14.5: Дужки Пуассона

Дозволяти\( f\) і\( g\) бути функції узагальнених координат і моментів. Подумайте перш за все про одну координату\( q_{i}\), скажімо, і її\( p_{i}\) сполучений імпульс (визначається, ви можете пам'ятати, як\( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\)). Я зараз задаю питання: це те\( \frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial g}{\partial p_{i}}\) ж саме, що\( \frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial g}{\partial q_{i}}\)?

Подумавши про це, ви напевно скажете щось на кшталт: Ну, смію сказати, що ви могли б знайти дві функції такі, що це так, але я не розумію, чому це повинно бути так для будь-яких двох довільних функцій. Якщо це те, що ви думали, ви подумали правильно. Пари функцій такі, що ці два вирази рівні, мають особливе значення. І пари функцій, такі, що ці два вирази не рівні, також мають особливе значення.

Дужка Пуассона двох функцій координат і моментів визначається як

\[ [f,g] \quad = \quad \sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial g}{\partial p_{i}}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial g}{\partial q_{i}}\right) \label{14.5.1} \]

(Дужки Пуассона іноді записуються як фігурні дужки - тобто {}. Я не впевнений, що брекети {} або дужки [] є простолюдином. Я вибрав тут дужки, щоб мені не довелося називати їх брекетами Пуассона.)

Дужки Пуассона мають важливе застосування в небесній механіці та в квантовій механіці. У небесній механіці вони використовуються в розробках планетарних рівнянь Лагранжа, які використовуються для обчислення збурень елементів планетарних орбіт при малих відхиленнях від ідеальних двотільних орбіт точка-джерело. Див., наприклад, главу 14 Небесної Механіки набору цих нот. Читачі, які пройшли вступний курс з квантової механіки, можливо, натрапили на комутатор двох операторів, і будуть (або повинні!) зрозуміти значення двох операторів, які їздять на роботу. (Це означає, що можна знайти функцію, яка одночасно є власною функцією обох операторів.) Можливо, ви не думали про комутатор як про дужку Пуассона, але незабаром ви це зробите.

Давайте припустимо (тому що це не робить жодної істотної різниці), що існує лише одна узагальнена координата та її сполучений узагальнений імпульс, так що дужка Пуассона просто

\[ [f,g] \quad = \quad \frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}. \label{14.5.2} \]

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Тепер давайте припустимо\( q\), що\( f\) це просто, координата, і\( g\) це гамільтоніан\( H\), який визначається, ви будете згадувати, як\( p\dot{q}-L\), і є функцією координати і імпульсу. Що, тоді брекет Пуассона\( [q,H]\)?

Рішення

\[ [q,H] \quad = \quad \frac{\partial q}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial q}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}. \label{14.5.3} \]

Координата та імпульс є незалежними змінними, так що\( \frac{\partial q}{\partial p}\) це нуль, тому другий член на правій стороні Рівняння\( \ref{14.5.3}\) дорівнює нулю. У першому семестрі на правій стороні,\( \frac{\partial q}{\partial q}\) звичайно, 1, і\( \frac{\partial H}{\partial p}\), за рівняннями руху Гамільтона, є\( \dot{q}\). Таким чином, відповідь

\[ [q,H]=\dot{q}. \label{14.5.4} \]

У подібному ключі ви знайдете (DO IT!!) що

\[ [p,H]=\dot{p} \label{14.5.5} \]

Таким чином, ні узагальнена координата, ні узагальнений імпульс не комутуються з гамільтоном.

Тепер підемо трохи далі, і припустимо, що існує більше однієї координати і більше одного імпульсу. Два зроблять, щоб

\[ [f,g]=\frac{\partial f}{\partial q_{1}}\frac{\partial g}{\partial p_{1}}-\frac{\partial f}{\partial p_{1}}\frac{\partial g}{\partial q_{1}}+\frac{\partial f}{\partial q_{2}}\frac{\partial g}{\partial p_{2}}-\frac{\partial f}{\partial p_{2}}\frac{\partial g}{\partial q_{2}} \label{14.5.6} \]

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Чи можете ви показати, що:

\[ [p_{1},p_{2}]=[q_{1},q_{2}]=[p_{1},q_{2}]=[q_{1},p_{2}]=0;\quad[q_{1},p_{1}]=1.? \label{14.5.7} \]

Я не буду йти далі, ніж це тут, тому що це займе нас занадто далеко в квантову механіку. Однак ті читачі, які зробили деяку вступну квантову механіку, можуть згадати, що існують різні пари операторів, які роблять або не їздять на роботу, і тепер можуть почати оцінювати зв'язок між дужками Пуассона певних пар спостережуваних величин і комутатором операторів. що представляють ці величини. Для прикладу розглянемо останній з них. Це показує, що така координата, як,\( x\) не їздить з відповідним імпульсом\( p_{x}\). Немає нічого більш впевненого в цьому. Настільки впевнено, що його слід називати принципом визначеності Гейзенберга. Але чомусь людям часто здається, що квантову механіку представляють як щось невпевнене або загадкове, тоді як насправді в ній взагалі немає нічого невизначеного або загадкового.