4.7: Простий гармонійний осцилятор

Класичний гамільтоніан простого гармонічного осцилятора - це те,

$$H = \frac{p^{\,2}}{2\,m} + \frac{1}{2}\,K\,x^{\,2},$$ де$K>0$ знаходиться так звана постійна сили осцилятора. Припускаючи, що квантовий механічний гамільтоніан має ту ж форму, що і класичний гамільтоніан, незалежне від часу рівняння Шредінгера для частинки маси$m$ і енергії, що$E$ рухається в простому гармонійному потенціалі$\omega = \sqrt{K/m}$, стає $$\label{e5.90} \frac{d^{\,2}\psi}{dx^{\,2}} = \frac{2\,m}{\hbar^{\,2}}\left(\frac{1}{2}\,K\,x^{\,2}-E\right)\psi.$$ Let, де$\omega$ Класична кутова частота коливань генератора. Крім того, нехай $$y = \sqrt{\frac{m\,\omega}{\hbar}}\,x,$$ і $$\label{e5.92} \epsilon = \frac{2\,E}{\hbar\,\omega}.$$ Рівняння ([e5.90]) зводиться до $$\label{e5.93} \frac{d^{\,2}\psi}{dy^{\,2}} - (y^{\,2}-\epsilon)\,\psi = 0.$$ Нам потрібно знайти розв'язки попереднього рівняння, які обмежені нескінченністю: тобто розв'язки, які задовольняють граничній умові$\psi\rightarrow 0$ як$|y|\rightarrow\infty$.

Розглянемо поведінку розв'язку рівняння ([e5.93]) в межі$|y|\gg 1$. Як легко бачити, в цій межі рівняння спрощує дещо дати

$$\frac{d^{\,2}\psi}{dy^{\,2}} - y^{\,2}\,\psi \simeq 0.$$ наближені рішення попереднього рівняння, $$\psi(y) \simeq A(y)\,{\rm e}^{\pm y^{\,2}/2},$$ де$A(y)$ є відносно повільно змінюється функція$y$. Зрозуміло,$\psi(y)$ що якщо залишитися обмеженим, як$|y|\rightarrow\infty$ тоді ми повинні обрати експоненціально розкладається рішення. Це говорить про те, що ми повинні написати, $$\label{e5.96} \psi(y) = h(y)\,{\rm e}^{-y^{\,2}/2},$$ де ми$h(y)$ очікували б бути алгебраїчною, а не експоненціальною функцією$y$.

Підставивши рівняння ([e5.96]) в рівняння ([e5.93]),

$$\label{e5.97} \frac{d^{\,2}h}{dy^{\,2}} - 2\,y\,\frac{dh}{dy} + (\epsilon-1)\,h = 0.$$ отримаємо спробу владного розв'язку виду $$\label{e5.98} h(y) = \sum_{i=0,\infty} c_i\,y^{\,i}.$$ Вставляючи це тестове рішення в рівняння ([e5.97]), і зрівнявши коефіцієнти$y^{\,i}$, ми отримати рекурсійне відношення $$\label{e5.99} c_{i+2} = \frac{(2\,i-\epsilon+1)}{(i+1)\,(i+2)}\,c_i.$$ Розглянемо поведінку$h(y)$ в межі$|y|\rightarrow\infty$. Попереднє відношення рекурсії спрощується до $$c_{i+2} \simeq \frac{2}{i}\,c_i.$$ Отже, в цілому$|y|$, коли вищі сили$y$ домінують, ми маємо З цього $$h(y) \sim C \sum_{j}\frac{y^{\,2 j}}{j!}\sim C\,{\rm e}^{\,y^{\,2}}.$$ випливає, що$\psi(y) = h(y)\,\exp(-y^{\,2}/2)$ змінюється$\exp(\,y^{\,2}/2)$ як$|y|\rightarrow\infty$. Така поведінка неприпустимо, оскільки не задовольняє граничній умові$\psi\rightarrow 0$ як$|y|\rightarrow\infty$. Єдиний спосіб, яким ми можемо$\psi$ запобігти вибуху, як$|y|\rightarrow\infty$ це вимагати, щоб силовий ряд ([e5.98]) припинився при деякому кінцевому значенні$i$. Це означає, що з рекурсії відношення ([e5.99]), що $$\epsilon = 2\,n+1,$$ де$n$ є невід'ємне ціле число. Зверніть увагу, що кількість термінів в силовому ряду ([e5.98]) дорівнює$n+1$. Нарешті, використовуючи Equation ([e5.92]), отримаємо $$E = (n+1/2)\,\hbar\,\omega,$$ for$n=0,1,2,\cdots$.

Отже, ми робимо висновок, що частинка, що рухається в гармонічному потенціалі, має квантовані рівні енергії, які однаково розташовані. Відстань між послідовними енергетичними рівнями є$\hbar\,\omega$, де$\omega$ класична частота коливань. Крім того, найнижчий енергетичний стан ($n=0$) володіє кінцевою енергією$(1/2)\,\hbar\,\omega$. Це іноді називають енергією нульової точки. Легко продемонстровано, що (нормалізована) хвильова функція найнижчого енергетичного стану набуває вигляду\ begin {рівняння}\ psi_ {0} (x) =\ frac {\ mathrm {e} ^ {-x^ {2}/2 d^ {2}}} {\ pi^ {1/4}\ sqrt {d}}\ end {рівняння}

$\psi_n(x)$Дозволяти енергія власного стану гармонічного осцилятора, відповідного власному значенню

$$E_n = (n+1/2)\,\hbar\,\omega.$$ Припускаючи, що належним чином нормалізовані (і$\psi_n$ реальні), ми маємо $$\label{e5.107} \int_{-\infty}^\infty \psi_n\,\psi_m\,dx = \delta_{nm}.$$ Тепер, Рівняння ([e5.93]) може бути записано $$\label{e5.108} \left(-\frac{d^{\,2}}{d y^{\,2}}+y^{\,2}\right)\psi_n = (2n+1)\,\psi_n,$$ де$x = d\,y$, і $d=\sqrt{\hbar/m\,\omega}$. Корисно визначити оператори $$\label{e5.109} a_\pm = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\mp \frac{d}{dy}+y\right).$$ Як легко продемонстровано, ці оператори задовольняють комутаційне відношення $$[a_+,a_-] = -1.$$ Використовуючи ці оператори, Рівняння ([e5.108]) також може бути записано у формах $$a_+\,a_-\,\psi_n = n\,\psi_n,$$ або $$a_-\,a_+\,\psi_n = (n+1)\,\psi_n.$$ Попередні два рівняння означають, що $$\begin{aligned} \label{e5.113} a_+\,\psi_n &= \sqrt{n+1}\,\psi_{n+1},\\[0.5ex] a_-\,\psi_n &=\sqrt{n}\,\psi_{n-1}.\label{e5.114}\end{aligned}$$ Зроблено висновок, що$a_+$$a_-$ оператори підвищення і зниження відповідно для гармонічного осцилятора: тобто робота на хвильовій функції з$a_+$ призводить$n$ до збільшення квантового числа на єдність, і навпаки. Гамільтоніан для гармонічного осцилятора можна записати в тому вигляді, $$H = \hbar\,\omega\,\left(a_+\,a_- + \frac{1}{2}\right),$$ з якого легко $$H\,\psi_n = (n+1/2)\,\hbar\,\omega\,\psi_n = E_n\,\psi_n$$ виводиться результат. Нарешті, рівняння ([e5.107]), ([e5.113]) і ([e5.114]) дають корисний вираз $$\begin{aligned} \label{e5.xxx} \int_{-\infty}^\infty \psi_m\,x\,\psi_n\,dx = \frac{d}{\sqrt{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi_m\,(a_+ + a_-)\,\psi_n\,dx= \sqrt{\frac{\hbar}{2\,m\,\omega}}\left(\sqrt{m}\,\delta_{m,n+1} + \sqrt{n}\,\delta_{m,n-1}\right).\end{aligned}$$

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick