13.4: Рівняння руху Лагранжа

Цей розділ може бути жорстким - але не відкладайте його. Я обіцяю, що після того, як ми перейдемо до цього розділу, все буде легко. Але в цьому розділі мені не подобаються всі ці підсумки та індекси більше, ніж ви.

Припустимо, що у нас є система$N$ частинок, і що сила$i$ на частку ($i=1$до$N$) є$\bf{F}_{i}$. Якщо частка піддається зміщенню$\delta\bf{r}_{i}$, то загальна робота, виконана над системою$\sum_{i}\bf{F}_{i}\cdot\partial\bf{r}_{i}$.$i$ $\bf{r}$Вектор положення частинки може бути записаний як функція її узагальнених координат; а зміна$\bf{r}$ може бути виражена через зміни узагальнених координат. Таким чином, загальна робота, виконана над системою, становить

$$\sum_{i}\bf{F}_{i}\cdot\sum_{j}\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\delta q_{j} \label{13.4.1}$$

які можуть бути написані

$$\sum_{j}\sum_{i}\bf{F}_{i}\cdot\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\delta q_{j}. \label{13.4.2}$$

Але за визначенням узагальненої сили робота, виконана над системою також

$$\sum_{j}P_{j}\cdot\delta q_{j}. \label{13.4.3}$$

Таким чином, узагальнена сила,$P_{j}$ пов'язана з узагальненою$q_{j}$ координатою, задається

$$P_{j}=\sum_{i}\bf{F}_{i}\cdot\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}. \label{13.4.4}$$

Тепер$\bf{F}_{i}=m_{i}\ddot{r}_{i}$, щоб

$$P_{j}=\sum_{i} m_{i}\ddot{r}_{i}\cdot\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}. \label{13.4.5}$$

Також

$$\dfrac{d}{dt} \left(\dot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\right)=\ddot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}+ \dot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\right). \label{13.4.6}$$

Замініть$\ddot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}$ з рівняння$\ref{13.4.6}$ в рівняння$\ref{13.4.5}$ для отримання

$$P_{j}=\sum_{i}m_{i} \left[\dfrac{d}{dt} \left(\dot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{\partial \bf{r}_{i}}{\partial q_{j}} \right)-\dot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\right) \right]. \label{13.4.8}$$

Зараз

$$\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}}=\frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}} \label{assert1}$$

і

$$\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\right)=\frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_{i}}{\partial q_{j}}. \label{assert2}$$

Тому

$$P_{j}=\sum_{i} m_{i}\left[\frac{d}{d t}\left(\dot{\mathbf{r}}_{i} \cdot \frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\dot{\mathbf{r}}_{i} \cdot\left(\frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_{i}}{\partial q_{j}}\right)\right] \label{conclusion}$$

Можливо, вас не відразу влаштовують твердження в Equations\ ref {assert1} і\ ref {assert2}, тому я коротко перерву потік тут прикладом, щоб спробувати обґрунтувати ці твердження і зрозуміти, що вони означають.

Розглянемо співвідношення між координатою$x$ і сферичними координатами$r,\theta, \phi$:

$$x=r\sin\theta\cos\phi \label{A1}\tag{A1}$$

У цьому прикладі,$x$ буде відповідати одному з компонентів$\bf{r}_{i}$, і$r, \theta, \phi$ є$q_{1},q_{2},q_{3}$_.

З$\ref{A1}$ Рівняння ми легко виводимо

$$\begin{align*} \dfrac{\partial x}{\partial r}&=\sin\theta\cos\phi \tag{A2.1} \\[4pt] \dfrac{\partial x}{\partial\theta} &=r\cos\theta\cos\phi \tag{A2.2} \\[4pt] \dfrac{\partial x}{\partial \phi}&=-r\sin\theta\sin\phi \label{A2}\tag{A2.3} \end{align*}$$

і$\ref{A1}$ диференціюючи рівняння щодо часу, отримаємо

$$\dot{x}=\dot{r}\sin\theta\cos\phi+r\cos{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-r\sin\theta\sin\phi\dot{\phi} \label{A3}\tag{A3}$$

І з цього ми бачимо, що

$$\begin{align*} \dfrac{\partial\dot{x}}{\partial\dot{r}} &=\sin\theta\cos\phi \tag{A4.1} \\[4pt] \dfrac{\partial\dot{x}}{\partial\dot{\theta}} &=r\cos\theta\cos\phi \tag{A4.2} \\[4pt] \dfrac{\partial\dot{x}}{\partial\dot{\phi}} &=-r\sin\theta\sin\phi \label{A4}\tag{A4.3} \end{align*}$$

Таким чином, перше твердження виправдано в цьому прикладі, і я думаю, ви побачите, що це завжди буде вірно незалежно від того, яка$\bf{r}_{i}$ функціональна залежність від$q_{j}$.

Для другого твердження розглянемо

$$\dfrac{\partial x}{\partial r}=\sin\theta\cos\phi \tag{A5}$$

і, отже,

$$\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta\dot{\theta}\cos\phi-\sin\theta\sin\phi\dot{\phi}. \label{A5}\tag{A6}$$

З Рівняння$\ref{A3}$ ми знаходимо, що

$$\dfrac{\partial \dot{x}}{\partial r}=\cos\theta\dot{\theta}\cos\phi-\sin\theta\sin\phi\dot{\phi}, \tag{A7}$$

і друге твердження виправдано. Знову ж таки, я думаю, ви побачите, що це завжди буде правдою незалежно від того, яка$\bf{r}_{i}$ функціональна залежність від$q_{j}$.

Кінетична$T$ енергія

$$T=\sum_{i}\dfrac{1}{2}m_{i}\dot{r}_{i}^{2}=\sum_{i}\dfrac{1}{2}m_{i}\dot{\bf{r}}_{i}\cdot\dot{\bf{r}}_{i} \label{13.4.9}$$

Тому

$$\dfrac{\partial T}{\partial q_{j}}=\sum_{i}m_{i}\dot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{\partial \dot{\bf{r}}_{i}}{\partial q_{j}} \label{13.4.10}$$

і

$$\dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}=\sum_{i}m_{i}\dot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{\partial \dot{\bf{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}. \label{13.4.11}$$

При заміні їх у Рівняння$\ref{conclusion}$ отримаємо

$$P_{j}=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\dfrac{\partial T}{\partial q_{j}}. \label{13.4.12}$$

Це одна з форм рівняння руху Лагранжа, і вона часто допомагає нам відповісти на питання, поставлене в останньому реченні розділу 13.2, а саме визначити узагальнену силу, пов'язану з заданою узагальненою координатою.

Консервативні сили

Якщо різні сили в тій чи іншій задачі консервативні (гравітація, пружини і розтягнуті струни, включаючи валентні зв'язки в молекулі), то узагальнену силу можна отримати негативом градієнта потенційної енергетичної функції — тобто$P_{j}=-\dfrac{\partial V}{\partial q_{j}}$. У такому випадку рівняння Лагранжа набуває вигляду

$$\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\dfrac{\partial T}{\partial q_{j}}=-\dfrac{\partial V}{\partial q_{j}}. \label{13.4.13}$$

З мого досвіду, це найкорисніший і найбільш часто зустрічається варіант рівняння Лагранжа.

Кількість$L=T-V$ відома як лагранж для системи, і тоді можна записати рівняння Лагранжа

$$\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}-\dfrac{\partial L}{\partial q_{j}}=0. \label{13.4.14}$$

Така форма рівняння частіше спостерігається в теоретичних обговореннях, ніж при практичному вирішенні задач. Це дає нам можливість побачити один важливий результат. Якщо для однієї з узагальнених координат$\dfrac{\partial L}{\partial q_{j}}=0$ (це може статися, якщо ні$T$ ні не$V$ залежить від$q_{j}$ - але, звичайно, це може статися, якби$\dfrac{\partial T}{\partial q_{j}}$ і$\dfrac{\partial V}{\partial q_{j}}$ були ненульовими, але рівними і протилежними за знаком), то ця узагальнена координата називається невігласна координата - імовірно тому, що її можна ігнорувати при налаштуванні лагранжа. Однак насправді це не означає, що його слід взагалі ігнорувати, адже він відразу виявляє константу руху. Зокрема, якщо$\dfrac{\partial L}{\partial q_{j}}$ = 0, то$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}$ є постійним. Буде видно, що якщо$q_{j}$ має розміри довжини,$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}$ має розміри лінійного імпульсу. А$q_{i}$ якщо кут,$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}$ має розміри кутового моменту. Похідній зазвичай$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}$ дається символ$p_{j}$ і називається узагальненим імпульсом, сполученим з узагальненою координатою$q_{j}$. Якщо$q_{j}$ є «необізнаною координатою», то$p_{j}$ є константою руху.

У кожному з рівнянь$\ref{13.4.12}$,$\ref{13.4.13}$ і$\ref{13.4.14}$ один з$q$ s має крапку над ним. Ви можете побачити, який з них є, думаючи про розміри різних термінів. Крапка має розмір T ^{- 1}.

Отже, тепер ми вивели рівняння руху Лагранжа. Це була важка боротьба, і врешті-решт ми отримали три варіанти рівняння, які в даний час виглядають досить марно. Але з цього моменту все стає простіше, і ми швидко бачимо, як використовувати рівняння і виявляємо, що вони дійсно дуже корисні.