13.3: голономічні обмеження

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 13.2: Узагальнені координати та узагальнені сили
- 13.4: Рівняння руху Лагранжа

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Повний опис системи $N$ необмежених частинок вимагає $3N$ координат. Ви можете думати про стан системи в будь-який час як представлене однією точкою в $3N$ -вимірному просторі. Якщо система складається з молекул в газі, або скупчення зірок, або рою бджіл, координати будуть постійно змінюватися, і точка, яка описує систему, буде рухатися, можливо, зовсім необмежено, в своєму $3N$ -мірному просторі.

Однак у багатьох системах частинки можуть не вільно блукати в будь-якому місці за бажанням; вони можуть піддаватися різним обмеженням. Обмеження, яке можна описати рівнянням, що стосується координат (а можливо, і часу), називається голономічним обмеженням, а рівняння, яке описує обмеження, є голономічним рівнянням. Якщо система $N$ частинок піддається $k$ голономічним обмеженням, точка в $3N$ -вимірному просторі, яка описує систему, в будь-який час не вільна рухатися в будь-якому місці в $3N$ -вимірному просторі, але вона обмежена переміщатися по поверхні розмірності $3N-k$ . По суті, для опису системи потрібні лише $3N-k$ координати, враховуючи, що координати пов'язані $k$ голономічними рівняннями.

До речі, я подивився на слово «голономічний» в Оксфордському словнику англійської мови, і він сказав, що це слово було від грецького ő $\lambda\omicron\varsigma$ , що означає «цілий» або «весь» і $\nu\grave{\omicron}\mu-\omicron\varsigma$ , що означає «закон». Він також сказав, що «застосовується до обмеженої системи, в якій рівняння, що визначають обмеження, інтегруються або вже вільні від диференціалів, так що кожне рівняння ефективно зменшує кількість координат на одиницю; також застосовується до самих обмежень».

Як приклад розглянемо брусок мокрого мила, що ковзає навколо в напівсферичному басейні радіусу $a$ . Ви можете описати його положення в басейні за допомогою звичайних двох сферичних кутів $(\theta, \phi)$ ; рух інакше обмежується його залишком в контакті з басейном; тобто він підлягає голономічному обмеженню $r=a$ . Таким чином, замість того, щоб потребувати трьох координат для опису положення абсолютно необмеженої частинки, нам потрібні лише дві координати.

Або знову ж таки, розглянемо подвійний маятник, показаний на малюнку XIII.1, і припустимо, що маятник обмежений гойдатися тільки в площині паперу - або екрану монітора вашого комп'ютера.

альт

Дві необмежені частинки потребують шести координат для визначення своїх позицій, але ця система підпорядковується чотирьом голономічним обмеженням. Холономічні рівняння $z_{1}=0$ і $z_{2}=0$ обмежують частинки, які рухаються в площині, і, якщо струни тримаються натягнутими, ми маємо додаткові голономічні обмеження $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=l_{1}^{2}$ і $(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=l_{2}^{2}$ . Таким чином, для опису системи потрібні лише дві координати, і вони можуть бути зручними кутами, які дві струни роблять з вертикаллю.