13.4: Рівняння руху Лагранжа

Цей розділ може бути жорстким - але не відкладайте його. Я обіцяю, що після того, як ми перейдемо до цього розділу, все буде легко. Але в цьому розділі мені не подобаються всі ці підсумки та індекси більше, ніж ви.

Припустимо, що у нас є система\( N\) частинок, і що сила\( i\) на частку (\( i=1\)до\( N\)) є\( \bf{F}_{i}\). Якщо частка піддається зміщенню\( \delta\bf{r}_{i}\), то загальна робота, виконана над системою\( \sum_{i}\bf{F}_{i}\cdot\partial\bf{r}_{i}\).\( i\) \( \bf{r}\)Вектор положення частинки може бути записаний як функція її узагальнених координат; а зміна\( \bf{r}\) може бути виражена через зміни узагальнених координат. Таким чином, загальна робота, виконана над системою, становить

\[ \sum_{i}\bf{F}_{i}\cdot\sum_{j}\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\delta q_{j} \label{13.4.1} \]

які можуть бути написані

\[ \sum_{j}\sum_{i}\bf{F}_{i}\cdot\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\delta q_{j}. \label{13.4.2} \]

Але за визначенням узагальненої сили робота, виконана над системою також

\[ \sum_{j}P_{j}\cdot\delta q_{j}. \label{13.4.3} \]

Таким чином, узагальнена сила,\( P_{j}\) пов'язана з узагальненою\( q_{j}\) координатою, задається

\[ P_{j}=\sum_{i}\bf{F}_{i}\cdot\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}. \label{13.4.4} \]

Тепер\( \bf{F}_{i}=m_{i}\ddot{r}_{i}\), щоб

\[ P_{j}=\sum_{i} m_{i}\ddot{r}_{i}\cdot\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}. \label{13.4.5} \]

Також

\[ \dfrac{d}{dt} \left(\dot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\right)=\ddot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}+ \dot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\right). \label{13.4.6} \]

Замініть\( \ddot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\) з рівняння\( \ref{13.4.6}\) в рівняння\( \ref{13.4.5}\) для отримання

\[ P_{j}=\sum_{i}m_{i} \left[\dfrac{d}{dt} \left(\dot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{\partial \bf{r}_{i}}{\partial q_{j}} \right)-\dot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial\bf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\right) \right]. \label{13.4.8} \]

Зараз

\[\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}}=\frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}} \label{assert1} \]

і

\[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\right)=\frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_{i}}{\partial q_{j}}. \label{assert2} \]

Тому

\[P_{j}=\sum_{i} m_{i}\left[\frac{d}{d t}\left(\dot{\mathbf{r}}_{i} \cdot \frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\dot{\mathbf{r}}_{i} \cdot\left(\frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_{i}}{\partial q_{j}}\right)\right] \label{conclusion} \]

Можливо, вас не відразу влаштовують твердження в Equations\ ref {assert1} і\ ref {assert2}, тому я коротко перерву потік тут прикладом, щоб спробувати обґрунтувати ці твердження і зрозуміти, що вони означають.

Розглянемо співвідношення між координатою\( x\) і сферичними координатами\( r,\theta, \phi\):

\[ x=r\sin\theta\cos\phi \label{A1}\tag{A1} \]

У цьому прикладі,\( x\) буде відповідати одному з компонентів\( \bf{r}_{i}\), і\( r, \theta, \phi\) є\( q_{1},q_{2},q_{3}\)_.

З\( \ref{A1}\) Рівняння ми легко виводимо

\[\begin{align*} \dfrac{\partial x}{\partial r}&=\sin\theta\cos\phi \tag{A2.1} \\[4pt] \dfrac{\partial x}{\partial\theta} &=r\cos\theta\cos\phi \tag{A2.2} \\[4pt] \dfrac{\partial x}{\partial \phi}&=-r\sin\theta\sin\phi \label{A2}\tag{A2.3} \end{align*} \]

і\( \ref{A1}\) диференціюючи рівняння щодо часу, отримаємо

\[ \dot{x}=\dot{r}\sin\theta\cos\phi+r\cos{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-r\sin\theta\sin\phi\dot{\phi} \label{A3}\tag{A3} \]

І з цього ми бачимо, що

\[\begin{align*} \dfrac{\partial\dot{x}}{\partial\dot{r}} &=\sin\theta\cos\phi \tag{A4.1} \\[4pt] \dfrac{\partial\dot{x}}{\partial\dot{\theta}} &=r\cos\theta\cos\phi \tag{A4.2} \\[4pt] \dfrac{\partial\dot{x}}{\partial\dot{\phi}} &=-r\sin\theta\sin\phi \label{A4}\tag{A4.3} \end{align*} \]

Таким чином, перше твердження виправдано в цьому прикладі, і я думаю, ви побачите, що це завжди буде вірно незалежно від того, яка\( \bf{r}_{i}\) функціональна залежність від\( q_{j}\).

Для другого твердження розглянемо

\[ \dfrac{\partial x}{\partial r}=\sin\theta\cos\phi \tag{A5} \]

і, отже,

\[\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta\dot{\theta}\cos\phi-\sin\theta\sin\phi\dot{\phi}. \label{A5}\tag{A6} \]

З Рівняння\( \ref{A3}\) ми знаходимо, що

\[ \dfrac{\partial \dot{x}}{\partial r}=\cos\theta\dot{\theta}\cos\phi-\sin\theta\sin\phi\dot{\phi}, \tag{A7} \]

і друге твердження виправдано. Знову ж таки, я думаю, ви побачите, що це завжди буде правдою незалежно від того, яка\( \bf{r}_{i}\) функціональна залежність від\( q_{j}\).

Кінетична\( T\) енергія

\[ T=\sum_{i}\dfrac{1}{2}m_{i}\dot{r}_{i}^{2}=\sum_{i}\dfrac{1}{2}m_{i}\dot{\bf{r}}_{i}\cdot\dot{\bf{r}}_{i} \label{13.4.9} \]

Тому

\[ \dfrac{\partial T}{\partial q_{j}}=\sum_{i}m_{i}\dot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{\partial \dot{\bf{r}}_{i}}{\partial q_{j}} \label{13.4.10} \]

і

\[ \dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}=\sum_{i}m_{i}\dot{\bf{r}}_{i}\cdot\dfrac{\partial \dot{\bf{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}. \label{13.4.11} \]

При заміні їх у Рівняння\( \ref{conclusion}\) отримаємо

\[ P_{j}=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\dfrac{\partial T}{\partial q_{j}}. \label{13.4.12} \]

Це одна з форм рівняння руху Лагранжа, і вона часто допомагає нам відповісти на питання, поставлене в останньому реченні розділу 13.2, а саме визначити узагальнену силу, пов'язану з заданою узагальненою координатою.

Консервативні сили

Якщо різні сили в тій чи іншій задачі консервативні (гравітація, пружини і розтягнуті струни, включаючи валентні зв'язки в молекулі), то узагальнену силу можна отримати негативом градієнта потенційної енергетичної функції — тобто\( P_{j}=-\dfrac{\partial V}{\partial q_{j}}\). У такому випадку рівняння Лагранжа набуває вигляду

\[ \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\dfrac{\partial T}{\partial q_{j}}=-\dfrac{\partial V}{\partial q_{j}}. \label{13.4.13} \]

З мого досвіду, це найкорисніший і найбільш часто зустрічається варіант рівняння Лагранжа.

Кількість\( L=T-V\) відома як лагранж для системи, і тоді можна записати рівняння Лагранжа

\[ \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}-\dfrac{\partial L}{\partial q_{j}}=0. \label{13.4.14} \]

Така форма рівняння частіше спостерігається в теоретичних обговореннях, ніж при практичному вирішенні задач. Це дає нам можливість побачити один важливий результат. Якщо для однієї з узагальнених координат\( \dfrac{\partial L}{\partial q_{j}}=0\) (це може статися, якщо ні\( T\) ні не\( V\) залежить від\( q_{j}\) - але, звичайно, це може статися, якби\( \dfrac{\partial T}{\partial q_{j}}\) і\( \dfrac{\partial V}{\partial q_{j}}\) були ненульовими, але рівними і протилежними за знаком), то ця узагальнена координата називається невігласна координата - імовірно тому, що її можна ігнорувати при налаштуванні лагранжа. Однак насправді це не означає, що його слід взагалі ігнорувати, адже він відразу виявляє константу руху. Зокрема, якщо\( \dfrac{\partial L}{\partial q_{j}}\) = 0, то\( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\) є постійним. Буде видно, що якщо\( q_{j}\) має розміри довжини,\( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\) має розміри лінійного імпульсу. А\( q_{i}\) якщо кут,\( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\) має розміри кутового моменту. Похідній зазвичай\( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\) дається символ\( p_{j}\) і називається узагальненим імпульсом, сполученим з узагальненою координатою\( q_{j}\). Якщо\( q_{j}\) є «необізнаною координатою», то\( p_{j}\) є константою руху.

У кожному з рівнянь\( \ref{13.4.12}\),\( \ref{13.4.13}\) і\( \ref{13.4.14}\) один з\( q\) s має крапку над ним. Ви можете побачити, який з них є, думаючи про розміри різних термінів. Крапка має розмір T ^{- 1}.

Отже, тепер ми вивели рівняння руху Лагранжа. Це була важка боротьба, і врешті-решт ми отримали три варіанти рівняння, які в даний час виглядають досить марно. Але з цього моменту все стає простіше, і ми швидко бачимо, як використовувати рівняння і виявляємо, що вони дійсно дуже корисні.