Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.7: Простий гармонійний осцилятор

Класичний гамільтоніан простого гармонічного осцилятора - це те,H = \frac{p^{\,2}}{2\,m} + \frac{1}{2}\,K\,x^{\,2}, деK>0 знаходиться так звана постійна сили осцилятора. Припускаючи, що квантовий механічний гамільтоніан має ту ж форму, що і класичний гамільтоніан, незалежне від часу рівняння Шредінгера для частинки масиm і енергії, щоE рухається в простому гармонійному потенціалі\omega = \sqrt{K/m}, стає \label{e5.90} \frac{d^{\,2}\psi}{dx^{\,2}} = \frac{2\,m}{\hbar^{\,2}}\left(\frac{1}{2}\,K\,x^{\,2}-E\right)\psi.Let, де\omega Класична кутова частота коливань генератора. Крім того, нехайy = \sqrt{\frac{m\,\omega}{\hbar}}\,x, і \label{e5.92} \epsilon = \frac{2\,E}{\hbar\,\omega}.Рівняння ([e5.90]) зводиться до \label{e5.93} \frac{d^{\,2}\psi}{dy^{\,2}} - (y^{\,2}-\epsilon)\,\psi = 0.Нам потрібно знайти розв'язки попереднього рівняння, які обмежені нескінченністю: тобто розв'язки, які задовольняють граничній умові\psi\rightarrow 0 як|y|\rightarrow\infty.

Розглянемо поведінку розв'язку рівняння ([e5.93]) в межі|y|\gg 1. Як легко бачити, в цій межі рівняння спрощує дещо дати\frac{d^{\,2}\psi}{dy^{\,2}} - y^{\,2}\,\psi \simeq 0. наближені рішення попереднього рівняння,\psi(y) \simeq A(y)\,{\rm e}^{\pm y^{\,2}/2}, деA(y) є відносно повільно змінюється функціяy. Зрозуміло,\psi(y) що якщо залишитися обмеженим, як|y|\rightarrow\infty тоді ми повинні обрати експоненціально розкладається рішення. Це говорить про те, що ми повинні написати, \label{e5.96} \psi(y) = h(y)\,{\rm e}^{-y^{\,2}/2},де миh(y) очікували б бути алгебраїчною, а не експоненціальною функцієюy.

Підставивши рівняння ([e5.96]) в рівняння ([e5.93]), \label{e5.97} \frac{d^{\,2}h}{dy^{\,2}} - 2\,y\,\frac{dh}{dy} + (\epsilon-1)\,h = 0.отримаємо спробу владного розв'язку виду \label{e5.98} h(y) = \sum_{i=0,\infty} c_i\,y^{\,i}.Вставляючи це тестове рішення в рівняння ([e5.97]), і зрівнявши коефіцієнтиy^{\,i}, ми отримати рекурсійне відношення \label{e5.99} c_{i+2} = \frac{(2\,i-\epsilon+1)}{(i+1)\,(i+2)}\,c_i.Розглянемо поведінкуh(y) в межі|y|\rightarrow\infty. Попереднє відношення рекурсії спрощується доc_{i+2} \simeq \frac{2}{i}\,c_i. Отже, в цілому|y|, коли вищі силиy домінують, ми маємо З цьогоh(y) \sim C \sum_{j}\frac{y^{\,2 j}}{j!}\sim C\,{\rm e}^{\,y^{\,2}}. випливає, що\psi(y) = h(y)\,\exp(-y^{\,2}/2) змінюється\exp(\,y^{\,2}/2) як|y|\rightarrow\infty. Така поведінка неприпустимо, оскільки не задовольняє граничній умові\psi\rightarrow 0 як|y|\rightarrow\infty. Єдиний спосіб, яким ми можемо\psi запобігти вибуху, як|y|\rightarrow\infty це вимагати, щоб силовий ряд ([e5.98]) припинився при деякому кінцевому значенніi. Це означає, що з рекурсії відношення ([e5.99]), що\epsilon = 2\,n+1, деn є невід'ємне ціле число. Зверніть увагу, що кількість термінів в силовому ряду ([e5.98]) дорівнюєn+1. Нарешті, використовуючи Equation ([e5.92]), отримаємоE = (n+1/2)\,\hbar\,\omega, forn=0,1,2,\cdots.

Отже, ми робимо висновок, що частинка, що рухається в гармонічному потенціалі, має квантовані рівні енергії, які однаково розташовані. Відстань між послідовними енергетичними рівнями є\hbar\,\omega, де\omega класична частота коливань. Крім того, найнижчий енергетичний стан (n=0) володіє кінцевою енергією(1/2)\,\hbar\,\omega. Це іноді називають енергією нульової точки. Легко продемонстровано, що (нормалізована) хвильова функція найнижчого енергетичного стану набуває вигляду\ begin {рівняння}\ psi_ {0} (x) =\ frac {\ mathrm {e} ^ {-x^ {2}/2 d^ {2}}} {\ pi^ {1/4}\ sqrt {d}}\ end {рівняння}

\psi_n(x)Дозволяти енергія власного стану гармонічного осцилятора, відповідного власному значеннюE_n = (n+1/2)\,\hbar\,\omega. Припускаючи, що належним чином нормалізовані (і\psi_n реальні), ми маємо \label{e5.107} \int_{-\infty}^\infty \psi_n\,\psi_m\,dx = \delta_{nm}.Тепер, Рівняння ([e5.93]) може бути записано \label{e5.108} \left(-\frac{d^{\,2}}{d y^{\,2}}+y^{\,2}\right)\psi_n = (2n+1)\,\psi_n,деx = d\,y, і d=\sqrt{\hbar/m\,\omega}. Корисно визначити оператори \label{e5.109} a_\pm = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\mp \frac{d}{dy}+y\right).Як легко продемонстровано, ці оператори задовольняють комутаційне відношення[a_+,a_-] = -1. Використовуючи ці оператори, Рівняння ([e5.108]) також може бути записано у формахa_+\,a_-\,\psi_n = n\,\psi_n, абоa_-\,a_+\,\psi_n = (n+1)\,\psi_n. Попередні два рівняння означають, що \begin{aligned} \label{e5.113} a_+\,\psi_n &= \sqrt{n+1}\,\psi_{n+1},\\[0.5ex] a_-\,\psi_n &=\sqrt{n}\,\psi_{n-1}.\label{e5.114}\end{aligned}Зроблено висновок, щоa_+a_- оператори підвищення і зниження відповідно для гармонічного осцилятора: тобто робота на хвильовій функції зa_+ призводитьn до збільшення квантового числа на єдність, і навпаки. Гамільтоніан для гармонічного осцилятора можна записати в тому вигляді,H = \hbar\,\omega\,\left(a_+\,a_- + \frac{1}{2}\right), з якого легкоH\,\psi_n = (n+1/2)\,\hbar\,\omega\,\psi_n = E_n\,\psi_n виводиться результат. Нарешті, рівняння ([e5.107]), ([e5.113]) і ([e5.114]) дають корисний вираз \begin{aligned} \label{e5.xxx} \int_{-\infty}^\infty \psi_m\,x\,\psi_n\,dx = \frac{d}{\sqrt{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi_m\,(a_+ + a_-)\,\psi_n\,dx= \sqrt{\frac{\hbar}{2\,m\,\omega}}\left(\sqrt{m}\,\delta_{m,n+1} + \sqrt{n}\,\delta_{m,n-1}\right).\end{aligned}

Дописувачі та атрибуція