14: Гамільтонова механіка
- Page ID
- 75858
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Гамільтонова механіка може бути використана для опису простих систем, таких як стрибаючий куля, маятник або коливальна пружина, в якій енергія змінюється від кінетичної до потенційної і знову з часом, її сила показана в більш складних динамічних системах, таких як планетарні орбіти в небесній механіці. Чим більше ступенів свободи має система, тим складніше її еволюція часу.
- 14.1: Вступ до гамільтонової механіки
- Теорія Гамільтона - або, зокрема, її розширення рівняння Гамільтона-Якобі - має застосування в небесній механіці, і, звичайно, гамільтонові оператори відіграють важливу роль у квантовій механіці, хоча сумнівно, чи визнав би сер Вільям своє авторство в цьому зв'язку.
- 14.2: Аналогія термодинаміки
- Читачі, можливо, час від часу помічали - особливо в главі 9 - що я сприймав певний зв'язок між частинами класичної механіки та термодинамікою. Таку аналогію я сприймаю в розвитку гамільтонової динаміки. Ті, хто знайомий з термодинамікою, також можуть розпізнати аналогію.
- 14.3: Рівняння руху Гамільтона
- У класичній механіці ми можемо описати стан системи, вказавши її Лагранжа як функцію координат та їх часових швидкостей зміни. Однак іноді зручно змінити основу опису стану системи, визначивши величину, яка називається гамільтоніаном H.
- 14.4: Приклади гамільтонової механіки
- Я зроблю два приклади гамільтонівськими методами - простий гармонічний осцилятор і мило ковзає в конічному басейні. Обидві є консервативними системами, і ми можемо записати гамільтоніан як T+V, але нам потрібно пам'ятати, що ми розглядаємо гамільтоніан як функцію узагальнених координат і моментів.
- 14.5: Дужки Пуассона
- Дужка Пуассона є важливою двійковою операцією в гамільтоновій механіці, яка відіграє центральну роль у рівняннях руху Гамільтона, які керують еволюцією часу гамільтонової динамічної системи.
Мініатюра: Час еволюції системи однозначно визначається рівняннями Гамільтона, де H = H (q, p, t) - гамільтоніан, який часто відповідає загальній енергії системи. Для замкнутої системи це сума кінетичної і потенційної енергії в системі.