19.8: Скорочені та розширені циклоїди

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 19.7: Властивість брахістохрону циклоїду
- 19.9: Циклоїдний маятник

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Як і в Розділі 19.1, ми вважаємо коло радіуса кочення вправо на прямій $y = 2a$ . Точка Р спочатку знаходиться нижче центру кола, але, замість того, щоб бути на обідку кола, її відстань від центру кола дорівнює $r$ . Якщо шлях $r < a$ , описаний P, буде скороченою циклоїдою; якщо $r > a$ , шлях є розширеною циклоїдою. (Я думаю, що є випадок використання цієї номенклатури навпаки, але більшість авторів, здається, використовують «контрактні» для $r < a$ і «розширені» для $r > a$ .) Не повинно зайняти багато часу, щоб переконатися, аргументами, подібними до тих, що наведені в розділі 19.1, що параметричні рівняння до скороченої або розширеної циклоїди є

$x = 2 a \theta + r \sin 2 \theta \label{19.8.1}\tag{19.8.1}$

$y = a - r \cos 2 \theta \label{19.8.2}\tag{19.8.2}$

Вони проілюстровані на малюнках XIX.8 і XIX.9 для контрактної циклоїди з $r = 0.5a$ і розширеної циклоїди с $r = 1.5a$ .

альт