13.5: Компоненти прискорення

У розділі 3.4 книги «Небесної механіки» я вивів радіальну та поперечну складові швидкості та прискорення в двовимірних координатах. Радіальні та поперечні компоненти швидкостей досить очевидні і навряд чи потребують деривації; вони справедливі\( \dot{\rho}\) і\( \rho\dot{\phi}\). Для компонентів прискорення я відтворюю тут витяг з цієї глави:

«Тому радіальні та поперечні компоненти прискорення\( (\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}^{2})\) and \( (\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi})\) respectively.”

Я також вивів радіальну, меридіональну та азимутальну складові швидкості та прискорення в тривимірних сферичних координатах. Знову складові швидкості досить очевидні; вони\( \dot{r},r\dot{\theta}\) and \( r\sin\theta\dot{\phi}\) while for the acceleration components I reproduce here the relevant extract from that chapter.

«Про збирання разом коефіцієнтів\( \bf{\hat{r},\hat{\theta},\hat{\phi}}\) we find that the components of acceleration are:

• Радіальні:\( \ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}-r\sin^{2}\theta\dot{\phi}^{2}\)
• Меридіональний:\( r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}-r\sin\theta\cos\theta\dot{\phi}^{2}\)
• Азимутальний:\( 2\dot{r}\dot{\phi}\sin\theta+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\theta+r\sin\theta\ddot{\phi}.\) "

Ви можете озирнутися назад на ці похідні зараз. Однак зараз я збираюся вивести їх іншим методом, використовуючи рівняння руху Лагранжа. Ви можете вирішити для себе, який ви віддаєте перевагу.

Почнемо з двох вимірів. Нехай\( R\) and \( S\) be the radial and transverse components of a force acting on a particle. (“Radial” means in the direction of increasing \( \rho\); “transverse” means in the direction of increasing \( \phi\).) If the radial coordinate were to increase by \( \delta\rho\), the work done by the force would be just \( R \delta\rho\). Thus the generalized force associated with the coordinate \( \rho\) is just \( P_{\rho}=R\). If the azimuthal angle were to increase by \( \delta\phi\), the work done by the force would be \( S\rho\delta\phi\). Thus the generalized force associated with the coordinate \( \phi\) is \( P_{\phi}=S\rho\). Now we do not have to think about how to start; in Lagrangian mechanics, the first line is always “\( T\)= ...”, and I hope you’ll agree that

\[ T=\frac{1}{2}m(\dot{\rho}^{2}+\rho^{2}\dot{\phi}^{2}). \label{13.5.1} \]

If you now apply Equation 13.4.12 in turn to the coordinates \( \rho\) and \( \phi\), you obtain

\[ P_{\rho}=m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}^{2}) \quad and \quad P_{\phi}=m\rho(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}), \label{13.5.2a,b}\tag{13.5.2a,b} \]

and so

\[ R=m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}^{2}) \quad and \quad S=m(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}). \label{13.5.3a,b}\tag{13.5.3a,b} \]

Therefore the radial and transverse components of the acceleration are \( (\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}^{2})\) and \( (\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi})\) respectively.

We can do exactly the same thing to find the acceleration components in three-dimensional spherical coordinates. Let \( R\), \( S\) and \( F\) be the radial, meridional and azimuthal (i.e. in direction of increasing \( r\), \( \theta\) and \( \phi\)) components of a force on a particle.

• Якщо\( r\) increases by \( \delta r\), the work on the particle done is \( R \delta r\).
• If \( \theta\) increases by \( \delta\theta\), the work done on the particle is \( Sr \delta \theta\).
• If \( \phi\) increases by \( \delta\phi\), the work done on the particle is \( Fr\sin\theta\delta\phi\).

Therefore \( P_{r}=R,\quad P_{\theta}=Sr\) and \( P_{\phi}=Fr\sin\theta\).

Start:

\[ T=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta\dot{\phi}^{2}) \label{13.5.4}\tag{13.5.4} \]

If you now apply Equation 13.4.12 in turn to the coordinates \( r, \theta\) and \( \phi\), you obtain

\[ P_{r}=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}-r^{2}\sin^{2}\theta\dot{\phi}^{2}), \label{13.5.5}\tag{13.5.5} \]

\[ P_{\theta}=m(r^{2}\ddot{\theta}+2r\dot{r}\dot{\theta}-r^{2}\sin\theta\cos\theta\dot{\phi}^{2}) \label{13.5.6}\tag{13.5.6} \]

and

\[ P_{\phi}=m(r^{2}\sin^{2}\theta\ddot{\phi}+2r^{2}\dot{\theta}\dot{\phi}\sin\theta\cos\theta+2r\dot{r}\dot{\phi}\sin^{2}\theta). \label{13.5.7}\tag{13.5.7} \]

Therefore

\[ R=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}-r\sin\theta\dot{\phi}^{2}), \label{13.5.8}\tag{13.5.8} \]

\[ S=m(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}-r\sin\theta\cos\theta\dot{\phi}^{2}) \label{13.5.9}\tag{13.5.9} \]

and

\[ F=m(r\sin\theta\ddot{\phi}+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\theta+2\dot{r}\dot{\phi}\sin\theta). \label{13.5.10}\tag{13.5.10} \]

Thus the acceleration components are

• Radial: \( \ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}-r\sin^{2}\theta\dot{\phi}^{2}\)
• Meridional: \( r\ddot{\theta}-2\dot{r}\dot{\theta}-r\sin\theta\cos\theta\dot{\phi}^{2}\)
• Azimuthal: \( 2\dot{r}\dot{\phi}\sin\theta-2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\theta+r\sin\theta\ddot{\phi}\).

Be sure to check the dimensions. Since dot has dimension T^-1, and these expressions must have the dimensions of acceleration, there must be an \( r\) and two dots in each term.