2.5: Вправи

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Показати, що якщо функція диференційовна, то вона також є безперервною.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Доведіть, що похідна від\(\ln(x)\) є\(1/x\).

Відповідь

Якщо\(y = \ln(x)\), то з визначення логарифма випливає, що\[\exp(y) = x.\] Беручи з обох\(d/dx\) сторін, і використовуючи правило добутку, дає\[\frac{dy}{dx} \, \exp(y) = 1 \;\;\; \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\exp(y)} = \frac{1}{x}.\]

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Використовуючи визначення ненатуральних повноважень, довести, що\[\frac{d}{dx} [x^y] = y x^{y-1}, \quad\mathrm{for}\;\;x \in \mathbb{R}^+, \; y \notin \mathbb{N}.\]

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Розглянемо\(f(x) = \tanh(\alpha x)\).

1. Ескіз\(f(x)\) проти\(x\), для двох випадків: (i)\(\alpha = 1\) і (ii)\(\alpha \gg 1\).
2. Намалюйте похідну функцію\(f'(x)\) для двох випадків на основі ваших ескізів у частині (A) (тобто без безпосередньої оцінки похідної).
3. Оцініть похідну функцію та переконайтеся, що результат відповідає вашим ескізам у частині (B).

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Доведіть геометрично, що похідні синус і косинус функцій є:\[\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x), \quad\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x).\] Отже, вивести їх ряд Тейлора, Eqs. (2.2.5) і (2.2.6).

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Для кожної з наступних функцій виведіть ряд Тейлора навколо\(x = 0\):

1. \(f(x) = \ln\left[\alpha \cos(x)\right]\), до перших 3 термінів, що не зникають.
2. \(f(x) = \cos\left[\pi\exp(x)\right]\), до перших 4 термінів, що не зникають.
3. \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 \pm x}}\), до перших 4 термінів, що не зникають. Слідкуйте за знаками (тобто\(\pm\) проти\(\mp\)).

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Для кожної з наступних функцій намалюйте графік і вкажіть області, над якими функція диференційовна:

1. \(f(x) = |\sin(x)|\)

2. \(f(x) = \left[\tan(x)\right]^2\)

3. \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{1-x^2}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

\(\vec{v}(x)\)Дозволяти векторна функція, яка приймає вхідні дані\(x\) (число), і дає вихідне значення,\(\vec{v}\) яке є 2-компонентним вектором. Похідна цієї векторної функції визначається через похідні кожної векторної складової:\[\vec{v}(x) = \begin{bmatrix}v_1(x) \\ v_2(x)\end{bmatrix} \;\; \Rightarrow \;\; \frac{d\vec{v}}{dx} = \begin{bmatrix}dv_1/dx \\ dv_2/dx\end{bmatrix}.\] Тепер припустимо, що\(\vec{v}(x)\) підпорядковується векторному диференціальному рівнянню,\[\frac{d\vec{v}}{dx} = \mathbf{A} \vec{v},\] де\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix}\] є матриця, яка має два різних дійсних власних вектора з дійсними власними значеннями.

1. Скільки незалежних чисел нам потрібно вказати для загального рішення?

2. \(\vec{u}\)Дозволяти бути одним з власних векторів\(\mathbf{A}\), з власним значенням\(\lambda\):\[\mathbf{A} \vec{u} = \lambda \vec{u}.\] Показати, що\(\vec{v}(x) = \vec{u}\, e^{\lambda x}\) є специфічним розв'язком векторного диференціального рівняння. Значить, знайдіть загальне рішення.

Відповідь

Для звичайного диференціального рівняння для скалярної (однокомпонентної) функції порядку\(n\) загальний розв'язок повинен містити\(n\) незалежні змінні. В даному випадку\(\vec{v}\) є двокомпонентною функцією, тому для неї потрібні\(2n\) незалежні змінні. \[\frac{d\vec{v}}{dx} = \mathbf{A} \vec{v}\]Диференціальне рівняння має порядок\(n = 1\), тому для загального розв'язку потрібно загалом 2 незалежні змінні.

\(u\)Дозволяти бути власним вектором\(\mathbf{A}\) з власним значенням\(\lambda\), і припустимо, що\(\vec{v}(x) = \vec{u}\,e^{\lambda x}\) (зверніть увагу, що\(\vec{u}\) сам по собі не залежить від\(x\)). Тоді\[\begin{align} \frac{d\vec{v}}{dx} &= \vec{u} \frac{d}{dx}\left(e^{\lambda x}\right) \\ &= \lambda \, \vec{u}\, e^{\lambda x} \\ &= \left(\mathbf{A} \vec{u}\right) e^{\lambda x} \\ &= \mathbf{A} \left(\vec{u} e^{\lambda x}\right) \\ &= \mathbf{A} \vec{v}(x).\end{align}\] Отже,\(\vec{v}(x)\) задовольняє бажане диференціальне рівняння.

\(\vec{u}_1\)\(\vec{u}_2\)Дозволяти і бути власними векторами з\(\mathbf{A}\), з власними значеннями\(\lambda_1\) і\(\lambda_2\). Загальні рішення будуть\[\vec{v}(x) = c_1 \vec{u}_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 \vec{u}_2 e^{\lambda_2 x},\] де\(c_1\) і\(c_2\) є незалежними змінними.