Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13: Механіка Лагранжа

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75760

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Іноді знайти рівняння руху не так просто, і існує альтернативний підхід, відомий як механіка лагранжа, який дозволяє нам знайти рівняння руху, коли ньютонівський метод виявляється важким. У механіці лагранжа починаємо, як зазвичай, з малювання великої чіткої схеми системи, використовуючи лінійку і циркуль. Але, замість того, щоб малювати сили і прискорення червоними і зеленими стрілками, синіми стрілками малюємо вектори швидкостей (включаючи кутові швидкості), і, з них записуємо кінетичну енергію системи. Якщо сили - консервативні сили (гравітація, пружини і натягнуті струни), записуємо ще й потенційну енергію. Після цього наступний крок - записати лагранжеві рівняння руху для кожної координати. Ці рівняння включають кінетичну та потенційну енергії, і вони трохи більше залучені\(F=ma\), ніж, хоча вони досягають однакових результатів.

    • 13.1: Вступ до механіки Лагранжа
      Я виведу лагранжеві рівняння руху, і поки я це роблю, ви будете думати, що хід дуже важкий, і ви будете зневірені. Наприкінці деривації ви побачите, що лагранжеві рівняння руху дійсно більш залучені, ніж F = ma, і ви почнете впадати у відчай - але не робіть цього! Через дуже короткий час після цього ви зможете вирішити складні завдання в механіці, які ви не змогли б почати використовувати звичні ньютонівські методи.
    • 13.2: Узагальнені координати та узагальнені сили
      Стан молекули може описуватися низкою параметрів, наприклад, довжиною зв'язку та кутами). Ці довжини зв'язків і кути зв'язку складають набір координат, які описують молекулу. Ми не будемо думати про якусь конкретну систему координат або набір координат. Швидше, ми будемо думати про узагальнені координати, які можуть бути довжинами або кутами або різними їх комбінаціями.
    • 13.3: голономічні обмеження
      Стан системи в будь-який момент може бути представлено однією точкою в 3N -вимірному просторі. Однак у багатьох системах частинки можуть не вільно блукати в будь-якому місці за бажанням; вони можуть піддаватися різним обмеженням. Обмеження, яке можна описати рівнянням, що стосується координат (а можливо, і часу), називається голономічним обмеженням, а рівняння, яке описує обмеження, є голономічним рівнянням.
    • 13.4: Рівняння руху Лагранжа
      Отже, тепер ми вивели рівняння руху Лагранжа. Це була важка боротьба, і врешті-решт ми отримали три варіанти рівняння, які в даний час виглядають досить марно. Але з цього моменту все стає простіше, і ми швидко бачимо, як використовувати рівняння і виявляємо, що вони дійсно дуже корисні.
    • 13.5: Компоненти прискорення
      Радіальні та поперечні складові швидкості та прискорення в двовимірних координатах отримані за допомогою рівняння руху Лагранжа.
    • 13,6: ковзаюче мило в конічному басейні
      Ми уявляємо слизький (без тертя) брусок мила, що ковзає навколо в конічному тазу.
    • 13,7: ковзаюче мило в напівсферичному басейні
      Припустимо, що таз має радіус а і мило підпорядковується голономічному обмеженню r=a - тобто, що воно залишається в контакті з басейном в усі часи. Зауважте також, що це точно таке ж обмеження маятника вільно гойдатися в тривимірному просторі, за винятком того, що він підлягає голономічному обмеженню, що рядок бути натягнутою в усі часи. Таким чином, будь-які висновки, які ми робимо щодо нашого мила, також будуть справедливі для маятника.
    • 13.8: Більше прикладів механіки Лагранжа
      Більше прикладів використання механіки Лагранжа для вирішення завдань.
    • 13.9: Варіаційний принцип Гамільтона
      Варіаційний принцип Гамільтона в динаміці трохи нагадує принцип віртуальної роботи в статиці. При використанні принципу віртуальної роботи в статиці ми уявляємо початок з положення рівноваги, а потім нескінченно збільшуючи одну з координат. Розраховуємо виконану віртуальну роботу і ставимо її на нуль. Я трохи нагадав про це при обговоренні принципу Гамільтона в динаміці.

    Мініатюра: Простий маятник. Так як стрижень жорсткий, положення боб обмежено за рівнянням f (x, y) =0, сила обмеження дорівнює C, а одна ступінь свободи може бути описана однією узагальненою координатою (тут кут тета). (Громадське надбання; Maschen).