14.2: Еліпс

Розчавлені кола і садівники

Найпростіша нетривіальна планетарна орбіта$x^{2}+y^{2}=a^{2}$ - це коло: зосереджена біля початку і має радіус$a$. Еліпс - це коло, масштабоване (стиснене) в одному напрямку, тому еліпс, центрований у початковій точці з напіввеликою віссю$a$ та напівмалою вісссю,$b<a$ має рівняння

$$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$

в стандартних позначеннях коло радіуса$a$ масштабується на коефіцієнт$b/a$ в$y$ напрямку. (Зазвичай орієнтувати більшу вісь вздовж$x$.)

Коло також може бути визначено як множина точок, які є однаковою відстані a від заданої точки, а еліпс може бути визначений як множина точок таким чином, що сума відстаней від двох фіксованих точок є постійною довжиною (яка, очевидно, повинна бути більшою за відстань між двома точками!). Це іноді називають визначенням садівника: щоб встановити контур еліптичної клумби на газоні, садівник вбивав би двома кілками, зав'язував між ними пухку нитку, потім натягував струну щільно в різні боки, щоб сформувати контур.

На схемі кілки знаходяться$F_{1}, F_{2}$ на червоних лініях - це струна,$P$ це довільна точка на еліпсі.

$CA$називається півосновною довжиною осі a,$CB$ півмалої віссю, довжиною$b$.

$F_{1}, F_{2}$називаються вогнищами (множиною вогнища).

Зверніть увагу спочатку, що рядок повинна бути довжини $2a$, тому що вона повинна розтягуватися вздовж великої осі від$F_{1} \text { to } A$ потім назад до$F_{2}$ і для цієї конфігурації є подвійна довжина рядка вздовж$F_{2} A \text { and a single length from } F_{1} \text { to } F_{2}$. Але довжина$A^{\prime} F_{1} \text { is the same as } F_{2} A$, тому загальна довжина рядка така ж, як і загальна довжина$A^{\prime} A=2 a$.

Припустимо, тепер ми ставимо$P$ на$B$. З тих пір$F_{1} B=B F_{2}$, і рядок має довжину$2 a, \text { the length } F_{1} B=a$

Корисний результат отримуємо, застосувавши теорему Піфагора до трикутника$F_{1} B C$

$$\left(F_{1} C\right)^{2}=a^{2}-b^{2}$$

(Ми скористаємося цим найближчим часом.)

Очевидно, для кола,$F_{1} C=0$

Ексцентриситет

$e$Ексцентриситет еліпса визначається

$$e=F_{1} C / a=\sqrt{1-(b / a)^{2}}, \quad \text { note } e<1$$

Ексцентричний просто означає від центру, це те, наскільки далеко фокус знаходиться від центру еліпса, як частка великої піввісі. Ексцентриситет кола дорівнює нулю. Ексцентриситет довгого тонкого еліпса трохи нижче одиниці.

$F_{1} \text { and } F_{2}$на діаграмі називаються осередками еліпса (множини фокусу), тому що якщо точкове джерело світла розміщено на$F_{1}$, а еліпс є дзеркалом, він буде відображати і, отже, фокусувати - все світло до$F_{2}$.

Еквівалентність двох визначень

Звичайно, нам потрібно переконатися, що визначення цього садівника еліпса еквівалентно визначенню стисненого кола. З діаграми загальна довжина струни

$$2 a=F_{1} P+P F_{2}=\sqrt{(x+a e)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-a e)^{2}+y^{2}}$$

і квадрат з обох сторін

$$2 a-\sqrt{(x+a e)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x-a e)^{2}+y^{2}}$$

потім переставляючи, щоб мати залишковий квадратний корінь сам по собі на лівій стороні, потім знову квадрат,

$$(x+a e)^{2}+y^{2}=(a+e x)^{2}$$

$\text { from which, using } e^{2}=1-\left(b^{2} / a^{2}\right), \text { we find } x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}=1$

Еліпс у полярних координатах

Насправді, аналізуючи рух планет, природніше приймати походження координат в центрі Сонця, а не центр еліптичної орбіти.

Також зручніше брати$(r,\theta)$ координати замість$(x,y)$ координат, адже сила гравітаційної сили залежить тільки від$r$. Тому відповідне рівняння, що описує планетарну орбіту, є$(r,\theta)$ рівнянням з початком в одному фокусі, тут ми слідуємо стандартному використанню і вибираємо походження в$F_{2}$.

Для еліпса напіввеликої$a$ осі та$e$ ексцентриситету рівняння є:

$$\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{r}=1+e \cos \theta$$

Про це теж часто пишуть

$$\frac{\ell}{r}=1+e \cos \theta$$

де$ℓ$ напівширока пряма кишка, перпендикулярна відстань від фокуса до кривої$(\operatorname{so} \theta=\pi / 2)$, див. Діаграму нижче: але знову зверніть увагу, що це рівняння має$F_{2} \text { as its origin! (For } \left.\theta<\pi / 2, r<\ell .\right)$

(Це легко довести,$\ell=a\left(1-e^{2}\right)$ використовуючи теорему Піфагора,$(2 a-\ell)^{2}=(2 a e)^{2}+\ell^{2}$

Директриса: запис$r \cos \theta=x$, рівняння для еліпса також може бути записано як

$$r=a\left(1-e^{2}\right)-e x=e\left(x_{0}-x\right)$$

де$x_{0}=(a / e)-a e$ (походження x = 0 є фокусом).

Лінія$x=x_{0}$ називається директрисою.

Для будь-якої точки на еліпсі її відстань від фокуса в e рази більше відстані від директриси.

Виведення полярного рівняння з декартового рівняння

Зверніть увагу спочатку, що (дотримуючись стандартної практики) координати$(x,y)$ і$(r,\θ)$ мають різне походження!

Запис$x=a e+r \cos \theta, y=r \sin \theta$ у декартовому рівнянні,

$$\frac{(a e+r \cos \theta)^{2}}{a^{2}}+\frac{(r \sin \theta)^{2}}{b^{2}}=1$$

тобто з невеликою перестановкою,

$$r^{2}\left(\frac{\cos ^{2} \theta}{a^{2}}+\frac{\sin ^{2} \theta}{b^{2}}\right)+r \frac{2 e \cos \theta}{a}-\left(1-e^{2}\right)=0$$

Це квадратне рівняння для$r$ і може бути вирішене звичайним способом, але дивлячись на коефіцієнти, очевидно, трохи простіше вирішити відповідну квадратичну для$u=1 / r$

Рішення полягає в:

$$\frac{1}{r}=u=\frac{e \cos \theta}{a\left(1-e^{2}\right)} \pm \frac{1}{a\left(1-e^{2}\right)}$$

з якого

$$\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{r}=\frac{\ell}{r}=1+e \cos \theta$$

де ми скидаємо інший корінь, тому що він дає негативний$r$, наприклад для$\theta=\pi / 2$. Це встановлює еквівалентність двох рівнянь.