14.3: Рівняння руху Гамільтона

У класичній механіці ми можемо описати стан системи, вказавши її Лагранжа як функцію координат та їх часових темпів зміни:

$$L=L(q_{i},\dot{q}) \label{14.3.2}$$

Якщо координати і швидкості збільшуються, відповідний приріст Лагранжа дорівнює

$$dL=\sum_{i}\dfrac{\partial L}{\partial q_{i}}dq_{i}+\sum_{i}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}d\dot{q_{i}}. \label{14.3.3}$$

Визначення: узагальнені моменти

Узагальнений імпульс p _i, пов'язаний з узагальненою координатою q _i, визначається як

$$p_{i}=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}. \label{14.3.4}$$

[Ви бачили це раніше, в розділі 13.4. Пам'ятайте «необізнану координату»?]

Це випливає з рівняння руху Лагранжа (Рівняння 13.4.14)

$$\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}=\dfrac{\partial L}{\partial q_{i}} \nonumber$$

що

$$\dot{p}_{i}=\dfrac{\partial L}{\partial q_{i}}. \label{14.3.5}$$

Таким чином

$$dL=\sum_{i}\dot{p}_{i}dq_{i}+\sum_{i}p_{i}d\dot{q}_{i}. \label{14.3.1}$$

(Я навмисно нумерую це рівняння$\ref{14.3.1}$, щоб підтримувати аналогію між цим розділом та розділом 14.2.)

Однак іноді зручно змінювати основу опису стану системи від$q_{i}$ і$\dot{q_{i}}$ до$q_{i}$ і$\dot{p_{i}}$ шляхом визначення величини, яка називається гамільтоніаном,$H$ визначеною

$$H=\sum_{i}p_{i}\dot{q_{i}}-L. \label{14.3.6}$$

Визначення: гамільтоніан

У тому випадку, якщо стан системи змінюється, то

$$\begin{align*} dH&=\sum_{i}p_{i}d\dot{q_{i}}+\sum_{i}\dot{q_{i}}dp_{i}-dL \label{14.3.7} \\[5pt] &=\sum_{i}p_{i}d\dot{q_{i}}+\sum_{i}\dot{q_{i}}dp_{i}-\sum_{i}\dot{p_{i}}dq_{i}-\sum_{i}p_{i}d\dot{q_{i}} \label{14.3.8} \end{align*}$$

Тобто

$$dH=\sum_{i}\dot{q_{i}}dp_{i}-\sum_{i}\dot{p_{i}}dq_{i}. \label{14.3.9}$$

Ми розглядаємо гамільтоніан як функцію узагальнених координат та узагальнених моментів:

$$H=H(q_{i},p_{i}) \label{14.3.10}$$

щоб

$$dH=\sum_{i}\dfrac{\partial H}{\partial q_{i}}dq_{i}+\sum_{i}\dfrac{\partial H}{\partial p_{i}}dp_{i}, \label{14.3.11}$$

з якого ми бачимо, що

$$-\dot{p}_{i}=\dfrac{\partial H}{\partial q_{i}} \label{14.3.12}$$

і

$$\dot{q}_{i}=\dfrac{\partial H}{\partial p_{i}} \label{14.3.13}$$

Підсумовуючи, то$\ref{14.3.4}$, Рівняння$\ref{14.3.5}$,$\ref{14.3.12}$ і$\ref{14.3.13}$:

$$p_{i}=\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q_{i}}} \label{A}$$

$$\dot{p_{i}}=\dfrac{\partial L}{\partial q_{i}} \label{B}$$

$$- \dot{p_{i}}=\dfrac{\partial H}{\partial q_{i}} \label{C}$$

$$\dot{q_{i}}=\dfrac{\partial H}{\partial p_{i}} \label{D}$$

які я особисто вважаю неможливим точно передати пам'яті (хоча зауважте, що в кожному рівнянні є одна точка), за винятком випадків, коли їх часто використовують, може розглядатися як рівняння руху Гамільтона. Я буду називати ці рівняння як A, B, C і D.

Зауважте, що в Equation\ ref {B}, якщо Лагранж не залежить від координати, координата$q_{i}$ називається «неминучою координатою».$q_{i}$ Я вважаю, що це називається «неосвіченим», тому що ви можете ігнорувати його при обчисленні лагранжа, але насправді так звана «невігласна» координата, як правило, є дуже цікавою координатою, оскільки це означає (подивіться на друге рівняння), що відповідний узагальнений імпульс зберігається.

Тепер кінетична енергія системи задається$T=\dfrac{1}{2}\sum_{i}p_{i}\dot{q_{i}}$ (наприклад,$\dfrac{1}{2}m\nu\nu$), а гамільтоніан (Рівняння$\ref{14.3.6}$) визначається як$H=\sum_{i}p_{i}\dot{q_{i}}-L$. Для консервативної системи$L=T-V$, а значить, і для консервативної системи,$H=T+V$. Якщо вас попросять в експертизі пояснити, що мається на увазі під гамільтоніаном, неодмінно скажіть, що це так$T+V$. Це добре для консервативної системи, і ви, ймовірно, отримаєте половину оцінок. Це 50% - клас D, і ви пройшли. Якщо ви хочете A+, однак, я рекомендую рівняння$\ref{14.3.6}$.