2.19: Момент інерції щодо точки
- Page ID
- 76162
Під «моментом інерції» ми досі мали на увазі другий момент маси по відношенню до осі. Ми легко змогли ідентифікувати його по обертальної інерції щодо осі, а саме відношення прикладеного крутного моменту до отриманого кутового прискорення.
Тепер я збираюся визначити (другий) момент інерції щодо точки, яку я візьму, якщо не вказано інше, щоб означати походження координат. Якщо у нас є колекція точок маси\( m_i \) на відстанях\( r_ i \) від початку, я визначаю
\[ {\bf \iota } = \sum_i m_ir_i^2 = \sum_i m_i (x^2_i +y^2_i + z^2_i ) \label{eq:2.19.1} \]
як (другий) момент інерції щодо початку, також іноді називають «геометричним моментом інерції». Я не можу пов'язати це очевидним чином з простою динамічною концепцією так само, як я пов'язував момент інерції щодо осі до обертальної інерції, але ми побачимо, що це аж ніяк не просто нудна вправа в арифметиці, і вона має своє застосування. Символ, який я, мабуть, використовувався досить багато в цьому розділі; тому для опису геометричного моменту інерції я збираюся використовувати символ\( {\bf \iota } \).
Момент інерції щодо походження - це явно те, що не залежить від орієнтації якогось конкретного базового набору ортогональних осей, так як він залежить тільки від відстаней частинок від початку.
Якщо ви згадаєте визначення\( A, B \) та\(C \) з розділу 2.15, ви легко побачите, що
\[ {\bf \iota } = \frac{1}{2} (A+B+C) \label{eq:2.19.2} \]
і ми вже відзначали (див. Рівняння 2.16.2), що\( A + B + C \) є інваріантним при обертанні осей. У розділі 2.18 ми висловили це трохи більш загально, сказавши «слід симетричної матриці інваріантний при ортогональному перетворенні». До теперішнього часу це, мабуть, здається трохи менш загадковим.
Слід симетричної матриці є інваріантним при ортогональному перетворенні
Розрахуємо тепер геометричний момент інерції однорідної твердої сфери радіуса\(a\)\(m\), маси\( \rho \), щільності, по відношенню до центру сфери. Це
\[ {\bf \iota } = \int_{sphere}r^2dm. \label{eq:2.19.3} \]
Елемент маси\( dm \), ось маса оболонки радіусів\(r, r + dr; \), тобто\( 4 \pi \rho r 2 dr\). Таким чином
\[ {\bf \iota } = 4 \pi \rho \int_{0}^{a} r^4 dr = \frac{4}{5} \pi \rho a^5. \label{eq:2.19.4} \]
З\( m = \frac{4}{3} \pi a^3 \rho \), це стає
\[ {\bf \iota } = \frac{3}{5} ma^2. \label{eq:2.19.5} \]
Дійсно, для будь-якого сферично симетричного розподілу речовини\( A = B = C \), оскільки\( \ref{eq:2.19.2}\), буде зрозуміло з Рівняння, що момент інерції щодо центру в 3/2 рази перевищує момент інерції щодо осі через центр. Наприклад, з визначення моменту інерції по відношенню до центру очевидно, що для порожнистої сферичної оболонки він справедливий\(Ma^2 \), а тому момент інерції щодо осі через центр є\( \frac{2}{3} ma^2 \). Іншими словами, ви можете з'ясувати, що момент інерції порожнистої сферичної оболонки щодо осі через її центр знаходиться\( \frac{2}{3} ma^2 \) у вашій голові без будь-якої інтеграції, яку ми зробили в Розділі 2.7!
Для ілюстрації розглянемо три сфери, кожна з яких має радіус\(a\) і масу\(M \), але щільність між центром і поверхнею змінюється як
\( \rho = \rho_0 (1 - \frac{kr}{a}), \quad \rho = \rho_0 (1 - \frac{kr^2}{a^2}), \quad \rho = \rho_0 \sqrt {1-\frac {kr^2}{a^2}} \)
для трьох сфер.
Обчисліть для кожного момент інерції навколо осі через центр сфери. Висловіть відповідь у формі\( \frac{2}{5} Ma^2 × f (k)\).
Рішення
Маса сфери дорівнює
\[ M = 4 \pi \int_{0}^{a} \rho (r)r^2 dr \nonumber \]
і так
\[ \frac{2}{5} Ma^2 = \frac{8 \pi a ^2 }{5} \int_{0}^{a} \rho (r)r^2 dr \nonumber \]
Момент інерції про центр дорівнює
\[ {\bf \iota } = 4 \pi \int_{0}^{a} \rho (r)r^4 dr. \nonumber \]
і тому момент інерції навколо осі через центр
\[ {I } =\frac{8}{3} \int_{0}^{a} \rho (r)r^4 dr. \nonumber \]
Тому
\[ \frac{I}{\frac{2}{5} Ma^2} = \frac {5 \int_o^a \rho (r)r^4 dr}{3a^2 \int_o^a \rho (r)r^2 dr} \nonumber \]
Для перших двох сфер інтеграції є простими. Я роблю це
\[ \frac{I}{\frac{2}{5} Ma^2} = \frac {12-10k}{12-9k} \nonumber \]
для першої сфери, і
\[ \frac{I}{\frac{2}{5} Ma^2} = \frac {35-25k}{35-21k} \nonumber \]
для другої сфери. Інтеграції для третьої сфери потребують трохи більше терпіння, але я даю відповідь
\[ \frac{I}{\frac{2}{5} Ma^2} = \frac {5(12 \alpha - 3 \sin 2 \alpha - 3 \sin 4 \alpha + \sin 6 \alpha )}{18\sin^2 \alpha(4 \alpha - \sin 4 \alpha)} \nonumber \]
де\(\sin \alpha = \sqrt k \).
Прикладу\(\PageIndex{1}\) має бути достатньо, щоб переконати, що\( {\bf \iota } \) концепція корисна — але це не єдине його використання. Ми знову зустрінемося з ним у главі 3 про динаміку систем частинок; зокрема, це зіграє певну роль у тому, з чим ми ознайомимося як віріальна теорема.