2.5: Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Показати, що якщо функція диференційовна, то вона також є безперервною.

Вправа$\PageIndex{2}$

Доведіть, що похідна від$\ln(x)$ є$1/x$.

Відповідь

Якщо$y = \ln(x)$, то з визначення логарифма випливає, що $$\exp(y) = x.$$ Беручи з обох$d/dx$ сторін, і використовуючи правило добутку, дає $$\frac{dy}{dx} \, \exp(y) = 1 \;\;\; \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\exp(y)} = \frac{1}{x}.$$

Вправа$\PageIndex{3}$

Використовуючи визначення ненатуральних повноважень, довести, що

$$\frac{d}{dx} [x^y] = y x^{y-1}, \quad\mathrm{for}\;\;x \in \mathbb{R}^+, \; y \notin \mathbb{N}.$$

Вправа$\PageIndex{4}$

Розглянемо$f(x) = \tanh(\alpha x)$.

1. Ескіз$f(x)$ проти$x$, для двох випадків: (i)$\alpha = 1$ і (ii)$\alpha \gg 1$.
2. Намалюйте похідну функцію$f'(x)$ для двох випадків на основі ваших ескізів у частині (A) (тобто без безпосередньої оцінки похідної).
3. Оцініть похідну функцію та переконайтеся, що результат відповідає вашим ескізам у частині (B).

Вправа$\PageIndex{5}$

Доведіть геометрично, що похідні синус і косинус функцій є:

$$\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x), \quad\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x).$$ Отже, вивести їх ряд Тейлора, Eqs. (2.2.5) і (2.2.6).

Вправа$\PageIndex{6}$

Для кожної з наступних функцій виведіть ряд Тейлора навколо$x = 0$:

1. $f(x) = \ln\left[\alpha \cos(x)\right]$, до перших 3 термінів, що не зникають.
2. $f(x) = \cos\left[\pi\exp(x)\right]$, до перших 4 термінів, що не зникають.
3. $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 \pm x}}$, до перших 4 термінів, що не зникають. Слідкуйте за знаками (тобто$\pm$ проти$\mp$).

Вправа$\PageIndex{7}$

Для кожної з наступних функцій намалюйте графік і вкажіть області, над якими функція диференційовна:

1. $f(x) = |\sin(x)|$

2. $f(x) = \left[\tan(x)\right]^2$

3. $\displaystyle f(x) = \frac{1}{1-x^2}$

Вправа$\PageIndex{8}$

$\vec{v}(x)$Дозволяти векторна функція, яка приймає вхідні дані$x$ (число), і дає вихідне значення,$\vec{v}$ яке є 2-компонентним вектором. Похідна цієї векторної функції визначається через похідні кожної векторної складової:

$$\vec{v}(x) = \begin{bmatrix}v_1(x) \\ v_2(x)\end{bmatrix} \;\; \Rightarrow \;\; \frac{d\vec{v}}{dx} = \begin{bmatrix}dv_1/dx \\ dv_2/dx\end{bmatrix}.$$ Тепер припустимо, що$\vec{v}(x)$ підпорядковується векторному диференціальному рівнянню, $$\frac{d\vec{v}}{dx} = \mathbf{A} \vec{v},$$ де $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix}$$ є матриця, яка має два різних дійсних власних вектора з дійсними власними значеннями.

1. Скільки незалежних чисел нам потрібно вказати для загального рішення?

2. $\vec{u}$Дозволяти бути одним з власних векторів$\mathbf{A}$, з власним значенням$\lambda$: $$\mathbf{A} \vec{u} = \lambda \vec{u}.$$ Показати, що$\vec{v}(x) = \vec{u}\, e^{\lambda x}$ є специфічним розв'язком векторного диференціального рівняння. Значить, знайдіть загальне рішення.

Відповідь

Для звичайного диференціального рівняння для скалярної (однокомпонентної) функції порядку$n$ загальний розв'язок повинен містити$n$ незалежні змінні. В даному випадку$\vec{v}$ є двокомпонентною функцією, тому для неї потрібні$2n$ незалежні змінні. $$\frac{d\vec{v}}{dx} = \mathbf{A} \vec{v}$$ Диференціальне рівняння має порядок$n = 1$, тому для загального розв'язку потрібно загалом 2 незалежні змінні.

$u$Дозволяти бути власним вектором$\mathbf{A}$ з власним значенням$\lambda$, і припустимо, що$\vec{v}(x) = \vec{u}\,e^{\lambda x}$ (зверніть увагу, що$\vec{u}$ сам по собі не залежить від$x$). Тоді $$\begin{align} \frac{d\vec{v}}{dx} &= \vec{u} \frac{d}{dx}\left(e^{\lambda x}\right) \\ &= \lambda \, \vec{u}\, e^{\lambda x} \\ &= \left(\mathbf{A} \vec{u}\right) e^{\lambda x} \\ &= \mathbf{A} \left(\vec{u} e^{\lambda x}\right) \\ &= \mathbf{A} \vec{v}(x).\end{align}$$ Отже,$\vec{v}(x)$ задовольняє бажане диференціальне рівняння.

$\vec{u}_1$$\vec{u}_2$Дозволяти і бути власними векторами з$\mathbf{A}$, з власними значеннями$\lambda_1$ і$\lambda_2$. Загальні рішення будуть $$\vec{v}(x) = c_1 \vec{u}_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 \vec{u}_2 e^{\lambda_2 x},$$ де$c_1$ і$c_2$ є незалежними змінними.