamma x} \\ &= -1 - \gamma^2 I'(\gamma).\end{align}$$ Отже, $$I'(\gamma) = - \frac{1}{1+\gamma^2}.$$ нарешті, (iv) нам потрібно інтегрувати це$\gamma$. Але ми вже бачили, як зробити цей конкретний інтеграл у розділі 3.4, і результат$A$ - $$I(\gamma) = A - \tan^{-1}(\gamma),$$ де постійна інтеграція. Коли$\gamma \rightarrow \infty$, інтеграл повинен зникнути, що означає, що$A = \tan^{-1}(+\infty) = \pi/2$. Нарешті, ми приходимо до результату $$\int_{0}^\infty dx \; \frac{\sin(x)}{x} = I(0) = \frac{\pi}{2}.$$ Коли ми обговорюємо інтеграцію контуру в розділі 9, ми побачимо більш простий спосіб зробити цей інтеграл.