13.9: Варіаційний принцип Гамільтона

Варіаційний принцип Гамільтона в динаміці трохи нагадує принцип віртуальної роботи в статиці, розглянутий в розділі 9.4 глави 9. При використанні принципу віртуальної роботи в статиці ми уявляємо початок з положення рівноваги, а потім нескінченно збільшуючи одну з координат. Розраховуємо виконану віртуальну роботу і ставимо її на нуль. Я трохи нагадав про це при обговоренні принципу Гамільтона в динаміці.

Уявіть собі якусь механічну систему — якусь штуковість, що включає в її конструкцію різні колеса, з'єднані стрижні, пружини, пружні струни, маятники, похилі площини, напівсферичні чаші та сходи, що спираються на гладкі вертикальні стіни і гладкі горизонтальні підлоги. Це може зажадати$N$ generalized coordinates to describe its configuration at any time. Its configuration could be described by the position of a point in $N$-dimensional space. Or perhaps it is subject to $k$ holonomic constraints – in which case the point that describes its configuration in $N$-dimensional space is not free to move anywhere in that space, but is constrained to slither around on a surface of dimension $N-k$.

Система не статична, але розвивається. Вона змінюється від якогось початкового стану в той час$t_{1}$ to some final state at time $t_{2}$. The generalized coordinates that describe it are changing with time – and the point in $N$-space is slithering round on its surface of dimension $N-k$. Можна уявити, що в будь-який момент часу можна обчислити її кінетичну енергію$T$ and its potential energy $V$, and hence its lagrangian $L=T-V$. Ви можете помножити,$L$ at some moment by a small time interval $\delta t$ а потім скласти всі ці продукти між$t_{1}$ and $t_{2}$ to form the integral

$$\int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt. \nonumber$$

Цю величину — розмірності ML ² T ^{- 1} та одиниці SI J s — іноді називають «дією». Існує багато різних способів, за допомогою яких ми можемо уявити собі, що система еволюціонує від початкового стану до кінцевого стану - і існує багато різних маршрутів, які ми можемо собі уявити, можуть бути прийняті нашою точкою$N$-space as its moves from its initial position to its final position, as long as it moves over its surface of dimension $N-k$. But, although we can imagine many such routes, the manner in which the system will actually evolve, and the route that the point will actually take is determined by Hamilton’s principle; and the route, according to this principle, is such that the integral $\int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt$ is a minimum, or a maximum, or an inflection point, when compared with other imaginable routes. Stated otherwise, let us suppose that we calculate $\int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt$ над фактичним маршрутом, а потім обчислити варіацію,$\int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt$ якщо система повинна була рухатися по дещо іншому сусідньому шляху. Тоді (а ось аналогія з принципом віртуальної роботи в статичній задачі) ця варіація

$$\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt \nonumber$$

від чого$\int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt$ would have been over the actual route is zero. And this is Hamilton’s variational principle.

Наступні питання напевно будуть такими: чи можна використовувати цей принцип для вирішення завдань в механіці? Чи можу я довести це лисе твердження? Дозвольте спробувати скористатися принципом для вирішення двох простих і звичних завдань, а потім перейдемо до більш загальної задачі.

Приклад$\PageIndex{1}$

Уявіть, що у нас є частинка, яка може рухатися в одному вимірі (тобто однієї координати$y$ above a table - наприклад, її висоти - достатньо для опису її положення), і що коли її координата$y$ its potential energy is

$$V=mgy. \label{13.9.1}$$

Її кінетична енергія - це, звичайно,

$$T=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}. \label{13.9.2}$$

Ми будемо використовувати варіаційний принцип, щоб знайти рівняння руху - тобто ми знайдемо вираз для його прискорення. Я думаю, що на даний момент ви не уявляєте, яким може бути його прискорення - але не хвилюйтеся, бо ми знаємо, що лагранж

$$L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-mgy, \label{13.9.3}$$

і ми зробимо коротку роботу з варіаційним принципом Гамільтона і незабаром знайдемо прискорення. Відповідно до цього принципу,$y$ must vary with $t$ in such a manner that

$$m\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}(\frac{1}{2}\dot{y}^{2}-gy)dt=0. \label{13.9.4}$$

Давайте варіюємо$\dot{y}$ by $\delta \dot{y}$ and $y$ by $\delta y$ see how the integral varies.

Інтеграл тоді

$$m\int_{t_{1}}^{t_{2}}(\dot{y}\delta\dot{y}-g\delta y)dt, \label{13.9.5}$$

який я буду називати$I_{1}-I_{2}$.

Зараз$\dot{y}=\frac{dy}{dt}$ and if $y$ varies by $\delta y$, the resulting variation in $\dot{y}$ will be $\delta\dot{y}=\frac{d}{dt}\delta y$, or $\delta\dot{y}dt=d\delta y$.

Тому

$$I_{1}=m\int_{t_{1}}^{t_{2}}\dot{y}d\delta y. \label{13.9.6}$$

(Якщо не переконалися в цьому, розгляньте$\int e^{t}\cos tdt=\int e^{t}\frac{d}{dt}\sin tdt=\int e^{t}d\sin t$.)

За інтеграції по частинам:

$$I_{1}=[m \dot{y} \delta y]_{t_{1}}^{t_{2}}-m\int_{t_{1}}^{t_{2}}\delta yd\dot{y}. \label{13.9.10}$$

Перший член дорівнює нулю, оскільки варіація дорівнює нулю в початковій і кінцевій точках. У другому семестрі$d\dot{y}=\ddot{y}dt$ and therefore

$$I_{1}=-m\int_{t_{1}}^{t_{2}}\ddot{y}\delta ydt \label{13.9.11}$$

$$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt=-m\int_{t_{1}}^{t_{2}}(\ddot{y}+g)\delta ydt, \label{13.9.12}$$

і, щоб це було нуль, ми повинні мати

$$\ddot{y}=-g. \label{13.9.13}$$

Це рівняння руху, яке ми шукали. Ви б ніколи не здогадалися про це, чи не так?

Тепер давайте зробимо ще одну одновимірну задачу.

Приклад$\PageIndex{2}$

Тільки одна координата,$x$, describes the particle’s position, and, when its coordinate is $x$ we’ll suppose that its potential energy is $V=\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$ and its kinetic energy is, of course, $T=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}$. Рівняння руху, або спосіб, в якому прискорення змінюється залежно від положення, повинні бути такими, щоб задовольнити

$$\frac{1}{2}m\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}(\dot{x}^{2}-\omega^{2}x^{2})dt=0. \label{13.9.14}$$

Якщо ми варіюємося$\dot{x}$ by $\delta\dot{x}$ and $x$ by $\delta x$ the variation in the integral will be

$$m\int_{t_{1}}^{t_{2}}(\dot{x}\delta\dot{x}-\omega^{2}x\delta x)dt=I_{1}-I_{2}. \label{13.9.15}$$

Точно таким же аргументом, як і раніше, перший інтеграл виявляється$-m\int_{t_{1}}^{t_{2}}\ddot{x}\delta x\,dt$

Тому

$$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt=-m\int_{t_{1}}^{t_{2}}\ddot{x}\delta x\,dt-m\omega^{2}\int_{t_{1}}^{t_{2}}x\delta x\,dt, \label{13.9.16}$$

і, щоб це було нуль, ми повинні мати

$$\ddot{x}=-\omega^{2}x. \label{13.9.17}$$

Ці два приклади, мабуть, створили враження, що ми робимо щось дуже складне, щоб вивести щось, що є одразу очевидним - але приклади були лише призначені для того, щоб показати напрямок більш загального аргументу, який ми збираємося зробити.

Цього разу ми розглянемо дуже загальну систему, в якій запишемо лагранжа як функцію (декількох) узагальнених координат і їх часових скорочень зміни - тобто.$L=L(q_{i},\dot{q_{i}})$ - without specifying any particular form of the function – and we’ll carry out the same sort of argument to derive a very general equation of motion.

У нас є

$$\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\delta L dt=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sum_{i}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\delta q_{i}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\delta \dot{q_{i}}\right)dt=0. \label{13.9.18}$$

Як і раніше,$\delta \dot{q_{i}}=\frac{d}{dt}\delta q_{i}$ so that

$$\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\delta \dot{q_{i}}dt=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}} \frac{d}{dt}\delta q_{i}dt=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}} d\delta q_{i}=\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\delta q_{i}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\delta q_{i}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}dt \label{13.9.19}$$

$$\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sum_{i} \left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\right)\delta q_{i}dt=0. \label{13.9.20}$$

Таким чином, ми приходимо до загального рівняння руху.

$$\frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\right)=0. \label{13.9.21}$$

Таким чином, ми вивели рівняння руху Лагранжа з варіаційного принципу Гамільтона, і це дійсно так часто виводиться. Однак у цьому розділі я вивів рівняння Лагранжа абсолютно незалежно, і тому я б розцінював це виведення не стільки як доказ рівняння Лагранжа, скільки як підтвердження правильності варіаційного принципу Гамільтона.