19.7: Властивість брахістохрону циклоїду

Невеликий момент. Слово іноді пишеться брахістохрон, і я не маю жодної рекомендації так чи інакше. Для чого це варте, єдиний словник, який знаходиться в легкій доступності від мого столу, має брахіопод і брахіцефальний. У будь-якому випадку слово походить від грецького, і означає найкоротший час.

Знаменита проблема брахістохрону проблема полягає в наступному: гладкий дріт, який може бути будь-якої бажаної довжини, полягає в з'єднанні двох точок O і P; P знаходиться на нижчому рівні, ніж O, але не вертикально нижче О. Дріт повинен бути зігнутий до форми, і відрізати до довжини, таким чином, щоб час, необхідний для того, щоб кулька ковзати вниз по дроту від О до Р найменше.

Непросто довести, що необхідна крива - це циклоїда, але цілком розумно спекулювати або здогадатися, що це може бути так. І, припустивши, що це може бути циклоїда, легко перевірити, що необхідна крива справді є циклоїдою, кулька, що починається з спокою на межі циклоїди.

Спекуляція може піти щось на зразок цього. Як правило, можна було б очікувати, що подальший P знаходиться від O, тим більше часу знадобиться для ковзання кульки від O до P. Але, якщо O і P з'єднані з циклоїдним дротом, час, необхідний для переходу від O до P, не збільшується з відстанню. (Див. Ізохронну властивість циклоїди, розглянуту в розділі 19.5.) Таким чином, коли ви збільшуєте відстань між O та P, час, необхідний для подорожі будь-яким маршрутом, відмінним від циклоїдного, повинен зайняти більше часу, ніж циклоїдний маршрут. Цей аргумент може не звучати як суворий доказ, хоча цього достатньо, щоб викликати наші підозри і перевірити, чи правильно він.

Оскільки я збираюся мати справу з кулькою, що ковзає вниз під дією сили тяжіння, мені буде зручно встановити наші координатні осі, такі, що$x$ збільшується вправо і$y$ збільшується вниз. У цьому випадку параметричні рівняння до циклоїди з початком у розрізі є

$$x = a(2 \theta - \sin 2 \theta ) \label{19.7.1}\tag{19.7.1}$$

і

$$y = 2a \sin^2 \theta \label{19.7.2}\tag{19.7.2}$$

− і це рівняння, які ми будемо перевіряти.

Час, необхідний для того, щоб намистина пройшла відстань$ds$ по дроту, поки вона рухається зі швидкістю,$v$ становить$ds/v$. У$(x , y)$ координатах,$ds$ є$\sqrt{1+y'^2} dx$ де$y' = dy/dx$. Також досягнута швидкість пов'язана (прирівнюючи посилення кінетичної енергії до втрати потенційної енергії) з вертикальною відстанню,$y$ зменшеною$v = \sqrt{2gy}$ на.Таким чином, час, необхідний для переходу від O до P, становить

$$\dfrac{1}{\sqrt2g} = \int_{0}^{P} \dfrac{\sqrt {1 y'^2}}{\sqrt{y}}dx = \dfrac{1}{2g}\int_{O}^{P}f(y,y')dx. \label{19.7.3}\tag{19.7.3}$$

Це найменше (див. Розділ 18 для обговорення цієї теореми з числення варіацій) для функції$y(x)$, яка задовольняє

$$\dfrac{d}{dx} \dfrac{\partial f}{\partial y'} = \dfrac{\partial f}{\partial y}. \label{19.7.4}\tag{19.7.4}$$

У нас є:

$$f = \dfrac{1+y'^2}{\sqrt{y}}, \label{19.7.5}\tag{19.7.5}$$

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = -\dfrac{(1+y'^2)^{1/2}}{2y^{3/2}} \label{19.7.6}\tag{19.7.6}$$

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = -\dfrac{y'}{y^{1/2}(1+y'^2)^{1/2}} \label{19.7.7}\tag{19.7.7}$$

Залишається читачеві подивитися, чи$\ref{19.7.2}$ задовольняють рівняння$\ref{19.7.1}$ і рівняння$\ref{19.7.4}$. Ви повинні виявити, що обидві сторони рівняння рівні Таким чином, наші спекуляції підтверджуються, і циклоїда cups-up дійсно крива, яка пропонує прохід від O до P за найкоротший час.