2.19: Момент інерції щодо точки

Під «моментом інерції» ми досі мали на увазі другий момент маси по відношенню до осі. Ми легко змогли ідентифікувати його по обертальної інерції щодо осі, а саме відношення прикладеного крутного моменту до отриманого кутового прискорення.

Тепер я збираюся визначити (другий) момент інерції щодо точки, яку я візьму, якщо не вказано інше, щоб означати походження координат. Якщо у нас є колекція точок маси$m_i$ на відстанях$r_ i$ від початку, я визначаю

$${\bf \iota } = \sum_i m_ir_i^2 = \sum_i m_i (x^2_i +y^2_i + z^2_i ) \label{eq:2.19.1}$$

як (другий) момент інерції щодо початку, також іноді називають «геометричним моментом інерції». Я не можу пов'язати це очевидним чином з простою динамічною концепцією так само, як я пов'язував момент інерції щодо осі до обертальної інерції, але ми побачимо, що це аж ніяк не просто нудна вправа в арифметиці, і вона має своє застосування. Символ, який я, мабуть, використовувався досить багато в цьому розділі; тому для опису геометричного моменту інерції я збираюся використовувати символ${\bf \iota }$.

Момент інерції щодо походження - це явно те, що не залежить від орієнтації якогось конкретного базового набору ортогональних осей, так як він залежить тільки від відстаней частинок від початку.

Якщо ви згадаєте визначення$A, B$ та$C$ з розділу 2.15, ви легко побачите, що

$${\bf \iota } = \frac{1}{2} (A+B+C) \label{eq:2.19.2}$$

і ми вже відзначали (див. Рівняння 2.16.2), що$A + B + C$ є інваріантним при обертанні осей. У розділі 2.18 ми висловили це трохи більш загально, сказавши «слід симетричної матриці інваріантний при ортогональному перетворенні». До теперішнього часу це, мабуть, здається трохи менш загадковим.

Слід симетричної матриці є інваріантним при ортогональному перетворенні

Розрахуємо тепер геометричний момент інерції однорідної твердої сфери радіуса$a$$m$, маси$\rho$, щільності, по відношенню до центру сфери. Це

$${\bf \iota } = \int_{sphere}r^2dm. \label{eq:2.19.3}$$

Елемент маси$dm$, ось маса оболонки радіусів$r, r + dr;$, тобто$4 \pi \rho r 2 dr$. Таким чином

$${\bf \iota } = 4 \pi \rho \int_{0}^{a} r^4 dr = \frac{4}{5} \pi \rho a^5. \label{eq:2.19.4}$$

З$m = \frac{4}{3} \pi a^3 \rho$, це стає

$${\bf \iota } = \frac{3}{5} ma^2. \label{eq:2.19.5}$$

Дійсно, для будь-якого сферично симетричного розподілу речовини$A = B = C$, оскільки$\ref{eq:2.19.2}$, буде зрозуміло з Рівняння, що момент інерції щодо центру в 3/2 рази перевищує момент інерції щодо осі через центр. Наприклад, з визначення моменту інерції по відношенню до центру очевидно, що для порожнистої сферичної оболонки він справедливий$Ma^2$, а тому момент інерції щодо осі через центр є$\frac{2}{3} ma^2$. Іншими словами, ви можете з'ясувати, що момент інерції порожнистої сферичної оболонки щодо осі через її центр знаходиться$\frac{2}{3} ma^2$ у вашій голові без будь-якої інтеграції, яку ми зробили в Розділі 2.7!

Для ілюстрації розглянемо три сфери, кожна з яких має радіус$a$ і масу$M$, але щільність між центром і поверхнею змінюється як

$\rho = \rho_0 (1 - \frac{kr}{a}), \quad \rho = \rho_0 (1 - \frac{kr^2}{a^2}), \quad \rho = \rho_0 \sqrt {1-\frac {kr^2}{a^2}}$

для трьох сфер.

Приклад$\PageIndex{1}$

Обчисліть для кожного момент інерції навколо осі через центр сфери. Висловіть відповідь у формі$\frac{2}{5} Ma^2 × f (k)$.

Рішення

Маса сфери дорівнює

$$M = 4 \pi \int_{0}^{a} \rho (r)r^2 dr \nonumber$$

і так

$$\frac{2}{5} Ma^2 = \frac{8 \pi a ^2 }{5} \int_{0}^{a} \rho (r)r^2 dr \nonumber$$

Момент інерції про центр дорівнює

$${\bf \iota } = 4 \pi \int_{0}^{a} \rho (r)r^4 dr. \nonumber$$

і тому момент інерції навколо осі через центр

$${I } =\frac{8}{3} \int_{0}^{a} \rho (r)r^4 dr. \nonumber$$

Тому

$$\frac{I}{\frac{2}{5} Ma^2} = \frac {5 \int_o^a \rho (r)r^4 dr}{3a^2 \int_o^a \rho (r)r^2 dr} \nonumber$$

Для перших двох сфер інтеграції є простими. Я роблю це

$$\frac{I}{\frac{2}{5} Ma^2} = \frac {12-10k}{12-9k} \nonumber$$

для першої сфери, і

$$\frac{I}{\frac{2}{5} Ma^2} = \frac {35-25k}{35-21k} \nonumber$$

для другої сфери. Інтеграції для третьої сфери потребують трохи більше терпіння, але я даю відповідь

$$\frac{I}{\frac{2}{5} Ma^2} = \frac {5(12 \alpha - 3 \sin 2 \alpha - 3 \sin 4 \alpha + \sin 6 \alpha )}{18\sin^2 \alpha(4 \alpha - \sin 4 \alpha)} \nonumber$$

де$\sin \alpha = \sqrt k$.

Прикладу$\PageIndex{1}$ має бути достатньо, щоб переконати, що${\bf \iota }$ концепція корисна — але це не єдине його використання. Ми знову зустрінемося з ним у главі 3 про динаміку систем частинок; зокрема, це зіграє певну роль у тому, з чим ми ознайомимося як віріальна теорема.