12.3: Електричний аналог

Припустимо, що змінна різниця потенціалів$E=\hat{E}\sin\omega t$ застосовується по ланцюгу LCR. Ми посилаємося на рівняння 11.6.3, і ми бачимо, що рівняння, яке регулює заряд на конденсаторі, є

$$L\ddot{Q}+R\dot{Q}+\frac{Q}{C}=\hat{E}\sin\omega t. \label{12.3.1}$$

Ми можемо диференціювати обидві сторони щодо часу, і розділити на$L$, а отже, бачити, що струм дається

$$\ddot{I}+\frac{R}{L}\dot{I}+\frac{1}{LC}I=\frac{\hat{E}\omega}{L}\cos\omega t. \label{12.3.2}$$

Ми можемо порівняти це безпосередньо з рівняння 12.2.2, так що у нас є

$$\gamma = \frac{R}{L},\quad \omega_{0}^{2}=\frac{1}{\sqrt{LC}},\quad \hat{f}=\frac{\hat{E}\omega}{L}. \label{12.3.3}$$

Тоді, в порівнянні з рівнянням 12.2.5, ми бачимо, що я буду відставати$E$ на$\alpha$, де

$$\tan\alpha =\frac{\frac{R\omega}{L}}{\frac{1}{LC}-\omega^{2}}=\frac{R}{\frac{1}{C\omega}-L\omega}. \label{12.3.4}$$

Це якраз те, що ми отримуємо з більш звичного комплексного підходу до ланцюгів змінного струму.