3.3: Інтеграція по частинам

Якщо integrand складається з двох факторів, і ви знаєте антипохідне одного з факторів, ви можете інтегрувати частинами, змістивши похідну на інший фактор:\[\int_a^b dx \; f(x) \, \frac{dg}{dx} \;=\; \Big[\,f(x)\, g(x)\,\Big]_a^b - \int_a^b \frac{df}{dx}\, g(x).\] Перший член з правого боку - це константа, що позначає\([f(a)g(a) - f(b)g(b)]\). Сподіваємось, інтеграл у другому семестрі легше вирішити, ніж оригінальний інтеграл.

Розумне використання інтеграції частинами є ключовим кроком для вирішення багатьох інтегралів. Наприклад, розглянемо\[\int_a^b dx\; x \, e^{\gamma x}.\] Integrand складається з двох факторів,\(x\) і\(e^{\gamma x}\); ми випадково знаємо антипохідне обох факторів. Інтеграція частинами дозволяє замінити один з цих факторів його антипохідним, застосовуючи при цьому додаткову похідну на інший фактор. Розумна річ, яку потрібно зробити, це застосувати похідну на\(x\) коефіцієнт, а антидериватив на\(e^{\gamma x}\):\[\begin{align} \int_a^b dx\; x\, e^{\gamma x} \;&=\; \left[\;x\, \frac{e^{\gamma x}}{\gamma}\, \right]_a^b - \int_a^b dx\; \frac{e^{\gamma x}}{\gamma} \\ &=\; \left[\;x\, \frac{e^{\gamma x}}{\gamma} - \frac{e^{\gamma x}}{\gamma^2} \,\right]_a^b.\end{align}\] Щоразу, коли ми закінчуємо робити інтеграл, це гарна практика, щоб перевірити результат, переконавшись, що розміри збігаються. Зверніть увагу, що\(\gamma\) має обернені одиниці\(x\), тому інтеграл на лівій стороні має одиниці\(x^2\). Рішення на правій стороні має два терміни, з одиницями\(x/\gamma\) і\(1/\gamma^2\); обидва вони еквівалентні одиницям\(x^2\), що нам потрібно!