14.4: Приклади гамільтонової механіки

Я зроблю два приклади гамільтонівськими методами - простий гармонічний осцилятор і мило ковзає в конічному басейні. Обидві консервативні системи, і ми можемо записати гамільтоніан як\( T+V\), але ми повинні пам'ятати, що ми розглядаємо гамільтоніан як функцію узагальнених координат і моментів. Таким чином, ми, як правило, запишемо поступальну кінетичну енергію як,\( \frac{p^{2}}{(2m)}\) а не як\( \frac{1}{2}m\nu^{2}\), а обертальну кінетичну енергію,\( \frac{L^{2}}{(2I)}\) а не як\( \frac{1}{2}I\omega^{2}\)

Простий гармонійний генератор

Потенційна енергія є\( \frac{1}{2}kx^{2}\), тому гамільтоніан

\[ H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}. \nonumber \]

З рівняння D ми знаходимо те\( \dot{x}=\frac{p}{m}\), з якого, шляхом диференціації щодо часу,\( \dot{p}=m\ddot{x}\). І з рівняння С, ми знаходимо, що\( \dot{p}=-kx\). Звідси отримуємо рівняння руху\( m\ddot{x}=-kx\).

конічний таз

Ми посилаємося на Розділ 13.6:

\[ T=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}^{2}) \nonumber \]

\[ V=mgr\cos\alpha \nonumber \]

\[ L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}^{2})-mgr\cos\alpha \nonumber \]

\[ L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}^{2})+mgr\cos\alpha \nonumber \]

Але в гамільтонівському формулюванні ми повинні написати гамільтоніан з термінами узагальнених моментів, і нам потрібно знати, що вони є. Ми можемо отримати їх з лагранжа та рівняння А, застосованого до кожної координати по черзі. Таким чином

\[ P_{r}=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r} \label{14.4.1} \]

і

\[ P_{\phi}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}=mr^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}. \label{14.4.2} \]

Таким чином, гамільтоніан є

\[ H=\frac{P_{r}^{2}}{2m}+\frac{p_{\phi}^{2}}{2mr^{2}\sin^{2}\alpha}+mgr\cos\alpha. \label{14.4.3} \]

Тепер ми можемо отримати рівняння руху, застосовуючи рівняння D по черзі до,\( r\)\( \phi\) а потім рівняння С по черзі до\( r\) і\( \phi\):

\[ \dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}=\frac{p_{r}}{m}, \label{14.4.4} \]

\[ \dot{\phi}=\frac{\partial H}{\partial p_{\phi}}=\frac{p_{\phi}}{mr^{2}\sin^{2}\alpha}, \label{14.4.5} \]

\[ \dot{p}_{r}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{p_{\phi}^{2}}{mr^{3}\sin^{2}\alpha}-mg\cos\alpha, \label{14.4.6} \]

\[ \dot{p_{\phi}}=\frac{\partial H}{\partial\phi}=0. \label{14.4.7} \]

Рівняння\( \ref{14.4.2}\) і\( \ref{14.4.7}\) скажіть нам, що\( mr^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}\) є постійним і, отже, що

\[ r^{2}\dot{\phi} \quad is \quad constant, =h,\quad say. \label{14.4.8} \]

Це одне з рівнянь, до якого ми прийшли з формулювання лагранжа, і воно виражає сталість моменту моменту.

\( \ref{14.4.1}\)Диференціюючи Рівняння по відношенню до часу, ми бачимо, що ліва сторона Рівняння\( \ref{14.4.6}\) є\( m\ddot{r}\). На правій стороні Рівняння\( \ref{14.4.6}\), ми маємо\( p_{\phi}\), який є постійним і рівним\( mh\sin^{2}\alpha\). Рівняння,\( \ref{14.4.6}\) отже, стає

\[ \ddot{r}=\frac{h^{2}\sin^{2}\alpha}{r^{3}}- g \cos \alpha, \label{14.4.9} \]

які ми також отримали від формулювання лагранжа.