Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13.3: голономічні обмеження

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75811

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Повний опис системи\( N\) необмежених частинок вимагає\( 3N\) координат. Ви можете думати про стан системи в будь-який час як представлене однією точкою в\( 3N\) -вимірному просторі. Якщо система складається з молекул в газі, або скупчення зірок, або рою бджіл, координати будуть постійно змінюватися, і точка, яка описує систему, буде рухатися, можливо, зовсім необмежено, в своєму\( 3N\) -мірному просторі.

    Однак у багатьох системах частинки можуть не вільно блукати в будь-якому місці за бажанням; вони можуть піддаватися різним обмеженням. Обмеження, яке можна описати рівнянням, що стосується координат (а можливо, і часу), називається голономічним обмеженням, а рівняння, яке описує обмеження, є голономічним рівнянням. Якщо система\( N\) частинок піддається\( k\) голономічним обмеженням, точка в\( 3N\) -вимірному просторі, яка описує систему, в будь-який час не вільна рухатися в будь-якому місці в\( 3N\) -вимірному просторі, але вона обмежена переміщатися по поверхні розмірності\( 3N-k\). По суті, для опису системи потрібні лише\( 3N-k\) координати, враховуючи, що координати пов'язані\( k\) голономічними рівняннями.

    До речі, я подивився на слово «голономічний» в Оксфордському словнику англійської мови, і він сказав, що це слово було від грецького ő\( \lambda\omicron\varsigma\), що означає «цілий» або «весь» і\( \nu\grave{\omicron}\mu-\omicron\varsigma\), що означає «закон». Він також сказав, що «застосовується до обмеженої системи, в якій рівняння, що визначають обмеження, інтегруються або вже вільні від диференціалів, так що кожне рівняння ефективно зменшує кількість координат на одиницю; також застосовується до самих обмежень».

    Як приклад розглянемо брусок мокрого мила, що ковзає навколо в напівсферичному басейні радіусу\( a\). Ви можете описати його положення в басейні за допомогою звичайних двох сферичних кутів\( (\theta, \phi)\); рух інакше обмежується його залишком в контакті з басейном; тобто він підлягає голономічному обмеженню\( r=a\). Таким чином, замість того, щоб потребувати трьох координат для опису положення абсолютно необмеженої частинки, нам потрібні лише дві координати.

    Або знову ж таки, розглянемо подвійний маятник, показаний на малюнку XIII.1, і припустимо, що маятник обмежений гойдатися тільки в площині паперу - або екрану монітора вашого комп'ютера.

    альт

    Дві необмежені частинки потребують шести координат для визначення своїх позицій, але ця система підпорядковується чотирьом голономічним обмеженням. Холономічні рівняння\( z_{1}=0\) і\( z_{2}=0\) обмежують частинки, які рухаються в площині, і, якщо струни тримаються натягнутими, ми маємо додаткові голономічні обмеження\( x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=l_{1}^{2}\) і\( (x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=l_{2}^{2}\). Таким чином, для опису системи потрібні лише дві координати, і вони можуть бути зручними кутами, які дві струни роблять з вертикаллю.