4.7: Простий гармонійний осцилятор
- Page ID
- 76886
Класичний гамільтоніан простого гармонічного осцилятора - це те,\[H = \frac{p^{\,2}}{2\,m} + \frac{1}{2}\,K\,x^{\,2},\] де\(K>0\) знаходиться так звана постійна сили осцилятора. Припускаючи, що квантовий механічний гамільтоніан має ту ж форму, що і класичний гамільтоніан, незалежне від часу рівняння Шредінгера для частинки маси\(m\) і енергії, що\(E\) рухається в простому гармонійному потенціалі\(\omega = \sqrt{K/m}\), стає \[\label{e5.90} \frac{d^{\,2}\psi}{dx^{\,2}} = \frac{2\,m}{\hbar^{\,2}}\left(\frac{1}{2}\,K\,x^{\,2}-E\right)\psi.\]Let, де\(\omega\) Класична кутова частота коливань генератора. Крім того, нехай\[y = \sqrt{\frac{m\,\omega}{\hbar}}\,x,\] і \[\label{e5.92} \epsilon = \frac{2\,E}{\hbar\,\omega}.\]Рівняння ([e5.90]) зводиться до \[\label{e5.93} \frac{d^{\,2}\psi}{dy^{\,2}} - (y^{\,2}-\epsilon)\,\psi = 0.\]Нам потрібно знайти розв'язки попереднього рівняння, які обмежені нескінченністю: тобто розв'язки, які задовольняють граничній умові\(\psi\rightarrow 0\) як\(|y|\rightarrow\infty\).
Розглянемо поведінку розв'язку рівняння ([e5.93]) в межі\(|y|\gg 1\). Як легко бачити, в цій межі рівняння спрощує дещо дати\[\frac{d^{\,2}\psi}{dy^{\,2}} - y^{\,2}\,\psi \simeq 0.\] наближені рішення попереднього рівняння,\[\psi(y) \simeq A(y)\,{\rm e}^{\pm y^{\,2}/2},\] де\(A(y)\) є відносно повільно змінюється функція\(y\). Зрозуміло,\(\psi(y)\) що якщо залишитися обмеженим, як\(|y|\rightarrow\infty\) тоді ми повинні обрати експоненціально розкладається рішення. Це говорить про те, що ми повинні написати, \[\label{e5.96} \psi(y) = h(y)\,{\rm e}^{-y^{\,2}/2},\]де ми\(h(y)\) очікували б бути алгебраїчною, а не експоненціальною функцією\(y\).
Підставивши рівняння ([e5.96]) в рівняння ([e5.93]), \[\label{e5.97} \frac{d^{\,2}h}{dy^{\,2}} - 2\,y\,\frac{dh}{dy} + (\epsilon-1)\,h = 0.\]отримаємо спробу владного розв'язку виду \[\label{e5.98} h(y) = \sum_{i=0,\infty} c_i\,y^{\,i}.\]Вставляючи це тестове рішення в рівняння ([e5.97]), і зрівнявши коефіцієнти\(y^{\,i}\), ми отримати рекурсійне відношення \[\label{e5.99} c_{i+2} = \frac{(2\,i-\epsilon+1)}{(i+1)\,(i+2)}\,c_i.\]Розглянемо поведінку\(h(y)\) в межі\(|y|\rightarrow\infty\). Попереднє відношення рекурсії спрощується до\[c_{i+2} \simeq \frac{2}{i}\,c_i.\] Отже, в цілому\(|y|\), коли вищі сили\(y\) домінують, ми маємо З цього\[h(y) \sim C \sum_{j}\frac{y^{\,2 j}}{j!}\sim C\,{\rm e}^{\,y^{\,2}}.\] випливає, що\(\psi(y) = h(y)\,\exp(-y^{\,2}/2)\) змінюється\(\exp(\,y^{\,2}/2)\) як\(|y|\rightarrow\infty\). Така поведінка неприпустимо, оскільки не задовольняє граничній умові\(\psi\rightarrow 0\) як\(|y|\rightarrow\infty\). Єдиний спосіб, яким ми можемо\(\psi\) запобігти вибуху, як\(|y|\rightarrow\infty\) це вимагати, щоб силовий ряд ([e5.98]) припинився при деякому кінцевому значенні\(i\). Це означає, що з рекурсії відношення ([e5.99]), що\[\epsilon = 2\,n+1,\] де\(n\) є невід'ємне ціле число. Зверніть увагу, що кількість термінів в силовому ряду ([e5.98]) дорівнює\(n+1\). Нарешті, використовуючи Equation ([e5.92]), отримаємо\[E = (n+1/2)\,\hbar\,\omega,\] for\(n=0,1,2,\cdots\).
Отже, ми робимо висновок, що частинка, що рухається в гармонічному потенціалі, має квантовані рівні енергії, які однаково розташовані. Відстань між послідовними енергетичними рівнями є\(\hbar\,\omega\), де\(\omega\) класична частота коливань. Крім того, найнижчий енергетичний стан (\(n=0\)) володіє кінцевою енергією\((1/2)\,\hbar\,\omega\). Це іноді називають енергією нульової точки. Легко продемонстровано, що (нормалізована) хвильова функція найнижчого енергетичного стану набуває вигляду\ begin {рівняння}\ psi_ {0} (x) =\ frac {\ mathrm {e} ^ {-x^ {2}/2 d^ {2}}} {\ pi^ {1/4}\ sqrt {d}}\ end {рівняння}
\(\psi_n(x)\)Дозволяти енергія власного стану гармонічного осцилятора, відповідного власному значенню\[E_n = (n+1/2)\,\hbar\,\omega.\] Припускаючи, що належним чином нормалізовані (і\(\psi_n\) реальні), ми маємо \[\label{e5.107} \int_{-\infty}^\infty \psi_n\,\psi_m\,dx = \delta_{nm}.\]Тепер, Рівняння ([e5.93]) може бути записано \[\label{e5.108} \left(-\frac{d^{\,2}}{d y^{\,2}}+y^{\,2}\right)\psi_n = (2n+1)\,\psi_n,\]де\(x = d\,y\), і \(d=\sqrt{\hbar/m\,\omega}\). Корисно визначити оператори \[\label{e5.109} a_\pm = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\mp \frac{d}{dy}+y\right).\]Як легко продемонстровано, ці оператори задовольняють комутаційне відношення\[[a_+,a_-] = -1.\] Використовуючи ці оператори, Рівняння ([e5.108]) також може бути записано у формах\[a_+\,a_-\,\psi_n = n\,\psi_n,\] або\[a_-\,a_+\,\psi_n = (n+1)\,\psi_n.\] Попередні два рівняння означають, що \[\begin{aligned} \label{e5.113} a_+\,\psi_n &= \sqrt{n+1}\,\psi_{n+1},\\[0.5ex] a_-\,\psi_n &=\sqrt{n}\,\psi_{n-1}.\label{e5.114}\end{aligned}\]Зроблено висновок, що\(a_+\)\(a_-\) оператори підвищення і зниження відповідно для гармонічного осцилятора: тобто робота на хвильовій функції з\(a_+\) призводить\(n\) до збільшення квантового числа на єдність, і навпаки. Гамільтоніан для гармонічного осцилятора можна записати в тому вигляді,\[H = \hbar\,\omega\,\left(a_+\,a_- + \frac{1}{2}\right),\] з якого легко\[H\,\psi_n = (n+1/2)\,\hbar\,\omega\,\psi_n = E_n\,\psi_n\] виводиться результат. Нарешті, рівняння ([e5.107]), ([e5.113]) і ([e5.114]) дають корисний вираз \[\begin{aligned} \label{e5.xxx} \int_{-\infty}^\infty \psi_m\,x\,\psi_n\,dx = \frac{d}{\sqrt{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi_m\,(a_+ + a_-)\,\psi_n\,dx= \sqrt{\frac{\hbar}{2\,m\,\omega}}\left(\sqrt{m}\,\delta_{m,n+1} + \sqrt{n}\,\delta_{m,n-1}\right).\end{aligned}\]