3.1: Основні властивості визначених інтегралів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79777

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Значення певного інтеграла залежить тільки від цілого, і двох меж інтеграції. Змінна, яка інтегрована над є фіктивною змінною, що означає, що зміна символу не впливає на значення загального виразу:\[\int_a^b dx\; f(x) = \int_a^b dy\; f(y).\] Оскільки значення інтеграла не залежить від фіктивної змінної, безглуздо писати щось на зразок\[\frac{d}{dx}\; \left[\int_a^b dx\; f(x)\right]. \;\;\;(\text{Nonsense expression}!)\]

Оскільки інтеграл визначається як гранична форма суми, ним можна алгебраїчно маніпулювати так само, як вираз підсумовування. Наприклад, інтеграл лінійної комбінації дорівнює лінійній комбінації двох інтегралів з однаковими межами:\[\int_a^b dx \;\Big[c_1 \,f_1(x) + c_2\, f_2(x)\Big] = c_1 \int_{a}^{b} dx \; f_1(x)\;\, +\;\, c_2 \int_{a}^{b} dx\; f_2(x).\] Це аналогічно тому, як підсумовування лінійної комбінації дорівнює лінійній комбінації окремих підсумовувань:\[\sum_{n = p}^{q} \Big[ c_1 A_n \, + \, c_2 B_n\Big] = c_1 \sum_{n = p}^{q} A_n \, + \, c_2 \sum_{n = p}^{q} B_n.\] З аналогічної причини кратне інтегралами можна маніпулювати, як кілька підсумовувань. Якщо у нас є подвійний інтеграл, де інтеграли мають незалежні межі, ми можемо поміняти порядок інтегралів:\[\int_{a_1}^{b_1} dx_1 \int_{a_2}^{b_2} dx_2 \;\; f(x_1, x_2) = \int_{a_2}^{b_2} dx_2 \int_{a_1}^{b_1} dx_1 \;\; f(x_1, x_2).\] Це аналогічно тому, як ми можемо поміняти порядок двох незалежних підсумовувань. Однак зауважте, що ця маніпуляція є недійсною, якщо межі інтеграції не є незалежними. Наприклад, якщо верхня або нижня межа внутрішнього інтеграла залежить від інтеграційної змінної зовнішнього інтеграла, ми не можемо поміняти місцями два інтеграли:\[\int_{a_1}^{b_1} dx_1 \int_{a_1}^{x_1} dx_2 \;\; f(x_1, x_2) \ne \int_{a_1}^{x_1} dx_2 \int_{a_1}^{b_1} dx_1 \;\; f(x_1, x_2).\;\; (\text{Nonsense expression}!)\]

Примітка

Зауважте, що вираз праворуч є безглуздим:\(x_1\) мається на увазі як фіктивна змінна, але вона існує поза будь-яким знаком інтеграції.