14.3: Рівняння руху Гамільтона

У класичній механіці ми можемо описати стан системи, вказавши її Лагранжа як функцію координат та їх часових темпів зміни:

\[ L=L(q_{i},\dot{q}) \label{14.3.2} \]

Якщо координати і швидкості збільшуються, відповідний приріст Лагранжа дорівнює

\[ dL=\sum_{i}\dfrac{\partial L}{\partial q_{i}}dq_{i}+\sum_{i}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}d\dot{q_{i}}. \label{14.3.3} \]

Визначення: узагальнені моменти

Узагальнений імпульс p _i, пов'язаний з узагальненою координатою q _i, визначається як

\[ p_{i}=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}. \label{14.3.4} \]

[Ви бачили це раніше, в розділі 13.4. Пам'ятайте «необізнану координату»?]

Це випливає з рівняння руху Лагранжа (Рівняння 13.4.14)

\[ \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}=\dfrac{\partial L}{\partial q_{i}} \nonumber \]

що

\[ \dot{p}_{i}=\dfrac{\partial L}{\partial q_{i}}. \label{14.3.5} \]

Таким чином

\[ dL=\sum_{i}\dot{p}_{i}dq_{i}+\sum_{i}p_{i}d\dot{q}_{i}. \label{14.3.1} \]

(Я навмисно нумерую це рівняння\( \ref{14.3.1}\), щоб підтримувати аналогію між цим розділом та розділом 14.2.)

Однак іноді зручно змінювати основу опису стану системи від\( q_{i}\) і\( \dot{q_{i}}\) до\( q_{i}\) і\( \dot{p_{i}}\) шляхом визначення величини, яка називається гамільтоніаном,\( H\) визначеною

\[ H=\sum_{i}p_{i}\dot{q_{i}}-L. \label{14.3.6} \]

Визначення: гамільтоніан

У тому випадку, якщо стан системи змінюється, то

\[ \begin{align*} dH&=\sum_{i}p_{i}d\dot{q_{i}}+\sum_{i}\dot{q_{i}}dp_{i}-dL \label{14.3.7} \\[5pt] &=\sum_{i}p_{i}d\dot{q_{i}}+\sum_{i}\dot{q_{i}}dp_{i}-\sum_{i}\dot{p_{i}}dq_{i}-\sum_{i}p_{i}d\dot{q_{i}} \label{14.3.8} \end{align*} \]

Тобто

\[ dH=\sum_{i}\dot{q_{i}}dp_{i}-\sum_{i}\dot{p_{i}}dq_{i}. \label{14.3.9} \]

Ми розглядаємо гамільтоніан як функцію узагальнених координат та узагальнених моментів:

\[ H=H(q_{i},p_{i}) \label{14.3.10} \]

щоб

\[ dH=\sum_{i}\dfrac{\partial H}{\partial q_{i}}dq_{i}+\sum_{i}\dfrac{\partial H}{\partial p_{i}}dp_{i}, \label{14.3.11} \]

з якого ми бачимо, що

\[ -\dot{p}_{i}=\dfrac{\partial H}{\partial q_{i}} \label{14.3.12} \]

і

\[ \dot{q}_{i}=\dfrac{\partial H}{\partial p_{i}} \label{14.3.13} \]

Підсумовуючи, то\( \ref{14.3.4}\), Рівняння\( \ref{14.3.5}\),\( \ref{14.3.12}\) і\( \ref{14.3.13}\):

\[ p_{i}=\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q_{i}}} \label{A} \]

\[ \dot{p_{i}}=\dfrac{\partial L}{\partial q_{i}} \label{B} \]

\[ - \dot{p_{i}}=\dfrac{\partial H}{\partial q_{i}} \label{C} \]

\[ \dot{q_{i}}=\dfrac{\partial H}{\partial p_{i}} \label{D} \]

які я особисто вважаю неможливим точно передати пам'яті (хоча зауважте, що в кожному рівнянні є одна точка), за винятком випадків, коли їх часто використовують, може розглядатися як рівняння руху Гамільтона. Я буду називати ці рівняння як A, B, C і D.

Зауважте, що в Equation\ ref {B}, якщо Лагранж не залежить від координати, координата\( q_{i}\) називається «неминучою координатою».\( q_{i}\) Я вважаю, що це називається «неосвіченим», тому що ви можете ігнорувати його при обчисленні лагранжа, але насправді так звана «невігласна» координата, як правило, є дуже цікавою координатою, оскільки це означає (подивіться на друге рівняння), що відповідний узагальнений імпульс зберігається.

Тепер кінетична енергія системи задається\( T=\dfrac{1}{2}\sum_{i}p_{i}\dot{q_{i}}\) (наприклад,\( \dfrac{1}{2}m\nu\nu\)), а гамільтоніан (Рівняння\( \ref{14.3.6}\)) визначається як\( H=\sum_{i}p_{i}\dot{q_{i}}-L\). Для консервативної системи\( L=T-V\), а значить, і для консервативної системи,\( H=T+V\). Якщо вас попросять в експертизі пояснити, що мається на увазі під гамільтоніаном, неодмінно скажіть, що це так\( T+V\). Це добре для консервативної системи, і ви, ймовірно, отримаєте половину оцінок. Це 50% - клас D, і ви пройшли. Якщо ви хочете A+, однак, я рекомендую рівняння\( \ref{14.3.6}\).