19.10: Приклади циклоїдного руху у фізиці
- Page ID
- 76379
На думку спадає кілька прикладів циклоїдного руху у фізиці. Одним з них є нутація вершини, яка описана в розділі 4.10 глави 10. Земна вісь нутує аналогічним чином. Іншим добре відомим прикладом є рух електрона в схрещених електричних і магнітних полах. Це описано в розділі 8 розділу «Електрика і магнетизм» цих нотаток. У космології, якщо середня щільність Всесвіту низька, Всесвіт розширюється до нескінченності, але, якщо щільність вище певної критичної щільності, то (безрозмірний) масштабний\(R\) коефіцієнт Всесвіту розширюється і стискається з часом t відповідно до наступних параметричних циклоїдних рівнянь:
\[ R = \dfrac{\Omega_0}{2(\Omega_0 -1) }(1 - \cos 2 \theta ) , \label{19.10.1}\tag{19.10.1} \]
\[ t = \dfrac{\Omega_0}{2(\Omega_0 -1)^{3/2} }(2 \theta - \sin 2 \theta ). \label{19.10.2}\tag{19.10.2} \]
Тут\(t\) виражається в одиницях зворотної нинішньої постійної Хаббла, і\( \Omega_0\) є відношення нинішньої щільності Всесвіту до щільності, необхідної для «закриття» Всесвіту.
Менш відомий приклад стосується поширення звуку в атмосфері. У тропосфері, яка є нижньою частиною атмосфери приблизно до 11 км, температура знижується приблизно лінійно з висотою. У цьому випадку звук проходить через тропосферу циклоїдним шляхом. Швидкість звуку в газі пропорційна квадратному кореню температури. (Якщо вам цікаво, як це залежить від тиску Р і щільності\( \rho \), відповідь полягає в тому, що воно залежить від співвідношення P/\( \rho \) - і це співвідношення пропорційно температурі.) У будь-якому випадку, якщо температура знижується лінійно з висотою, швидкість звуку\(v\) змінюється в залежності від висоти\(y\) як
\[ v = v_0 \sqrt{1 - cy} \label{19.10.3}\tag{19.10.3} \]
де c - константа, рівна приблизно 0,023 км −1 .Тепер, щоб простежити звуковий промінь через атмосферу, ми повинні зрозуміти, як змінюється напрямок поширення при проходженні звуку через шари повітря різної температури. Це регулюється, як і зі світлом, законом Снелла (див. Рис. XIX.11):
\[ \dfrac{dv}{v} = - \tan \psi d \psi \label{19.10.4}\tag{19.10.4} \]
Закон Снелла стверджує, що коли звук (або світло) потрапляє в більш повільне середовище (тобто таке, в якому швидкість поширення повільніше), він згинається до норми. Я намалював малюнок XIX.11, щоб представити ситуацію в тропосфері, де температура (а отже, і швидкість звуку\( v \)) зменшується з висотою. Тобто,\(dv/dy \) є негативним. Іншими словами, на\(dv\) малюнку XIX є від'ємним, а Рівняння\( \ref{19.10.4} \) вказує на те,\( d\psi \) що позитивне, як намальовано. Якщо ви не визнаєте цю диференціальну форму закону Снелла, спробуйте інтегрувати її від\(v_1\) до\(v_2\) і від\(\psi_1\) до\(\psi_2 \), і вона повинна припустити його більш звичну цілісну форму. Якщо тепер усунути\(v\) між рівняннями\( \ref{19.10.3} \) і\(\ref{19.10.4}\), ви отримаєте диференціальне відношення між\(y\) і\( \psi \), яке, після інтеграції, стає
\[ cy = 1 - \dfrac{\cos^2 \psi}{\cos^2 \psi_0} \label{19.10.5}\tag{19.10.5} \]
де\( \psi_ 0\) - значення рівня землі\( \psi \). Якщо ми введемо
\[ a = \dfrac{1}{2c \cos ^2 \psi_0} , \label{19.10.6}\tag{19.10.6} \]
рівняння\( \ref{19.10.5} \) можна зручно переписати
\[ y = 2a(\sin^2 \psi - s\in^2 \psi_0) = 2a( \cos^2 \psi_0 - \cos^2 \psi \label{19.10.7}\tag{19.10.7} \]
Тепер\(\tan \psi = dy/dx\), і усунення\(y\) між цим і рівнянням\( \ref{19.10.7} \) дасть диференціальне відношення між\(x\) і\( \psi \), яке, після інтеграції, стає
\[ x = a[2(\psi - \psi_ 0 ) + \sin 2 \psi - \sin 2 \psi_0 ]. \label{19.10.8}\tag{19.10.8} \]
Рівняння\( \ref{19.10.7} \) і\( \ref{19.10.8} \) є параметричними рівняннями звукового шляху через тропосферу і описують циклоїду.
Якщо\(x\) = 2,0 і\(y\) = 1.6, то що таке\( \psi\) і\( \psi_0\)?
Рішення
Я роблю це\( \psi = 69 ^\circ, \psi_0 = 15 ^\circ 52'\).