4.4: Рівняння руху Лагранжа

У розділі 4.5 я хочу вивести рівняння руху Ейлера, які описують, як змінюються компоненти кутової швидкості тіла, коли крутний момент діє на нього. Виводячи рівняння Ейлера, мені зручно використовувати рівняння руху Лагранжа. Це не викличе труднощів у всіх, хто вже знайомий з механікою Лагранжа. Ті, хто не знайомий з механікою Лагранжа, можуть захотіти просто зрозуміти, з чим займаються рівняння Ейлера, і, можливо, забажають пропустити їх виведення на цьому етапі. Пізніше в цій серії я сподіваюся додати довшу главу про механіку Лагранжа, коли все буде зрозуміло (можливо). Тим часом для тих, хто не задовольняється лише прийняттям рівнянь Ейлера, але також повинен розуміти їх виведення, цей розділ дає п'ятихвилинний курс механіки Лагранжа.

Для початку я повинен ввести уявлення про узагальнених координатах і узагальнених силах.

Геометричний опис механічної системи в певний момент часу можна дати, вказавши ряд координат. Наприклад, якщо система складається лише з однієї частинки, ви можете вказати її прямокутні координати\(xyz\) або циліндричні координати\( \rho\phi z\), або сферичні координати\( r \theta \phi \). Певні теореми, які будуть розроблені, будуть однаково застосовні до будь-якої з них, тому ми можемо думати про узагальнені координати\( q_{1}q_{2}q_{3}\), які можуть означати будь-яку з прямокутної, циліндричної або сферичної множини.

У більш складній системі, наприклад багатоатомній молекулі, ви можете описати геометрію молекули в якийсь момент набором міжатомних відстаней плюс набір кутів між зв'язками. Може знадобитися досить велика кількість відстаней і кутів. Ці відстані і кути можна назвати узагальненими координатами. Зверніть увагу, що узагальнені координати не завжди повинні бути розмірності\( L\). Деякі узагальнені координати, наприклад, можуть мати розміри кута.

[Див Додаток цієї глави для короткого обговорення того, чи кут є розмірною або безрозмірною величиною.]

Хоча узагальнені координати в момент часу описують геометрію системи в один момент часу, вони самі по собі не передбачають майбутню поведінку системи.

Я зараз представляю ідею узагальнених сил. З кожною з узагальнених координат пов'язана узагальнена сила. З узагальненою\(q_i\) there is associated a corresponding generalized force \(P_i\). It is defined as follows. If, when the generalized coordinate \(q_i\) increases by \( \delta q_{i}\), the work done on the system is \( P_{i}\delta q_{i}\) then \(P_i\) is the generalized force associated with the generalized coordinate \(q_i\). For example, in our simple example of a single particle, if one of the generalized coordinates is merely the \(x\)-coordinate, the generalized force associated with \(x\) is the \(x\) координатою -складова сили, що діє на частинку.

Однак зауважте, що часто однією з узагальнених координат може бути кут. У цьому випадку узагальнена сила, пов'язана з нею, є крутним моментом, а не силою. Іншими словами, узагальнена сила не обов'язково повинна мати розміри MLT ^{- 2}.

Перш ніж перейти до опису рівнянь руху Лагранжа, нагадаємо собі, як ми вирішуємо завдання в механіці, використовуючи закон руху Ньютона. У нас може бути сходи, що спираються на гладку стіну і гладку підлогу, або циліндр, що скочується клином, гіпотенуза якого шорстка (щоб циліндр не ковзав) і гладке підставу якого вільно підкорятися третьому закону Ньютона руху на гладкому горизонтальному столі, або будь-якому з ряду подібних проблеми в механіці, які відвідують нас наші викладачі. Спосіб вирішення цих проблем виглядає наступним чином. Велику схему малюємо за допомогою олівця, лінійки і циркуля. Потім відзначаємо червоним всі сили, і відзначаємо зеленим все прискорення. Якщо задача двовимірна, пишемо\( F = ma\) в будь-яких двох напрямках; якщо це тривимірна задача, пишемо\( F = ma\) в будь-яких трьох напрямках. Як правило, це легко і просто. Іноді це здається не таким легким, як здається, і ми можемо віддати перевагу вирішувати проблему методами Лагранжа.

Для цього, як і раніше, малюємо велику схему за допомогою олівця, лінійки і циркуля. Але на цей раз ми відзначаємо синім кольором всі швидкості (включаючи кутові швидкості).

Лагранж, у Вступі до своєї книги La méchanique analytique (сучасна французька орфографія опускає h) зазначив, що діаграм взагалі не було в його книзі, оскільки вся механіка може бути виконана аналітично - звідси і назва книги. Не всі ми, однак, настільки математично обдаровані, як Лагранж, і ми не можемо обійти крок малювання великої, акуратної і чіткої схеми.

Намалювавши в швидкостях (включаючи кутові швидкості), ми тепер обчислюємо кінетичну енергію, якій в просунутих текстах часто дається символ\( T\), імовірно тому, що потенційна енергія традиційно пишеться\( U\) або\( V\). Не було б ніякої шкоди, якщо ви віддаєте перевагу писати\( E_{k}\),\( E_{p}\) і\( E\) для кінетичної, потенційної та загальної енергії. Я буду дотримуватися\( T\),\( U\) або\( V\), і\( E\).

Тепер замість того, щоб писати\( F = ma\), ми запишемо для кожної узагальненої координати рівняння Лагранжа (доказ якого чекає на більш пізню главу):

\ почати {рівняння}\\ dfrac {d} {dt}\ лівий (\ розрив {\ частковий T} {\ частковий\ точка {q} _ {i}}\ право) -\ frac {\ partial T} {\ dot {q} _ {i}} = P_ {i}\ тег {4.4.1}\ мітка {eq:4.4.1}\ кінець {рівняння}

Єдине подальше інтелектуальне зусилля з нашого боку - визначити, що таке узагальнена сила, пов'язана з цією координатою. Крім того, процедура проходить досить автоматично. Ми будемо використовувати його у використанні в наступному розділі.

Ось і закінчується наш п'ятихвилинний курс з механіки Лагранжа.