2.8: Багатоваріантний Перший Інтеграл

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.7: Обчислення варіацій з багатьма змінними
- 2.9: Мильна плівка та ланцюг

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Після та узагальнення однозмінної похідної, множивши вищевказані рівняння по одному на відповідні, $y_{i}^{\prime}=d y_{i} / d x$ ми маємо n рівнянь

$\frac{\partial f\left(\vec{y}, \vec{y}^{\prime}\right)}{\partial y_{i}} \frac{d y_{i}}{d x}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f\left(\vec{y}, \vec{y}^{\prime}\right)}{\partial y_{i}^{\prime}}\right) y_{i}^{\prime}=0$

Оскільки $f$ не залежить явно від $x$ , у нас є

$\frac{d f}{d x}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \frac{d y_{i}}{d x}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}^{\prime}} \frac{d y_{i}^{\prime}}{d x}\right)$

і так само, як і для одного змінного випадку, ці рівняння дають

$\frac{d}{d x}\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{\prime} \frac{\partial f}{\partial y_{i}^{\prime}}-f\right)=0$

і (важливо!) перший інтеграл $\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{\prime} \frac{\partial f}{\partial y_{i}^{\prime}}-f=\mathrm{constant.}$