2.20: Еліпси та еліпсоїди

Ось деякі проблеми, що стосуються еліпсів і еліпсоїдів, які можуть бути цікаві.

Визначають основні моменти інерції наступні:

1. Однорідна плоска пластинка маси$m$ у вигляді еліпса півосей$a$ і$b$.
2. Однорідне плоске кільце маси$m$ у вигляді еліпса півосей$a$ і$b$.
3. Однорідний твердий тривісний еліпсоїд маси$m$$a, b$ і піввісь$c$.
4. Рівномірний порожнистий тривісний еліпсоїд маси$m$$a, b$ і піввісь$c$.

1. За інтеграції еліптична пластинка трохи складна, але фізичним розумінням це дуже легко!

Розподіл маси навколо другорядної осі таке ж, як і для круглої пластинки радіуса$a$, і тому момент$B$ такий же, як і для круглої пластинки, а саме$B = \frac{1}{4} ma^2$. Аналогічно$A = \frac{1}{4} mb^2$, і, отже, по теоремі перпендикулярних осей,$C = \frac{1}{4} m(a^2 + b^2 )$.

Я думаю, ви виявите, що форма моментального еліпса така ж, як і форма оригінальної еліптичної ламіни.

2. Еліптичне кільце (обруч) - це надзвичайно складно. Він не може бути виражений елементарними функціями, і його доводиться обчислювати чисельно. Це може бути виражено через еліптичні інтеграли (не дивно), але більшість з нас не впевнені, що таке еліптичні інтеграли, і вони навряд чи вважаються елементарними функціями, і їх все одно доводиться обчислювати чисельно. Беремо еліпс, щоб бути$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,$ с$b≤a$.

Навіть обчислити окружність еліпса не так просто. Окружність дорівнює

$\oint ds = 4 \int_{0}^{a} [ 1 + (\frac{dy}{dx} )^2] dx$, С$y = b ( 1 - \frac{x^2}{a^2} )^\frac{1}{2}$.

Після трохи алгебри це можна записати як

$\frac{4a}{x} \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{c^2 -x^2}{a^2 - z^2}}dx$, де$c^2 = \frac{a^4}{a^2 - b^2}$.

Спочатку це виглядає легко, але я не думаю, що ви можете це зробити в плані елементарних функцій. Немає проблем, тоді — просто інтегруйте його чисельно. На жаль, integrand стає нескінченним на верхній межі, тому все ще є трохи проблеми. Однак зміна змінної$x = a \sin \theta$ вирішує цю проблему. Вираз для окружності стає просто

$4a\int_{0}^{\pi /2 } [1 - (\frac{a^2 - b^2}{a^2}) \sin ^2 \theta ]^\frac{1}{2} d \theta$,

які можуть бути інтегровані чисельно без проблем нескінченності на межі. За моїми розрахунками, окружність еліпса дорівнює$ha$, де$h$ є функція$b/a$ наступним чином:

Щоб знайти момент інерції (або другий момент довжини) навколо другорядної осі, ми повинні помножити integrand на$x^2$, або$a^2 \sin^2 \theta$, і інтегрувати. Таким чином, момент інерції еліптичного обруча навколо його другорядної осі знаходиться$c_1ma^2$, де

\ (c_1 =\ frac {\ int_ {0} ^ {\ pi/2} [1 - (\ frac {a^2 - b^2})\ sin^2\ тета] ^ {1/2}\ sin^2\ тета д
\ тета} {\ int_ {0} ^ {\ pi/2} [1- (\ frac {a^2 - b^2 2} {a^2})\ sin^2\ тета] ^ {1/2} д\ тета}\)

Момент інерції навколо великої осі є$c_2ma^2$, де

$c_2 = \frac{ \frac{b^2}{a^2}\int_{0}^{\pi / 2 } [1 - ( \frac{a^2 - b^2}{a^2} ) cos^2]^{1/2} \sin^2 \theta d \theta }{ \int_{0}^{\pi / 2 } [ 1- (\frac{a^2 - b^2}{a^2} )\sin^2 \theta ]^{1/2} d \theta}$

Ці два коефіцієнти$ma^2$ показані нижче як функція$b/a$.

Моменти інерції еліптичного кільця маси$m$ і напіввеликих і напівмалих осей$a$ і$b$ знаходяться$c_1ma^2$ навколо другорядної осі і$c_2ma^2$ навколо великої осі, де$c_1$ і$c_2$ показані як функції$b/a$.

Момент інерції навколо великої осі також може бути зручно виражений в терміні,$b$ а не$a$. Якщо записати момент інерції близько великої осі як$c_4mb^2$, то$c_4$ як функція$b/a$ показана нижче.

Момент інерції навколо осі, перпендикулярної площині еліпса і проходить через його центр$c_3ma^2$, де, звичайно (по теоремі перпендикулярних осей),$c_3 = c_1 + c_2$.

Вона також дорівнює$c_1ma^2 + c_4mb^2$.

3. Для рівномірного твердого тривісного еліпсоїда моменти інерції складають

$A = \frac{1}{5} m(b^2 + c^2) \qquad B = \frac{1}{5} m(c^2 + a^2) \qquad C = \frac{1}{5} m(c^2 + a^2)$

Моментальний еліпсоїд не має однакової форми. Її осі знаходяться в співвідношенні

Наприклад, якщо осьові відносини вихідного еліпсоїда складають 1:2: 3, осьові відносини відповідного моментального еліпсоїда є$1 : \sqrt{\frac{13}{10}} : \sqrt{\frac{13}{5}} = 1 : 1.140 : 1.612$, який трохи більш сферичний, ніж вихідний еліпсоїд.

4. Тривісна еліптична оболонка. Доводиться добре подумати, що таке тривісна еліптична оболонка. Якщо уявити внутрішню поверхню оболонки еліпсоїдом, а зовнішню поверхню - аналогічним еліпсоїдом, але з усіма лінійними розмірами, збільшеними на той же малий дробовий приріст, то отримаємо цифру, подібну до такої:

На цьому кресленні лінійний розмір зовнішньої поверхні на 3 відсотки більше, ніж у внутрішньої поверхні. Е.Дж. Рут правильно показує в своєму трактаті про жорсткі тіла, що основними моментами інерції такої фігури є$\frac{1}{3} m(b^2 + c^2), \frac{1}{3} m(c^2 + a^2), \frac{1}{3}m(a^2 + b^2)$.

Але видно, що така фігура не є (як імовірно м'яч рогера) рівномірної товщини. Намалюю нижче шкаралупу рівномірної товщини. У такому випадку внутрішня і зовнішня поверхні не зовсім схожі.

При спробі обчислити момент інерції такої цифри обмежуся випадком сфероїдальної оболонки рівномірної товщини. Тобто еліпсоїд з двома рівними осями, представлений рівнянням, в циліндричних координатах

$\frac{\rho^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1,$

де$\rho^2 = x^2 + y^2$. Далі, якщо поставити$c = \chi a$, рівняння до сфероїду можна записати

$\rho^2 + \frac{z^2}{\chi^2} = a^2,$

Якщо$\chi < 1$, сфероїд сплющений. Якщо$\chi > 1$, сфероїд пролат.

Спочатку нам потрібно буде розрахувати його площу поверхні, яка дорівнює

$A = 4 \pi \int_{0}^{c} \rho [ 1 + (\frac{d\rho}{dz})^2]^\frac{1}{2} dz$

Після деякої алгебри це доходить до

$A = 4 \pi a^2 f (\chi ),$

де

$f (\chi ) = \dfrac{1}{2}\left[\frac{\chi^2}{\sqrt{1 - \chi^2}} \ln \left( \dfrac{1 + \sqrt{1 - \chi^2}}{\chi}\right)+1\right]$для$\chi \leq 1$

і

$f (\chi ) = \dfrac{1}{2}\left[\frac{\chi^2}{\sqrt{\chi^2-1}} \sin^{-1}\left( \dfrac{\sqrt{\chi^2-1}}{\chi}\right)+1\right]]$для$\chi \geq 1$

Ця функція показана нижче, наскільки$\chi = 2$. Для$\chi = 0$, фігура являє собою диск, загальна площа якого

(Верхня і нижня поверхня) є$2 \pi a^2$, і$f = \frac{1}{2}$. Бо$\chi = 1$, фігура - це сфера, площа якої дорівнює$4 \pi a^2$, і$f = 1$. Функція переходить до нескінченності, як$\chi$ переходить до нескінченності.

Момент інерції навколо$z$ -осі дорівнює

$I = \frac{4 \pi m }{A}\int_{0}^{c} \rho ^3 [ 1 +(\frac{d \rho}{dz})^2]^{1/2} dz.$

Після деякої алгебри це стає

$I = ma^2 g ( \chi )$

$g ( \chi ) = \frac{(2-\chi ^2) (1-\chi ^2) - \chi^4 \ln\left[\left(1 + \sqrt{1- \chi^2}\right)/ \chi\right]}{4 \left\{ (1- \chi^2)^{3/2} + \chi^2 (1-\chi^2) \ln\left[(1 + \sqrt{1- \chi^2})/ \chi \right]\right\} }$для$\chi \leq 1$

$g (\chi) = 1 - \frac{\frac{\chi^4}{(\chi - 1)^{3/2}}sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{\chi^2-1}}{\chi}\right)+\frac{\chi^2 -2}{\chi^2 -1 }}{4 \left\{ \frac{\chi^2}{\sqrt{\chi^2-1}}sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{\chi^2-1}}{\chi}\right) +1 \right\}}$для$\chi \geq 1$

Ця функція показана нижче, наскільки$\chi = 2$ For$\chi = 0$, фігура являє собою диск, момент інерції якого дорівнює$\frac{1}{2} \pi a^2$, і$f = \frac{1}{2}$. Бо$\chi = 1$, фігура являє собою порожнисту сферу, момент інерції якої дорівнює$\frac{2}{3} \pi a^2$, і$f = \frac{2}{3}$. Функція переходить до 1, як$\chi$ переходить до нескінченності; момент інерції наближається до моменту порожнистого циліндра.