3.1: Основні властивості визначених інтегралів

Значення певного інтеграла залежить тільки від цілого, і двох меж інтеграції. Змінна, яка інтегрована над є фіктивною змінною, що означає, що зміна символу не впливає на значення загального виразу:

$$\int_a^b dx\; f(x) = \int_a^b dy\; f(y).$$ Оскільки значення інтеграла не залежить від фіктивної змінної, безглуздо писати щось на зразок $$\frac{d}{dx}\; \left[\int_a^b dx\; f(x)\right]. \;\;\;(\text{Nonsense expression}!)$$

Оскільки інтеграл визначається як гранична форма суми, ним можна алгебраїчно маніпулювати так само, як вираз підсумовування. Наприклад, інтеграл лінійної комбінації дорівнює лінійній комбінації двох інтегралів з однаковими межами:

$$\int_a^b dx \;\Big[c_1 \,f_1(x) + c_2\, f_2(x)\Big] = c_1 \int_{a}^{b} dx \; f_1(x)\;\, +\;\, c_2 \int_{a}^{b} dx\; f_2(x).$$ Це аналогічно тому, як підсумовування лінійної комбінації дорівнює лінійній комбінації окремих підсумовувань: $$\sum_{n = p}^{q} \Big[ c_1 A_n \, + \, c_2 B_n\Big] = c_1 \sum_{n = p}^{q} A_n \, + \, c_2 \sum_{n = p}^{q} B_n.$$ З аналогічної причини кратне інтегралами можна маніпулювати, як кілька підсумовувань. Якщо у нас є подвійний інтеграл, де інтеграли мають незалежні межі, ми можемо поміняти порядок інтегралів: $$\int_{a_1}^{b_1} dx_1 \int_{a_2}^{b_2} dx_2 \;\; f(x_1, x_2) = \int_{a_2}^{b_2} dx_2 \int_{a_1}^{b_1} dx_1 \;\; f(x_1, x_2).$$ Це аналогічно тому, як ми можемо поміняти порядок двох незалежних підсумовувань. Однак зауважте, що ця маніпуляція є недійсною, якщо межі інтеграції не є незалежними. Наприклад, якщо верхня або нижня межа внутрішнього інтеграла залежить від інтеграційної змінної зовнішнього інтеграла, ми не можемо поміняти місцями два інтеграли: $$\int_{a_1}^{b_1} dx_1 \int_{a_1}^{x_1} dx_2 \;\; f(x_1, x_2) \ne \int_{a_1}^{x_1} dx_2 \int_{a_1}^{b_1} dx_1 \;\; f(x_1, x_2).\;\; (\text{Nonsense expression}!)$$

Примітка

Зауважте, що вираз праворуч є безглуздим:$x_1$ мається на увазі як фіктивна змінна, але вона існує поза будь-яким знаком інтеграції.