14.2: Еліпс

Розчавлені кола і садівники

Найпростіша нетривіальна планетарна орбіта\(x^{2}+y^{2}=a^{2}\) - це коло: зосереджена біля початку і має радіус\(a\). Еліпс - це коло, масштабоване (стиснене) в одному напрямку, тому еліпс, центрований у початковій точці з напіввеликою віссю\(a\) та напівмалою вісссю,\(b<a\) має рівняння

\[\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]

в стандартних позначеннях коло радіуса\(a\) масштабується на коефіцієнт\(b/a\) в\(y\) напрямку. (Зазвичай орієнтувати більшу вісь вздовж\(x\).)

Коло також може бути визначено як множина точок, які є однаковою відстані a від заданої точки, а еліпс може бути визначений як множина точок таким чином, що сума відстаней від двох фіксованих точок є постійною довжиною (яка, очевидно, повинна бути більшою за відстань між двома точками!). Це іноді називають визначенням садівника: щоб встановити контур еліптичної клумби на газоні, садівник вбивав би двома кілками, зав'язував між ними пухку нитку, потім натягував струну щільно в різні боки, щоб сформувати контур.

На схемі кілки знаходяться\(F_{1}, F_{2}\) на червоних лініях - це струна,\(P\) це довільна точка на еліпсі.

\(CA\)називається півосновною довжиною осі a,\(CB\) півмалої віссю, довжиною\(b\).

\(F_{1}, F_{2}\)називаються вогнищами (множиною вогнища).

Зверніть увагу спочатку, що рядок повинна бути довжини \(2a\), тому що вона повинна розтягуватися вздовж великої осі від\(F_{1} \text { to } A\) потім назад до\(F_{2}\) і для цієї конфігурації є подвійна довжина рядка вздовж\(F_{2} A \text { and a single length from } F_{1} \text { to } F_{2}\). Але довжина\(A^{\prime} F_{1} \text { is the same as } F_{2} A\), тому загальна довжина рядка така ж, як і загальна довжина\(A^{\prime} A=2 a\).

Припустимо, тепер ми ставимо\(P\) на\(B\). З тих пір\(F_{1} B=B F_{2}\), і рядок має довжину\(2 a, \text { the length } F_{1} B=a\)

Корисний результат отримуємо, застосувавши теорему Піфагора до трикутника\(F_{1} B C\)

\[\left(F_{1} C\right)^{2}=a^{2}-b^{2}\]

(Ми скористаємося цим найближчим часом.)

Очевидно, для кола,\(F_{1} C=0\)

Ексцентриситет

\(e\)Ексцентриситет еліпса визначається

\[e=F_{1} C / a=\sqrt{1-(b / a)^{2}}, \quad \text { note } e<1\]

Ексцентричний просто означає від центру, це те, наскільки далеко фокус знаходиться від центру еліпса, як частка великої піввісі. Ексцентриситет кола дорівнює нулю. Ексцентриситет довгого тонкого еліпса трохи нижче одиниці.

\(F_{1} \text { and } F_{2}\)на діаграмі називаються осередками еліпса (множини фокусу), тому що якщо точкове джерело світла розміщено на\(F_{1}\), а еліпс є дзеркалом, він буде відображати і, отже, фокусувати - все світло до\(F_{2}\).

Еквівалентність двох визначень

Звичайно, нам потрібно переконатися, що визначення цього садівника еліпса еквівалентно визначенню стисненого кола. З діаграми загальна довжина струни

\[2 a=F_{1} P+P F_{2}=\sqrt{(x+a e)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-a e)^{2}+y^{2}}\]

і квадрат з обох сторін

\[2 a-\sqrt{(x+a e)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x-a e)^{2}+y^{2}}\]

потім переставляючи, щоб мати залишковий квадратний корінь сам по собі на лівій стороні, потім знову квадрат,

\[(x+a e)^{2}+y^{2}=(a+e x)^{2}\]

\(\text { from which, using } e^{2}=1-\left(b^{2} / a^{2}\right), \text { we find } x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}=1\)

Еліпс у полярних координатах

Насправді, аналізуючи рух планет, природніше приймати походження координат в центрі Сонця, а не центр еліптичної орбіти.

Також зручніше брати\((r,\theta)\) координати замість\((x,y)\) координат, адже сила гравітаційної сили залежить тільки від\(r\). Тому відповідне рівняння, що описує планетарну орбіту, є\((r,\theta)\) рівнянням з початком в одному фокусі, тут ми слідуємо стандартному використанню і вибираємо походження в\(F_{2}\).

Для еліпса напіввеликої\(a\) осі та\(e\) ексцентриситету рівняння є:

\[\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{r}=1+e \cos \theta\]

Про це теж часто пишуть

\[\frac{\ell}{r}=1+e \cos \theta\]

де\(ℓ\) напівширока пряма кишка, перпендикулярна відстань від фокуса до кривої\((\operatorname{so} \theta=\pi / 2)\), див. Діаграму нижче: але знову зверніть увагу, що це рівняння має\(F_{2} \text { as its origin! (For } \left.\theta<\pi / 2, r<\ell .\right)\)

(Це легко довести,\(\ell=a\left(1-e^{2}\right)\) використовуючи теорему Піфагора,\((2 a-\ell)^{2}=(2 a e)^{2}+\ell^{2}\)

Директриса: запис\(r \cos \theta=x\), рівняння для еліпса також може бути записано як

\[r=a\left(1-e^{2}\right)-e x=e\left(x_{0}-x\right)\]

де\(x_{0}=(a / e)-a e\) (походження x = 0 є фокусом).

Лінія\(x=x_{0}\) називається директрисою.

Для будь-якої точки на еліпсі її відстань від фокуса в e рази більше відстані від директриси.

Виведення полярного рівняння з декартового рівняння

Зверніть увагу спочатку, що (дотримуючись стандартної практики) координати\((x,y)\) і\((r,\θ)\) мають різне походження!

Запис\(x=a e+r \cos \theta, y=r \sin \theta\) у декартовому рівнянні,

\[\frac{(a e+r \cos \theta)^{2}}{a^{2}}+\frac{(r \sin \theta)^{2}}{b^{2}}=1\]

тобто з невеликою перестановкою,

\[r^{2}\left(\frac{\cos ^{2} \theta}{a^{2}}+\frac{\sin ^{2} \theta}{b^{2}}\right)+r \frac{2 e \cos \theta}{a}-\left(1-e^{2}\right)=0\]

Це квадратне рівняння для\(r\) і може бути вирішене звичайним способом, але дивлячись на коефіцієнти, очевидно, трохи простіше вирішити відповідну квадратичну для\(u=1 / r\)

Рішення полягає в:

\[\frac{1}{r}=u=\frac{e \cos \theta}{a\left(1-e^{2}\right)} \pm \frac{1}{a\left(1-e^{2}\right)}\]

з якого

\[\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{r}=\frac{\ell}{r}=1+e \cos \theta\]

де ми скидаємо інший корінь, тому що він дає негативний\(r\), наприклад для\(\theta=\pi / 2\). Це встановлює еквівалентність двох рівнянь.