Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13.1: Вступ до механіки Лагранжа

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75791

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Звичайний спосіб використання ньютонівської механіки для вирішення проблеми в динаміці полягає в першу чергу в тому, щоб намалювати велику, чітку схему системи, використовуючи лінійку і циркуль. Потім відзначте в силах на різних ділянках системи червоними стрілками і прискорення різних частин зеленими стрілками. Потім застосуйте рівняння\( F=ma\) у двох різних напрямках, якщо це двовимірна задача або в трьох напрямках, якщо це тривимірна задача, або\( \tau=I\ddot{\theta}\) якщо задіяні крутні моменти. Правильніше, якщо маса або момент інерції не є постійними, рівняння -\( F=\dot{p}\) і\( \tau=\dot{L}\). У будь-якому випадку ми приходимо до одного або декількох рівнянь руху, які є диференціальними рівняннями, які ми інтегруємо щодо простору чи часу, щоб знайти бажане рішення. Більшість з нас буде робити багато, багато проблем такого роду.

    Іноді не все так просто знайти рівняння руху, як описано вище. Існує альтернативний підхід, відомий як механіка лагранжа, який дозволяє нам знаходити рівняння руху, коли ньютонівський метод виявляється важким. У лагранжевой механіці ми починаємо, як зазвичай, з малювання великої чіткої схеми системи, використовуючи лінійку і циркуль. Але, замість того, щоб малювати сили і прискорення червоними і зеленими стрілками, синіми стрілками малюємо вектори швидкостей (включаючи кутові швидкості), і, з них записуємо кінетичну енергію системи. Якщо сили - консервативні сили (гравітація, пружини і натягнуті струни), записуємо ще й потенційну енергію. Після цього наступний крок - записати лагранжеві рівняння руху для кожної координати. Ці рівняння включають кінетичну та потенційну енергії, і вони трохи більше залучені\( F=ma\), ніж, хоча вони досягають однакових результатів.

    Я виведу лагранжеві рівняння руху, і поки я це роблю, ви будете думати, що хід дуже важкий, і ви будете зневірені. Наприкінці деривації ви побачите, що лагранжеві рівняння руху дійсно більш залучені\( F=ma\), ніж, і ви почнете впадати у відчай - але не робіть цього! Через дуже короткий час після цього ви зможете вирішити складні завдання в механіці, які ви не змогли б почати використовувати звичні ньютонівські методи, а швидкість, з якою ви це робите, буде обмежена виключно швидкістю, з якою ви зможете писати. Дійсно, вам навряд чи доведеться зупинятися і думати. Ви відразу знаєте, що вам потрібно зробити. Намалюйте схему. Відзначте вектори швидкостей. Запишіть вирази для кінетичної та потенційної енергій та застосуйте рівняння лагранжа. Це автоматично, швидко і приємно.

    До речі, коли Лагранж вперше опублікував свою чудову роботу La méchanique analytique (сучасна французька орфографія буде mécanique), він з певною гордістю зазначив у своєму вступі, що в книзі немає малюнків чи діаграм - тому що вся механіка може бути виконана аналітично — тобто з алгеброю та числення. Не всі ми, однак, такі обдаровані, як Лагранж, і ми не можемо опустити перший і дуже важливий крок малювання великої і чіткої діаграми лінійкою і циркулем і позначення всіх векторів швидкості.