14.4: Приклади гамільтонової механіки

Я зроблю два приклади гамільтонівськими методами - простий гармонічний осцилятор і мило ковзає в конічному басейні. Обидві консервативні системи, і ми можемо записати гамільтоніан як$T+V$, але ми повинні пам'ятати, що ми розглядаємо гамільтоніан як функцію узагальнених координат і моментів. Таким чином, ми, як правило, запишемо поступальну кінетичну енергію як,$\frac{p^{2}}{(2m)}$ а не як$\frac{1}{2}m\nu^{2}$, а обертальну кінетичну енергію,$\frac{L^{2}}{(2I)}$ а не як$\frac{1}{2}I\omega^{2}$

Простий гармонійний генератор

Потенційна енергія є$\frac{1}{2}kx^{2}$, тому гамільтоніан

$$H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}. \nonumber$$

З рівняння D ми знаходимо те$\dot{x}=\frac{p}{m}$, з якого, шляхом диференціації щодо часу,$\dot{p}=m\ddot{x}$. І з рівняння С, ми знаходимо, що$\dot{p}=-kx$. Звідси отримуємо рівняння руху$m\ddot{x}=-kx$.

конічний таз

Ми посилаємося на Розділ 13.6:

$$T=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}^{2}) \nonumber$$

$$V=mgr\cos\alpha \nonumber$$

$$L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}^{2})-mgr\cos\alpha \nonumber$$

$$L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}^{2})+mgr\cos\alpha \nonumber$$

Але в гамільтонівському формулюванні ми повинні написати гамільтоніан з термінами узагальнених моментів, і нам потрібно знати, що вони є. Ми можемо отримати їх з лагранжа та рівняння А, застосованого до кожної координати по черзі. Таким чином

$$P_{r}=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r} \label{14.4.1}$$

і

$$P_{\phi}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}=mr^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}. \label{14.4.2}$$

Таким чином, гамільтоніан є

$$H=\frac{P_{r}^{2}}{2m}+\frac{p_{\phi}^{2}}{2mr^{2}\sin^{2}\alpha}+mgr\cos\alpha. \label{14.4.3}$$

Тепер ми можемо отримати рівняння руху, застосовуючи рівняння D по черзі до,$r$$\phi$ а потім рівняння С по черзі до$r$ і$\phi$:

$$\dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}=\frac{p_{r}}{m}, \label{14.4.4}$$

$$\dot{\phi}=\frac{\partial H}{\partial p_{\phi}}=\frac{p_{\phi}}{mr^{2}\sin^{2}\alpha}, \label{14.4.5}$$

$$\dot{p}_{r}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{p_{\phi}^{2}}{mr^{3}\sin^{2}\alpha}-mg\cos\alpha, \label{14.4.6}$$

$$\dot{p_{\phi}}=\frac{\partial H}{\partial\phi}=0. \label{14.4.7}$$

Рівняння$\ref{14.4.2}$ і$\ref{14.4.7}$ скажіть нам, що$mr^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}$ є постійним і, отже, що

$$r^{2}\dot{\phi} \quad is \quad constant, =h,\quad say. \label{14.4.8}$$

Це одне з рівнянь, до якого ми прийшли з формулювання лагранжа, і воно виражає сталість моменту моменту.

$\ref{14.4.1}$Диференціюючи Рівняння по відношенню до часу, ми бачимо, що ліва сторона Рівняння$\ref{14.4.6}$ є$m\ddot{r}$. На правій стороні Рівняння$\ref{14.4.6}$, ми маємо$p_{\phi}$, який є постійним і рівним$mh\sin^{2}\alpha$. Рівняння,$\ref{14.4.6}$ отже, стає

$$\ddot{r}=\frac{h^{2}\sin^{2}\alpha}{r^{3}}- g \cos \alpha, \label{14.4.9}$$

які ми також отримали від формулювання лагранжа.